人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專題05最短路徑的三種考法(原卷版+解析)

專題05最短路徑的三種考法類型一、坐標(biāo)系的最值問題（和最小，差最大問題）例．在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點A在x軸正半軸上）．（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，點，，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接，以線段為邊構(gòu)造等腰直角（P為頂點），連接．(1)如圖1所示，直接寫出點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為；(2)如圖2所示，當(dāng)點P在點O，A之間運動時，則、之間的位置關(guān)系為；并加以證明；(3)如圖3所示，點P在x軸上運動過程中，若所在直線與y軸交于點F，請直接寫出F點的坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)闹底钚r，請直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點A在x軸正半軸上）．（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．類型二、幾何圖形中的最短路徑問題例1．如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當(dāng)取最小值時，此時的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動點，，當(dāng)最小時，．【變式訓(xùn)練1】如圖，在等腰中，，，是等邊三角形，P是的平分線上一動點，連接，，則的最小值為．

【變式訓(xùn)練2】如圖，等腰三角形的底邊的長為4，面積為24，腰的垂直平分線分別交邊，于點，，若為邊的中點，為線段上一動點，則的最小值為（

）

A．8 B．10 C．12 D．14【變式訓(xùn)練3】如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF周長最小時，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°【變式訓(xùn)練4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，點D是BC上一動點，以BD為邊在BC的右側(cè)作等邊△BDE，F(xiàn)是DE的中點，連結(jié)AF，CF，則AF+CF的最小值是.類型三、最短路徑問題的實際應(yīng)用例1.如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2設(shè)計兩種：小明：作，交于點，點．在處建橋．路徑是．小紅：作，交于點，點；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．（1）在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由．（2）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在處實施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點某小船從舊橋下到新橋下，到達后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點時小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．例2．如圖a，圓柱的底面半徑為，圓柱高為，是底面直徑，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設(shè)計了兩條路線：路線1：高線＋底面直徑，如圖a所示，設(shè)長度為．路線2：側(cè)面展開圖中的線段，如圖b所示，設(shè)長度為．(1)你認(rèn)為小明設(shè)計的哪條路線較短？請說明理由；(2)小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為，高為”繼續(xù)按前面的路線進行計算．（結(jié)果保留）①此時，路線1的長度，路線2的長度；②所以選擇哪條路線較短？試說明理由．【變式訓(xùn)練】閱讀下列材料，解決提出的問題：最短路徑問題:如圖（1），點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點C，使得點C到點A，點B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點，可知這個交點即為所求．如圖（2），如果點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點C，使得這個點到點A、點B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點B關(guān)于的對稱點B，這時對于直線l上的任一點C，都保持CB＝CB，從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1）．因此，線段AB與直線l的交點C的位置即為所求．為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′．因為AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最?。蝿?wù)：數(shù)學(xué)思考（1）材料中劃線部分的依據(jù)是．（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是．（填字母代號即可）A．轉(zhuǎn)化思想B．分類討論思想C．整體思想遷移應(yīng)用（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點P為AC邊上的動點，點D為AB邊上的動點，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為cm．課后訓(xùn)練1．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝°．2．如圖，在中，，點P、Q分別是邊上的動點，則的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．3．如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點M、N，使得的周長最小，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．如圖，中，垂直于點，且，在直線上方有一動點滿足，則點到兩點距離之和最小時，度．

5．如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動點，則的最小值是．6．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為．7．如圖1，已知直線的同側(cè)有兩個點、，在直線上找一點，使點到、兩點的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點就是所要找的點，通過這種方法可以求解很多問題.（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，動點在軸上，求的最小值；（2）如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值為______.（3）如圖4，，，，點，分別是射線，上的動點，則的最小值為__________.8．如圖，在中，，，，平分，交邊于點，點是邊的中點．點為邊上的一個動點．

(1)______，______度；(2)當(dāng)四邊形為軸對稱圖形時，求的長；(3)若是等腰三角形，求的度數(shù)；(4)若點在線段上，連接、，直接寫出的值最小時的長度．

