向量在物理中的應(yīng)用舉例同步課時(shí)訓(xùn)練-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例——2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè)同步課時(shí)訓(xùn)練一、單選題1．在中，，，且，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．內(nèi)心C．外心 D．垂心2．在日常生活中，我們常常會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情景，若行李包所受的重力為，兩個(gè)拉力分別為，，且，與夾角為，當(dāng)兩人拎起行李包時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)角越大時(shí)，用力越省 D．當(dāng)時(shí)，3．如圖，一條河的南北兩岸平行.游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，則游船要從A行到正北方向上位于北岸的碼頭處，其航行速度的大?。?/p>

）A． B． C． D．4．已知三個(gè)力，，同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使該物體保持平衡，需再加上一個(gè)力，則（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．C．是銳角三角形的頂點(diǎn) D．是鈍角三角形的頂點(diǎn)6．如果表示“向南走”，表示“向北走”，表示“向東走”，表示“向西走”，那么下列向量中表示“向北走”的是（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列說法中正確的有（

）A．與垂直的單位向量為B．平面上三個(gè)力，，作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，，，與的夾角為，則大小為C．若非零向量，滿足，則與的夾角是D．已知，，且與夾角為銳角，則的取值范圍是8．點(diǎn)O在所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有A．若,則點(diǎn)O為的重心B．若,則點(diǎn)O為的垂心C．若,則點(diǎn)O為的外心D．若,則點(diǎn)O為的內(nèi)心三、填空題9．一艘船以的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為.則船的實(shí)際航行速度大小為，方向與水流的方向所成的角的大小為.10．在如圖的天平中，左、右兩個(gè)秤盤均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上．在其中一個(gè)秤盤中放入重量為的物品，在另一個(gè)秤盤中放入重量的砝碼，天平平衡．根細(xì)繩通過秤盤分擔(dān)對(duì)物品的拉力（拉力分別為，，，若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為，不考慮秤盤和細(xì)繩本身的質(zhì)量，則的大小為．11．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.12．一艘船從河岸邊出發(fā)向河對(duì)岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當(dāng)航程最短時(shí)船實(shí)際航行的速度大小為km/h.四、解答題13．某人在靜水中游泳，速度為千米/小時(shí)，他在水流速度為千米/小時(shí)的河中游泳．他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？14．如果小汽艇向著垂直河岸的方向行駛，在靜水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度是多大？方向怎樣？要使小汽艇沿垂直河岸方向到達(dá)對(duì)岸碼頭，船頭方向又應(yīng)怎樣？15．如圖，已知一條河的兩岸平行，河的寬度為d，某人從河的北岸出發(fā)到河對(duì)岸，河水自西向東流速為，設(shè)某人在靜水中游泳的速度為，在流水中實(shí)際速度為．（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向與水流方向的夾角和的大??；（2）如果要使此人游得時(shí)間最短，且，求他實(shí)際前進(jìn)的方向與水流方向的夾角和的大?。?6．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，E是垂足，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，求證AF⊥BE.參考答案：1．A【分析】過C作，交AB于H，取AB中點(diǎn)D，連接CD，所以，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡可得，根據(jù)三角形的性質(zhì)，分析即可得答案.【解析】過C作，交AB于H，取AB中點(diǎn)D，連接CD，如圖所示：根據(jù)三角函數(shù)定義可得，因?yàn)?，所以，即，即點(diǎn)P的軌跡在中線CD上，而三角形三邊中線的交點(diǎn)為該三角形的重心，所以點(diǎn)的軌跡一定通過的重心.故選：A2．B【分析】根據(jù)題意可得，則，再根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)分析即可得出答案.【解析】解：根據(jù)題意可得：，則，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，及，故B正確；，因?yàn)樵谏线f減，又因行李包所受的重力為不變，所以當(dāng)角越大時(shí)，用力越大，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即，解得，又因，所以，故D錯(cuò)誤.故選：B.3．A【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，然后再求出即可【解析】設(shè)與所成的角為，由題意得，，則.故選:A4．D【解析】如果物體保持平衡，那么所受合力為，根據(jù)已知三個(gè)力，計(jì)算可得。【解析】由物理知識(shí)，知物體平衡，則所受合力為，所以，故.故選：D【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查由物體受力平衡求向量，是基礎(chǔ)題。5．D【解析】由題意，求得，得到是鈍角，即可得到答案.【解析】由題意，點(diǎn)，，，可得，則，所以是鈍角.故選：D.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積的計(jì)算及應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于據(jù)基礎(chǔ)題.6．C【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】由題意，向量表示向北走，所以A不符合題意；向量表示向東走，所以B不符合題意；向量表示向北走，所以C符合題意；向量表示向南走，所以D不符合題意；故選：C．7．BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解即可；對(duì)于B：可知，利用數(shù)量積和模長關(guān)系運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)模長關(guān)系可得，進(jìn)而結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：舉反例說明即可.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)為，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由題意得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若非零向量，滿足，則，即，可得，又因?yàn)椋芍c的夾角的余弦值為，且，所以與的夾角是，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，與平行，不滿足與夾角為銳角，所以若與夾角為銳角，則的取值范圍不包含0，故D錯(cuò)誤.故選：BC.8．AC【解析】逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【解析】解：選項(xiàng)A，設(shè)D為的中點(diǎn)，由于，所以為邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)，所以O(shè)為的重心；選項(xiàng)B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)O在的平分線上，同理由，知點(diǎn)O在的平分線上，故O為的內(nèi)心；選項(xiàng)C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為的外心；選項(xiàng)D，由得，∴，即，∴．同理可證，∴，，，即點(diǎn)O是的垂心；故選：AC．【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量在三角形中的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．9．【分析】先作出圖像，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為向量問題，利用勾股定理運(yùn)算即可得解.【解析】解：如圖，設(shè)表示船垂直于對(duì)岸的速度，表示河水的流速，以為鄰邊作平行四邊形，則就是船實(shí)際航行速度，在中，,所以，,即，即船的實(shí)際航行速度大小為，方向與水流的方向所成的角的大小為，故答案為：(1)

