新九年級(jí)數(shù)學(xué)時(shí)期講義第10講反比例函數(shù)-滿分班(學(xué)生版+解析)

第10講反比例函數(shù)1反比例函數(shù)的定義一、反比例函數(shù)的定義函數(shù)（為常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)，是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．【例題精選】例1(2023秋?呼蘭區(qū)期末）下列函數(shù)中y是x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝例2(2023秋?遵化市期末）已知y＝2x2m是反比例函數(shù)，則m的值是（）A．m＝ B．m＝﹣ C．m≠0 D．一切實(shí)數(shù)【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?諸城市期末）若函數(shù)y＝m是反比例函數(shù)，則m＝_________．2．(2023秋?興國(guó)縣期末）已知函數(shù)y＝（k+2）x是反比例函數(shù)，則k＝_______．3．(2023秋?宜春期末）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則n的值為_(kāi)______．2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象由兩條曲線組成，每條曲線隨著的不斷增大（或減小）越來(lái)越接近坐標(biāo)軸，反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線．反比例函數(shù)與（）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象是雙曲線；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．注意：⑴反比例函數(shù)（）的取值范圍是．因此，①圖象是斷開(kāi)的兩條曲線，畫(huà)圖象時(shí)，不要把兩個(gè)分支連接起來(lái)．②敘述反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一定要加上“在每一個(gè)象限內(nèi)”，如當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減?。@是由于，即或的緣故．如果籠統(tǒng)地?cái)⑹鰹闀r(shí)，隨的增大而增大就是錯(cuò)誤的．⑵由于反比例函數(shù)中自變量和函數(shù)的值都不能為零，所以圖象和軸、軸都沒(méi)有交點(diǎn)，但畫(huà)圖時(shí)要體現(xiàn)出圖象和坐標(biāo)軸無(wú)限貼近的趨勢(shì)．⑶在畫(huà)出的圖象上要注明函數(shù)的解析式．【例題精選】例1(2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）關(guān)于反比例函數(shù)y＝，下列說(shuō)法不正確的是（）A．點(diǎn)（﹣2，﹣1）在它的圖象上 B．它的圖象在第一、三象限 C．它的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) D．y的值隨著x的值的增大而減小例2(2023?銅仁市一模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象位于二、四象限，則一次函數(shù)y＝x+k圖象大致是（）A． B． C． D．【隨堂練習(xí)】1．(2023?普陀區(qū)二模）關(guān)于函數(shù)y＝﹣，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)的圖象在第二、四象限 B．y的值隨x的值增大而增大 C．函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn) D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2．(2023春?江陰市期中）下列函數(shù)：①y＝﹣x；②y＝2x；③y＝；④y＝x2．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3k的幾何意義反比例函數(shù)的幾何意義1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為2.如圖，四條雙曲線、、、對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：、、、，那么、、、的大小順序?yàn)椤纠}精選】例1(2023?南崗區(qū)模擬）如圖，函數(shù)y＝和y＝﹣的圖象分別是C1和C2．點(diǎn)P在C1上，PC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，與C2相交于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，與C2相交于點(diǎn)B，則△PAB的面積為_(kāi)_______．例2(2023?井研縣一模）如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為_(kāi)_______．【隨堂練習(xí)】1.(2023秋?雨花區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，AB垂直x軸，垂足為B點(diǎn)，若S△AOB＝3，則k的值為_(kāi)______．2．(2023?長(zhǎng)豐縣一模）如圖所示，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上，若△ABP的面積是2，則k＝________．4反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題精選】例1(2023秋?漣源市期末）一定質(zhì)量的二氧化碳，其體積V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)圖中的已知條件，寫(xiě)出反比例函數(shù)的關(guān)系式，當(dāng)V＝1.9m3時(shí)，ρ＝____________．例2(2023春?吳江區(qū)期中）某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)氣球內(nèi)的體積為氣體1.6m3時(shí)，求氣體壓強(qiáng)P的值；（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣體壓強(qiáng)大于150kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，氣體的體積不小于多少？【隨堂練習(xí)】1.(2023?北碚區(qū)模擬）在一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的某種氣體，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體的密度也會(huì)隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）與體積v（單位：m3）滿足函數(shù)關(guān)系式ρ＝（k為常數(shù)，k≠0）其圖象如圖所示，則k的值為_(kāi)________．2．(2023春?常熟市期中）碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物，裝完貨物所需時(shí)間y（分鐘）與裝載速度x（噸/分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若要求在2小時(shí)至2.5小時(shí)內(nèi)（包括2小時(shí)與2.5小時(shí)）裝完這批貨物，求裝貨速度的范圍．3．(2023?莆田二模）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）與時(shí)間x（時(shí)）變化的圖象，如圖（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．國(guó)家規(guī)定，車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車(chē)上路．