專題05最短路徑的三種考法類型一、坐標(biāo)系的最值問題（和最小，差最大問題）例．在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點A在x軸正半軸上）．（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①見解析；②點C的坐標(biāo)為(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【分析】（1）①證明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；②存在兩種情況：當(dāng)點D落在第二象限時，作BM⊥OA于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，則C（0，﹣4）；當(dāng)點D落在第一象限時，作BM⊥OA于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，則C（0，4）；（2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此時OM+MN的值最小，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出ON＝2即可．【詳解】解：（1）①證明：∵△OAB和△ACD是等邊三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在兩種情況：當(dāng)點D落在第二象限時，如圖1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；當(dāng)點D落在第一象限時，如圖1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；綜上所述，若△ABD是等腰三角形，點C的坐標(biāo)為（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如圖2所示：∵△OAB是等邊三角形，ON'⊥AB，F(xiàn)B是OA邊上的中線，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N關(guān)于BF對稱，此時OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值為2．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及最小值問題；本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，點，，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接，以線段為邊構(gòu)造等腰直角（P為頂點），連接．(1)如圖1所示，直接寫出點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為；(2)如圖2所示，當(dāng)點P在點O，A之間運動時，則、之間的位置關(guān)系為；并加以證明；(3)如圖3所示，點P在x軸上運動過程中，若所在直線與y軸交于點F，請直接寫出F點的坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)闹底钚r，請直接寫出此時與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，；(2)垂直，見解析；(3)，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，，得到，，于是得到結(jié)果；（2）過點E作軸于H，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，證出，則可得出結(jié)論；（3）由直角三角形的性質(zhì)證出，則可得出；取點，連接、，O與G關(guān)于直線對稱，連接交于E，連接，則，根據(jù)三角形的面積關(guān)系可得出．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，∴，，故答案為：，；（2）證明：過點E作軸于H，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案為垂直；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；取點G，連接，∵，，∴O與G關(guān)于直線對稱，連接交于E，連接，則，此時最小，，∵E到的距離相等，，，∴，∴，∴．故答案為：，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識點，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點A在x軸正半軸上）．（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．【答案】（1）①見解析；②點C的坐標(biāo)為(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【詳解】解：（1）①證明：∵△OAB和△ACD是等邊三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在兩種情況：當(dāng)點D落在第二象限時，如圖1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；當(dāng)點D落在第一象限時，如圖1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等邊三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；綜上所述，若△ABD是等腰三角形，點C的坐標(biāo)為（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如圖2所示：∵△OAB是等邊三角形，ON'⊥AB，F(xiàn)B是OA邊上的中線，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N關(guān)于BF對稱，此時OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值為2．類型二、幾何圖形中的最短路徑問題例1．如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當(dāng)取最小值時，此時的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接、、、、，則由軸對稱知識可知，所以依據(jù)垂線段最短知：當(dāng)在一條直線上，且時，取最小值，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及三角形外角的性質(zhì)可以求出.【詳解】解：∵，平分，∴，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接、、、、，則，，，，，∴，，，，當(dāng)在一條直線上，且時，取最小值，∴，∴，∴，∴，故選：D.【點睛】本題考查了最短路徑問題，等腰三角形等邊對等角，直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，垂線段最短，通過作對稱點化折為直是解題的關(guān)鍵.例2．如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動點，，當(dāng)最小時，．【答案】【分析】在下方作，使，連接，則最小值為，此時A、N、三點在同一直線上，推出，所以，即可得到．【詳解】解：在下方作，使，連接．則，．∴，即最小值為，此時A、N、三點在同一直線上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質(zhì)的運用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．【變式訓(xùn)練1】如圖，在等腰中，，，是等邊三角形，P是的平分線上一動點，連接，，則的最小值為．

【答案】20【分析】先確定點P是等腰對稱軸上一點，再構(gòu)造將軍飲馬模型得到的最小值為的長，從而使問題得到解決．【詳解】連接，

∵是等腰三角形，，是的角平分線，∴所在直線為等腰對稱軸，點B與點C關(guān)于對稱，∴，∴，即的最小值為的長．∵是等邊三角形，∴，∴的最小值為20．故答案為：20．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，涉及等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，確定問題是將軍飲馬模型問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖，等腰三角形的底邊的長為4，面積為24，腰的垂直平分線分別交邊，于點，，若為邊的中點，為線段上一動點，則的最小值為（

）

A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】連接，，根據(jù)，求得，根據(jù)，，得到，當(dāng)A，M，D三點共線時，取得最小值，且最小值為，計算即可．【詳解】解：連接，，∵等腰三角形的底邊的長為4，面積為24，為邊的中點，∴，

