2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題03

2017全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題03一試填空題（每小題8分，共64分）1.已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是__________．2.函數(shù)滿足，則的最大值為．3.設復數(shù)，，，（），則當取到最小值時，________________4.有一個頂點在下且底面呈水平狀的圓錐形容器，軸截面是邊長為6的正三角形，容器里裝滿了水，現(xiàn)有一個正四棱柱，底面邊長為，高為，豎直地浸在容器里，為了使容器溢出的水最多，a的值應取為．5.在中，，是所在平面上任意一點，則的最小值是______________6.正數(shù)列滿足:(為前項之和),則=_____________________．7.設過點的直線與拋物線交于點，與圓交于點，若且，則這樣的直線的條數(shù)是8.6名男生和名女生隨機站成一排，每名男生都至少與另一男生相鄰.至少有名男生站在一起的概率為，若，則的最小值為．簡答題（本大題共3小題，共56分）9.已知正數(shù)數(shù)列滿足：（），且，求的通項公式．10.二次函數(shù)的圖像開口向上，與軸正向交于兩點，與軸交于點，以為頂點，若三角形的外接圓與軸相切，且，則時，求的最小值．11、已知圓（）與橢圓有公共點，求圓的半徑的最小值．2017全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題03加試一（本題滿分40分）如圖，圓、圓與圓相交于點，圓和圓的另一個交點為，經(jīng)過點的一條直線分別交圓、圓于點、，的延長線交圓于點，作交圓于點，再作、分別切圓、圓于、．求證：．二、（本題滿分40分）若數(shù)列是項為非負整數(shù)的不減數(shù)列，且滿足：對任意的，只有有限個正整數(shù)使得成立，記這樣的的個數(shù)為，則得到一個新數(shù)列，如此可定義數(shù)列等．求證：．三、（本題滿分50分）證明：存在無窮多個素數(shù)，使得對于這些素數(shù)中的每一個，至少存在一個，滿足：．四、（本題滿分50分）平面上有（）個半徑相同的圓，其中任意兩個圓都不相切，任意一個圓至少與另外三個圓相交．設這些圓的交點個數(shù)為，求的最小值．2017全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題03填空題（每小題8分，共64分）1.已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是__________．解：由已知，作圖可知∴且，令，則在上是減函數(shù).∴，從而取值范圍為．2.函數(shù)滿足，則的最大值為．解：設．顯然非空，取，即，故，從而．當時，顯然有．以下設，此時，．易知當且僅當對任意，有，即，故整數(shù)的最大值為3．3.設復數(shù)，，，（），則當取到最小值時，________________解：≥，當且僅當，即時，取到最小值，此時，．4.有一個頂點在下且底面呈水平狀的圓錐形容器，軸截面是邊長為6的正三角形，容器里裝滿了水，現(xiàn)有一個正四棱柱，底面邊長為，高為，豎直地浸在容器里，為了使容器溢出的水最多，a的值應取為．解：取過四棱柱底面正方形相對頂點的軸截面，得一正三角形與其內(nèi)接矩形，其底邊長為eq\r(2)a，設其高為h，則得∴eq\f(3\r(3)－h(huán),3\r(3))＝eq\f(\r(2)a,6)，h＝3eq\r(3)－eq\f(\r(6)a,2)，∴V四棱柱＝a2(3eq\r(3)－eq\f(\r(6)a,2))＝eq\f(\r(6),2)a2(3eq\r(2)－a)＝2eq\r(6)·eq\f(1,2)a·eq\f(1,2)a(3eq\r(2)－a)≤2eq\r(6)(eq\f(\f(1,2)a＋\f(1,2)a＋3\r(2)－a,3))3＝2eq\r(6)(eq\r(2))3＝8eq\r(3)．等號當且僅當a＝2eq\r(2)時等號成立．5.在中，，是所在平面上任意一點，則的最小值是______________解：則．6.正數(shù)列滿足:(為前項之和),則=_____________________．解：由已知可得：，令，則，且，，所以，令，則，且，設，則，從而，即，所以，故，從而，即．7.設過點的直線與拋物線交于點，與圓交于點，若且，則這樣的直線的條數(shù)是8.6名男生和名女生隨機站成一排，每名男生都至少與另一男生相鄰.至少有名男生站在一起的概率為，若，則的最小值為．解：若每名男生都至少與另一男生相鄰，則必有如下站法之一：,.考慮站法.在每兩名男生組成的空檔之間安排一名女生，進而，在個位置安排余下的名女生.因此，這樣的排法有種.考慮站法,,.這樣將男生分成兩個小組，空檔之間安排一名女生，進而，在個位置安排余下的名女生.因此，這樣的排法有種.考慮站法.將名男生視為一個整體，與名女生排列站隊，有種排法.綜上所述，.故.注意到，，故所求的最小值應滿足易知，，.從而.簡答題（本大題共3小題，共56分）9.已知正數(shù)數(shù)列滿足：（），且，求的通項公式．解：由可得：，設，，且．則，所以：當≥2時，，綜上：．10.二次函數(shù)的圖像開口向上，與軸正向交于兩點，與軸交于點，以為頂點，若三角形的外接圓與軸相切，且，則時，求的最小值．解：設，，則的外接圓圓心．由，則為等邊三角形．則，≥．此時，二次函數(shù)為，．11、已知圓（）與橢圓有公共點，求圓的半徑的最小值．解：設切點為，則求，的最小值．又≤≤當且僅當即時，取到等號．（另解：求導）此時，，．2015全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題03加試一證明：連交圓、圓與分別為、、，由相交弦定理及切割線定理得：兩式相加得：又，所以：，．二、證明：對，表示中，比小的項的個數(shù)，設，再由的定義知，對，中比小的項的個數(shù)中比小的項的個數(shù)，故是項為非負整數(shù)的不減數(shù)列．所以：，即又是項為非負整數(shù)的不減數(shù)列，所以：，．綜上：．三、證明：假設結(jié)論不成立，設為能整除形如這樣的數(shù)中至少其中之一的全部素數(shù)．考慮個數(shù)，（），由于這些數(shù)是有限數(shù)，故存在一個，使得這個數(shù)中的任何一個都不能被（）整除．又可以足夠大，知存在一個，使，其中，對于這個足夠大的，將其質(zhì)因數(shù)分解后，知必存在某個的指數(shù)大于．考慮這個足夠大的及這個數(shù)，由于它們每一個均能被某個整除，但是僅有個，由抽屜原理知，這個數(shù)中必存在兩個數(shù)被同一個整除（），即，，其中0≤≤，所以：與的選擇矛盾．綜上：原結(jié)論成立．四、解：記為這個圓的集合，為這個圓的交點的集合．設圓和交點，若點不在圓上，定義；若點在圓上，定義，其中是過點的