（1）求部分雙曲線AB的函數(shù)解析式；（2）參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上22：30在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上7：00能否駕車(chē)去上班？請(qǐng)說(shuō)明理由．綜合應(yīng)用一．選擇題1．若點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y32．如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一點(diǎn)P，過(guò)P作PA⊥x軸，垂足為A，則△POA的面積是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．3．反比例函數(shù)y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣1），則下列點(diǎn)一定在其圖象上的是（）A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）4．如圖，將邊長(zhǎng)為10的等邊三角形OAB位于平面直角坐標(biāo)系第一象限中，OA落在x軸正半軸上，C是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），作CD⊥OB于點(diǎn)D，若點(diǎn)C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，則k的值為（）A．9 B．18 C．25 D．95．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，則k的值為（）A．1 B． C．2 D．3二．解答題6．如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）兩點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．7．如圖，已知反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象交于點(diǎn)A（1，8），B（﹣4，m）．（1）求m和一次函數(shù)解析式；（2）求△AOB的面積．8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)一次函數(shù)y1＝mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，m≠﹣n）與反比例函數(shù)y2＝．（1）若y1與y2的圖象有交點(diǎn)（1，5），且n＝4m，當(dāng)y1≥5時(shí)，y2的取值范圍；（2）若y1與y2的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點(diǎn)．（1）求直線AB的解析式及△OAB面積；（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍；（3）若點(diǎn)P在x軸上，求PA+PB的最小值．第10講反比例函數(shù)1反比例函數(shù)的定義一、反比例函數(shù)的定義函數(shù)（為常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)，是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．【例題精選】例1(2023秋?呼蘭區(qū)期末）下列函數(shù)中y是x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，可得答案．【解答】解：A、y＝是正比例函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B、y＝不符合反比例函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤；C、y＝是反比例函數(shù)，故C正確；D、y＝不符合反比例函數(shù)的定義，故D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)，形如y＝（k是不等于零的常數(shù)）是反比例函數(shù)．例2(2023秋?遵化市期末）已知y＝2x2m是反比例函數(shù)，則m的值是（）A．m＝ B．m＝﹣ C．m≠0 D．一切實(shí)數(shù)分析：根據(jù)反比例函數(shù)的一般式是（k≠0）或y＝kx﹣1（k≠），即可求解．【解答】解：y＝2x2m是反比例函數(shù)，則2m＝﹣1，所以．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的一般形式（k≠0），也可轉(zhuǎn)化為y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特別注意不要忽略k≠0這個(gè)條件．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?諸城市期末）若函數(shù)y＝m是反比例函數(shù)，則m＝_________．【解答】解：∵函數(shù)y＝m是反比例函數(shù)，∴m2+3m﹣1＝﹣1，m≠0，解得：m＝﹣3．故答案為：﹣3．2．(2023秋?興國(guó)縣期末）已知函數(shù)y＝（k+2）x是反比例函數(shù)，則k＝_______．【解答】解：∵函數(shù)y＝（k+2）x為反比例函數(shù)，∴k2﹣5＝﹣1且k+2≠0．解得k＝2．故答案是：2．3．(2023秋?宜春期末）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則n的值為_(kāi)______．【解答】解：∵函數(shù)是反比例函數(shù)，∴n+1≠0且n2﹣2＝﹣1，∴n＝1，故答案為：1．2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象由兩條曲線組成，每條曲線隨著的不斷增大（或減小）越來(lái)越接近坐標(biāo)軸，反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線．反比例函數(shù)與（）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象是雙曲線；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi)，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．注意：⑴反比例函數(shù)（）的取值范圍是．因此，①圖象是斷開(kāi)的兩條曲線，畫(huà)圖象時(shí)，不要把兩個(gè)分支連接起來(lái)．②敘述反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一定要加上“在每一個(gè)象限內(nèi)”，如當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減?。@是由于，即或的緣故．如果籠統(tǒng)地?cái)⑹鰹闀r(shí)，隨的增大而增大就是錯(cuò)誤的．⑵由于反比例函數(shù)中自變量和函數(shù)的值都不能為零，所以圖象和軸、軸都沒(méi)有交點(diǎn)，但畫(huà)圖時(shí)要體現(xiàn)出圖象和坐標(biāo)軸無(wú)限貼近的趨勢(shì)．⑶在畫(huà)出的圖象上要注明函數(shù)的解析式．【例題精選】例1(2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）關(guān)于反比例函數(shù)y＝，下列說(shuō)法不正確的是（）A．點(diǎn)（﹣2，﹣1）在它的圖象上 B．它的圖象在第一、三象限 C．它的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) D．y的值隨著x的值的增大而減小分析：根據(jù)反比例函數(shù)y＝和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣1，即點(diǎn)（﹣2，﹣1）在它的圖象上，故選項(xiàng)A正確；它的圖象在第一、三象限，故選項(xiàng)B正確；它的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)C正確；在每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨著x的值的增大而減小，故選項(xiàng)D不正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．