∴，解得，∵腰的垂直平分線分別交邊，于點，，∴，∵，∴，當(dāng)A，M，D三點共線時，取得最小值，且最小值為，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，線段的垂直平分線性質(zhì)，三角形不等式求最值，熟練掌握三角形不等式求最值是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF周長最小時，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】首先證明點E在射線CE上運動（∠ACE=30°），因為AF為定值，所以當(dāng)AE+EF最小時，△AEF的周長最小，作點A關(guān)于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最小，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求出∠CFE的大?。驹斀狻拷猓骸摺鰽BC，△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴點E在射線CE上運動（∠ACE=30°），作點A關(guān)于直線CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，此時AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等邊三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故選D．【點睛】本題考查軸對稱——最短距離問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明點E在射線CE上運動（∠ACE=30°），本題難度比較大，屬于中考選擇題中的壓軸題．【變式訓(xùn)練4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，點D是BC上一動點，以BD為邊在BC的右側(cè)作等邊△BDE，F(xiàn)是DE的中點，連結(jié)AF，CF，則AF+CF的最小值是.【答案】2．【分析】以BC為邊作等邊三角形BCG，連接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延長線于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DC=EG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FC=FG，于是得到在點D的運動過程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，當(dāng)F點移動到AG上時，即A，F(xiàn)，G三點共線時，AF+FC的最小值=AG，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】以BC為邊作等邊三角形BCG，連接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延長線于H，∵△BDE和△BCG是等邊三角形，∴DC=EG，∴∠FDC=∠FEG=120°，∵DF=EF，∴△DFC≌△EFG（SAS），∴FC=FG，∴在點D的運動過程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，∴當(dāng)F點移動到AG上時，即A，F(xiàn)，G三點共線時，AF+FC的最小值=AG，∵BC=CG=AB=2，AC=2，在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，∴GH=1，CH=，∴AG===2，∴AF+CF的最小值是2．【點睛】此題考查軸對稱-最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．類型三、最短路徑問題的實際應(yīng)用例1.如圖1，直線表示一條河的兩岸，且現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，橋的長度等于河寬度且橋與河岸垂直．使村莊經(jīng)橋過河到村莊現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖2設(shè)計兩種：小明：作，交于點，點．在處建橋．路徑是．小紅：作，交于點，點；把平移至BE，連AE，交于，作于．在處建橋．路徑是．（1）在圖2中，問：小明、小紅誰設(shè)計的路徑長較短？再用平移等知識說明理由．（2）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計在處實施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點某小船從舊橋下到新橋下，到達后立即返回，在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直船在靜水每小時14千米，水流每小時2千米，第二天早上6點時小明發(fā)現(xiàn)船在兩橋之間（未到兩橋）且離舊橋40千米處行駛求這兩橋之間的距離．【答案】（1）小紅設(shè)計的路徑更短一些，原因見解析；（2）兩橋之間的距離為千米或千米或千米；【詳解】解：（1）小紅設(shè)計的路徑更短一些；理由如下：連接CE，∵，且，∴為平行四邊形，可得，小紅走的路線是：，小明走的路線是：，∵在三角形中，，,所以小明的路線比小紅的要長，即：小紅設(shè)計的路徑更短一些；（2）設(shè)小船一共走了次完整的來回，兩橋之間距離為千米，由題可得順流所需時間為，逆流所需要的時間是，所以一個完整來回所需時間為，次完整的來回所需時間為：；∵小船早上點出發(fā)，第二天早上點發(fā)現(xiàn)，∴小船行駛了小時；①若小明發(fā)現(xiàn)小船時，船是從舊橋到新橋的，則依題意可得：，化簡可得：，∵為整數(shù)，且，∴，即：兩橋之間的距離為千米；②若小明發(fā)現(xiàn)小船時，船是從新橋到舊橋的，則依題意可得：，化簡可得：，∵為整數(shù)，且，∴，或；即：兩橋之間的距離為千米或千米；綜上可得：兩橋之間的距離為千米或千米或千米；例2．如圖a，圓柱的底面半徑為，圓柱高為，是底面直徑，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設(shè)計了兩條路線：路線1：高線＋底面直徑，如圖a所示，設(shè)長度為．路線2：側(cè)面展開圖中的線段，如圖b所示，設(shè)長度為．(1)你認(rèn)為小明設(shè)計的哪條路線較短？請說明理由；(2)小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為，高為”繼續(xù)按前面的路線進行計算．（結(jié)果保留）①此時，路線1的長度，路線2的長度；②所以選擇哪條路線較短？試說明理由．【答案】(1)選擇路線1較短，理由見解析(2)①8，；②選擇路線2較短，理由見解析【分析】（1）利用勾股定理計算后，比較大小即可；（2）把條件改成：“圓柱底面半徑為，高為”繼續(xù)按前面的路線進行計算即可．【詳解】（1）解：剪開前，，，∴，剪開后，，，∴；∵，∴即所以選擇路線1較短；（2）解：①，．②，∴即所以選擇路線2較短．【點睛】此題主要考查了平面展開最短路徑問題，比較兩個數(shù)的大小，有時比較兩個數(shù)的平方比較簡便，比較兩個數(shù)的平方，通常讓這兩個數(shù)的平方相減．注意運用類比的方法做類型題．【變式訓(xùn)練】閱讀下列材料，解決提出的問題：最短路徑問題:如圖（1），點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點C，使得點C到點A，點B的距離和最短？我們只需連接AB，與直線l相交于一點，可知這個交點即為所求．如圖（2），如果點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點C，使得這個點到點A、點B的距離和最短？我們可以利用軸對稱的性質(zhì)，作出點B關(guān)于的對稱點B，這時對于直線l上的任一點C，都保持CB＝CB，從而把問題（2）變?yōu)閱栴}（1）．因此，線段AB與直線l的交點C的位置即為所求．為了說明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，B′C′．因為AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最?。蝿?wù)：數(shù)學(xué)思考（1）材料中劃線部分的依據(jù)是．（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是．（填字母代號即可）A．轉(zhuǎn)化思想B．分類討論思想C．整體思想遷移應(yīng)用（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，點P為AC邊上的動點，點D為AB邊上的動點，若AB＝8cm，則BP+DP的最小值為cm．【答案】（1）兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；（2）A；（3）4【詳解】（1）材料中劃線部分的依據(jù)是兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；故答案為兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊；（2）材料中解決圖（2）所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化的思想，故答案為A．（3）如圖（3）中，作點B關(guān)于點C的對稱點B′，連接AB′．作BH⊥AB′于H．作點D關(guān)于AC的對稱點D′，則PD＝PD′，∴PB+PD＝PB+PD′，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點D′與H重合，B，P，D′共線時，PB+PD的最小值＝線段BH的長，∵BC＝CB′，AC⊥BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，∴∠BAH＝30°，在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝4cm，∴PB+PD的最小值為4cm．故答案為4．課后訓(xùn)練1．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝°．【答案】105°【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個三角形中，根據(jù)兩點之間線段最短，確定點F的位置，即F為AC與BH的交點時，BF＋CE的值最小，求出此時∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°?60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點時，BF＋CE的值最小，此時∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案為105°.【點睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF＋CE取得最小值時確定點F的位置，有難度．2．如圖，在中，，點P、Q分別是邊上的動點，則的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得，作A關(guān)于的對稱點，過點作，交于點，交于點，根據(jù)對稱可得：，得到當(dāng)三點共線時，最小，再根據(jù)垂線段最短，得到時，最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：在中，，∴作A關(guān)于的對稱點，過點作，交于點，交于點，