(2)

【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為向量問題，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬基礎(chǔ)題.10．【分析】根據(jù)題意可得且，平方后利用數(shù)量積公式展開即可得解．【解析】依題意，且，所以，即，解得．故答案為：．11．5【分析】以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求模長的最小值.【解析】由題：以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，當(dāng)取得最小值.故答案為：5【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】此題考查平面向量線性運(yùn)算和模長的坐標(biāo)表示，恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系將模長問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化利于解題.12．【分析】利用勾股定理求得正確答案.【解析】要使航程最短，則船實(shí)際航行應(yīng)正對(duì)著河對(duì)岸航行，所以船實(shí)際航行的速度大小為km/h.故答案為：13．答案見解析【分析】作出圖形，利用平面向量加法的平行四邊形法則可得結(jié)論.【解析】如圖，設(shè)此人的實(shí)際速度為，水流速度為，游速為，則，在中，，，則，.故此人沿向量的方向游（即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為），實(shí)際前進(jìn)的速度大小為千米/小時(shí)．14．小汽艇在河水中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度是；小汽艇實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向與河岸的夾角為；要使小汽艇沿垂直河岸方向到達(dá)對(duì)岸碼頭，船頭應(yīng)與垂直河岸方向成的角．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算求出答案即可.【解析】如圖（1）所示，小汽艇在河水中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度是；，所以小汽艇實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向與河岸的夾角為；如圖（2）所示，中，，，所以，解得．所以要使小汽艇沿垂直河岸方向到達(dá)對(duì)岸碼頭，船頭應(yīng)與垂直河岸方向成的角．15．（1），;(2),.【分析】（1）根據(jù)題意，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度與對(duì)岸垂直即可，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)題意，要使時(shí)間最短，則只需游泳距離與合速度的比值最小，進(jìn)而得當(dāng)此人垂直于對(duì)岸游泳時(shí)，用時(shí)最短，進(jìn)而求得答案.【解析】解：（1）如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度與對(duì)岸垂直，如圖，此人游泳的方向與水流方向的夾角，此時(shí)，.（2）如圖2，設(shè)與的夾角為，與的夾角為，實(shí)際游泳的距離為，所以，，所以，故當(dāng)與的夾角為時(shí)，此人游泳到對(duì)岸用時(shí)最短，如圖3，當(dāng)，由于，故，此時(shí)，所以.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查向量在物理上的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力與數(shù)學(xué)建模