例2(2023?銅仁市一模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象位于二、四象限，則一次函數(shù)y＝x+k圖象大致是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)正比例函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限判定k＜0，由此可以推知一次函數(shù)y＝x+k的圖象與y軸交于負(fù)半軸，且經(jīng)過(guò)第一、三象限．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象在第二、四象限，∴k＜0，∴一次函數(shù)y＝x+k的圖象與y軸交于負(fù)半軸，且經(jīng)過(guò)第一、三象限．觀察選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一次函數(shù)，正比例函數(shù)中系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)與圖象位置之間關(guān)系．解題時(shí)需要“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．【隨堂練習(xí)】1．(2023?普陀區(qū)二模）關(guān)于函數(shù)y＝﹣，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)的圖象在第二、四象限 B．y的值隨x的值增大而增大 C．函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn) D．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣，∴該函數(shù)的圖象在第二、四象限，故選項(xiàng)A正確；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)D正確；故選：B．2．(2023春?江陰市期中）下列函數(shù)：①y＝﹣x；②y＝2x；③y＝；④y＝x2．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①y＝﹣x中k＝﹣1＜0，y隨x的增大而減小，正確；②y＝2x中k＞0，y隨x的增大而增大，錯(cuò)誤；③y＝中k＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，正確；④y＝x2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝0，開(kāi)口向上，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，正確；故選：C．3k的幾何意義反比例函數(shù)的幾何意義1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點(diǎn)，向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為2.如圖，四條雙曲線、、、對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為：、、、，那么、、、的大小順序?yàn)椤纠}精選】例1(2023?南崗區(qū)模擬）如圖，函數(shù)y＝和y＝﹣的圖象分別是C1和C2．點(diǎn)P在C1上，PC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，與C2相交于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，與C2相交于點(diǎn)B，則△PAB的面積為_(kāi)_______．分析：設(shè)P的坐標(biāo)是（a，），推出A的坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，求出∠APB＝90°，求出PA、PB的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：設(shè)P的坐標(biāo)（a，），則A（a，），B（﹣3a，），∴BP＝4a，AP＝，△PAB的面積＝AP?BP＝××4a＝8．故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)和三角形面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)得出A、B的坐標(biāo)．例2(2023?井研縣一模）如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)A、D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為_(kāi)_______．分析：先由正方形ADEF的面積為4，得出邊長(zhǎng)為2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（t，6），則E點(diǎn)坐標(biāo)（t﹣2，2），根據(jù)點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，利用根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．【解答】解：∵正方形ADEF的面積為4，∴正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2，∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（t，6），則E點(diǎn)坐標(biāo)（t﹣2，2），∵點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝6t＝2（t﹣2），解得t＝﹣1，k＝﹣6．故答案為﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．【隨堂練習(xí)】1.(2023秋?雨花區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，AB垂直x軸，垂足為B點(diǎn)，若S△AOB＝3，則k的值為_(kāi)______．【解答】解：由于點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則S△AOB＝|k|＝3；又由于函數(shù)圖象位于一、三象限，則k＝6．故答案為6．2．(2023?長(zhǎng)豐縣一模）如圖所示，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上，若△ABP的面積是2，則k＝________．【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝．∵△AOB的面積＝△ABP的面積＝2，△AOB的面積＝|k|，∴|k|＝2，∴k＝±4；又∵反比例函數(shù)的圖象的一支位于第二象限，∴k＜0．∴k＝﹣4．故答案為：﹣4．4反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題精選】例1(2023秋?漣源市期末）一定質(zhì)量的二氧化碳，其體積V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)圖中的已知條件，寫(xiě)出反比例函數(shù)的關(guān)系式，當(dāng)V＝1.9m3時(shí)，ρ＝____________．分析：由圖象可得k＝9.5，進(jìn)而得出V＝1.9m3時(shí)，ρ的值．【解答】解：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：V＝，由圖象可得：V＝5，ρ＝1.9，代入得：k＝5×1.9＝9.5，故V＝，當(dāng)V＝1.9時(shí)，ρ＝5kg/m3．故答案為：5kg/m3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確得出k的值是解題關(guān)鍵．例2(2023春?