∵，∴當(dāng)三點共線時，最小，∵垂線段最短，∴時，最小，連接，∵關(guān)于對稱，∴，∴，∵，∴，即：，∴．故選D．【點睛】本題主要考查利用軸對稱求線段和最小問題．熟練掌握通過構(gòu)造軸對稱解決線段和最小是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點M、N，使得的周長最小，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)要使的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于和的對稱點，，即可得出，進而得出即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對稱點，，連接，，交于M，交于N，則，即為的周長最小值．作延長線，

∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．4．如圖，中，垂直于點，且，在直線上方有一動點滿足，則點到兩點距離之和最小時，度．

【答案】45【分析】由三角形面積關(guān)系得出點在與平行，且到的距離為的直線上，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，則，，此時點到兩點距離之和最小，作于，則，證明是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，從而即可得到答案．【詳解】解：，點在與平行，且到的距離為的直線上，，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，如圖所示，

，則，，此時點到兩點距離之和最小，作于，則，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，故答案為：45．【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動點，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，作N關(guān)于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.【詳解】解：作N關(guān)于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是銳角三角形∴R必在AC上∵N關(guān)于AD的對稱點是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂線段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.故答案為.【點睛】本題考查了軸對稱——最短路徑問題.解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.6．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為．【答案】．【分析】作B關(guān)于AC的對稱點B′，連接BB′、B′D，交AC于E，此時BE+ED=B′E+ED=B′D，根據(jù)兩點之間線段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，【詳解】解：∵B、B′關(guān)于AC的對稱，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四邊形ABCB′是平行四邊形，∵等邊三角形ABC是邊長為2，∵D為BC的中點，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延長線于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，B′D