向量的數(shù)量積課件-2023-2024學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

6.2.4向量的數(shù)量積學習目標1.通過物理中功等實例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.(數(shù)學運算、直觀想象)3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.(數(shù)學運算、邏輯推理)思

維

導

圖復

習

回

顧問題：我們已經(jīng)學習了向量的哪些運算？

這些運算的結果是什么？向量的加法、減法及數(shù)乘運算這些運算的結果仍是一個向量探

究

新

知

如圖，當力F和位移S存在一個夾角θ時，力對物體所做的功是多少？從求功的運算中，能否抽象出某種數(shù)學運算？FSθ知

識

遷

移問題4：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結果又該如何表述？兩個向量的乘積等于向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；類

比知

識

梳

理知識點一

數(shù)量積的定義(0≤θ≤π)

夾角

同向反向垂直確定a,b的夾角時,起點要重合

2．平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量_________________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝_________________．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.|a||b|cos

θ|a||b|cos

θ

注意：兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種運算,與實數(shù)乘實數(shù)、數(shù)乘向量的乘法有著本質的區(qū)別,書寫時一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.知識點二

向量a在向量b上的投影向量投影投影向量投影向量

微思考：向量的數(shù)量積的運算結果與線性運算的結果有什么

不同？【提示】數(shù)量積的運算結果是實數(shù)，

線性運算的運算結果是向量．知識點三

平面向量數(shù)量積的性質|a|cosθ

a·b＝0知識點四

平面向量數(shù)量積的運算律交換律a·b=b·a數(shù)乘的結合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c注意：(1)向量數(shù)量積的運算不適合約分,即a·b=a·cb=c.(2)向量數(shù)量積運算也不適合結合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由

于(a·b)·c表示一個與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個與a共線的向量.題

型

探

究探究一求平面向量的數(shù)量積角度1

數(shù)量積的簡單計算例1.已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b; (2)a2-b2; (3)(2a-b)·(a+3b).分析依據(jù)向量的數(shù)量積、模、夾角的定義逐一進行計算即可.(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.角度2

幾何圖形中向量數(shù)量積的計算

分析利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,將

轉化為已知的邊、角求解.答案

-1解析

∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∴∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,求向量的投影向量探究二例3.如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是邊BC的中點,求:解

如圖,連接AD,因為AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又D是BC邊的中點,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,向量模的相關問題探究三角度1

利用數(shù)量積求向量的模例4(1)已知向量a,b滿足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60°,則|2a+b|=

.

角度2

與模有關的最值問題例5.(1)若平面向量a,b,c滿足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,則|b-c|的取值

范圍是(

)答案

(1)B

(2)A利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問題探究四例6.(1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角.分析(1)將已知條件展開變形后利用數(shù)量積的定義求解.(2)可采用數(shù)形結合的方法構造平面圖形求解.(1)答案

C

答案

B課

堂

練

習2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夾角為30°,設與b方向相同的單位向量為e,則a在b上的投影向量為(

)答案

C解析

a在b上的投影向量為|a|cos

30°e=4×cos

30°e=2e,故選C.3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,則a與b的夾角為(

)A.60° B.120° C.135° D.150°答案

B

4.若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,則|a|=(

)A.2 B.4 C.6 D.12答案

C解析

因為(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-|a||b|cos

60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.5.已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,若(2a+b)⊥(a+λb),則λ=

.

解析

∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.∵|a|=|b|=1,且a與b的夾角為60°,答案

22課

堂

小

結向量a與b的數(shù)量積的含義是什么？向量的數(shù)量積具有哪些運算性質？

a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a與b的夾角．設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量,則(1)

a·e=e·a

=|a|cosθ．(2