吳江區(qū)期中）某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)氣球內(nèi)的體積為氣體1.6m3時(shí)，求氣體壓強(qiáng)P的值；（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣體壓強(qiáng)大于150kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，氣體的體積不小于多少？分析：（1）設(shè)出反比例函數(shù)解析式，把A坐標(biāo)代入可得函數(shù)解析式；（2）把v＝1代入（1）得到的函數(shù)解析式，可得p；（3）把P＝200代入得到V即可．【解答】解：（1）設(shè)p＝，由題意知120＝，所以k＝96，故p＝；（2）當(dāng)v＝1.6m3時(shí)，p＝＝60，∴氣球內(nèi)氣體的氣壓是60kPa；（3）當(dāng)p＝150kPa時(shí)，v＝＝0.64．所以為了安全起見(jiàn)，氣體的體積應(yīng)不少于0.64m3．【點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)熟練掌握符合反比例函數(shù)解析式的數(shù)值的意義．【隨堂練習(xí)】1.(2023?北碚區(qū)模擬）在一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的某種氣體，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體的密度也會(huì)隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）與體積v（單位：m3）滿足函數(shù)關(guān)系式ρ＝（k為常數(shù)，k≠0）其圖象如圖所示，則k的值為_(kāi)________．【解答】解：由圖象可知，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，1.5），設(shè)反比例函數(shù)為ρ＝，則1.5＝，解得k＝9，故答案為：9．2．(2023春?常熟市期中）碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物，裝完貨物所需時(shí)間y（分鐘）與裝載速度x（噸/分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若要求在2小時(shí)至2.5小時(shí)內(nèi)（包括2小時(shí)與2.5小時(shí)）裝完這批貨物，求裝貨速度的范圍．【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，400＝，得k＝600，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝；（2）當(dāng)120≤y≤150時(shí)，即120≤≤150，解得4≤x≤5．故如果要在2小時(shí)至2.5小時(shí)內(nèi)（包括2小時(shí)與2.5小時(shí)）裝完這批貨物，則裝貨速度至少為每分鐘4≤x≤5噸．3．(2023?莆田二模）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）與時(shí)間x（時(shí)）變化的圖象，如圖（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．國(guó)家規(guī)定，車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車(chē)上路．（1）求部分雙曲線AB的函數(shù)解析式；（2）參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上22：30在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上7：00能否駕車(chē)去上班？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）依題意，直線OA過(guò)（，20），則直線OA的解析式為y＝80x，當(dāng)x＝時(shí)，y＝120，即A（，120），設(shè)雙曲線的解析式為y＝，將點(diǎn)A（，120）代入得：k＝180，∴y＝（x≥）；由y＝得當(dāng)y＝20時(shí)，x＝9，從晚上22：30到第二天早上7：00時(shí)間間距為8.5小時(shí)，∵8.5＜9，∴第二天早上7：00不能駕車(chē)去上班．綜合應(yīng)用一．選擇題1．若點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，∴y1＜y3＜y2．故選：A．2．如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一點(diǎn)P，過(guò)P作PA⊥x軸，垂足為A，則△POA的面積是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．∵P（x，y）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，∴xy＝﹣2，∴△OPM的面積S△POA＝|xy|＝1，故選：B．3．反比例函數(shù)y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣1），則下列點(diǎn)一定在其圖象上的是（）A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：將點(diǎn)（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，可知函數(shù)解析式為y＝﹣，則xy＝﹣2，A、1×2＝2≠﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、4×（﹣）＝2，故本選項(xiàng)正確；C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．4．如圖，將邊長(zhǎng)為10的等邊三角形OAB位于平面直角坐標(biāo)系第一象限中，OA落在x軸正半軸上，C是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），作CD⊥OB于點(diǎn)D，若點(diǎn)C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，則k的值為（）A．9 B．18 C．25 D．9【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，設(shè)OE＝a，則OD＝2a，DE＝a，∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，∴點(diǎn)D（a，a），點(diǎn)C[15﹣2a，（2a﹣5）]．∵點(diǎn)C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，∴a?a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），解得：a＝3或a＝5．當(dāng)a＝5時(shí)，DO＝OB，AC＝AB，點(diǎn)C、D與點(diǎn)B重合，不符合題意，∴a＝5舍去．∴點(diǎn)D（3，3），∴k＝3×3＝9．故選：A．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，則k的值為（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，∴A（，0），B（0，﹣2）．設(shè)C（x，），∵點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，∴，解得．故選：C．二．解答題6．如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）兩點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．【解答】解：（1）∵雙曲線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，m）．∴m＝2，即A（1，2）．由點(diǎn)A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直線y＝kx+b上，得，解得：，∴直線的解析式為：y＝x+1．（2）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C．在