新九年級數(shù)學時期講義第8講與圓有關的位置關系-滿分班(學生版+解析)

第8講與圓有關的位置關系1點與圓的位置關系1．點和圓的三種位置關系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有

【例題精選】例1(2023秋?高郵市期末）在平面直角坐標系中，⊙O的直徑為10，若圓心O為坐標原點，則點P（﹣8，6）與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O外 C．點P在⊙O內(nèi) D．無法確定例2(2023秋?鼓樓區(qū)期末）已知△ABC，以AB為直徑作⊙O，∠C＝88°，則點C在（）A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O內(nèi) D．無法確定【隨堂練習】1．(2023秋?沭陽縣期末）在平面直角坐標系中，圓O的半徑為5，圓心O為坐標原點，則點P（﹣3，4）與圓O的位置關系是（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能確定2．(2023秋?惠山區(qū)期末）已知⊙O的半徑為6cm，OP＝8cm，則點P和⊙O的位置關系是（）A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．無法判斷2直線與圓的位置關系1．直線和圓的三種位置關系：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．

(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】例1(2023秋?姜堰區(qū)期末）已知⊙O的直徑為4，點O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷例2(2023秋?東陽市期末）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線L的距離為4，則直線L與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【隨堂練習】1．(2023秋?海陵區(qū)期末）已知⊙O的直徑是5，點O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷2．(2023秋?定州市期末）在平面直角坐標系xOy中，以點（3，4）為圓心，4為半徑的圓與y軸所在直線的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定3．(2023?武漢模擬）已知⊙O的直徑為12cm，圓心到直線L的距離5cm，則直線L與⊙O的公共點的個數(shù)為（）A．2 B．1 C．0 D．不確定3正多邊形和圓各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.【例題精選】例1(2023?番禺區(qū)模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是上不同于點C的任意一點，則∠BPC的大小是（）A．22.5° B．45° C．30° D．50°例2(2023?和平區(qū)校級模擬）正六邊形的邊長與邊心距之比為（）A．1：2 B．2： C．2： D．：2【隨堂練習】1．(2023?和平區(qū)模擬）如圖，ABCDEF是中心為原點O，頂點A，D在x軸上，半徑為4的正六邊形，則頂點F的坐標為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，）2．(2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，連接BD、OD，則∠BDO＝_________°．綜合應用一．選擇題1．如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交于B、C兩點，M的坐標為（3，5），則B的坐標為（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）2．已知⊙O的半徑為4cm．若點P到圓心O的距離為3cm，則點P（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關系無法確定3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點，則以DE為直徑的圓與AB的位置關系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（）A．25° B．30° C．45° D．50°二．解答題5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點，弦CF⊥AB于E點，連結AC．（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明．（2）當AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足＝，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．（1）求證：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．8．如圖，AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上兩點，且點C為弧BF的中點，過點C作AF的垂線，交AF的延長線于點E，交AB的延長線于點D．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半徑的長．9．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，點E在AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，CE＝2，求△ABC的面積．第8講與圓有關的位置關系1點與圓的位置關系1．點和圓的三種位置關系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有

【例題精選】例1(2023秋?高郵市期末）在平面直角坐標系中，⊙O的直徑為10，若圓心O為坐標原點，則點P（﹣8，6）與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O外 C．點P在⊙O內(nèi) D．無法確定分析：先根據(jù)勾股定理求出OP的長，再與⊙P的半徑為5相比較即可．【解答】解：∵點P的坐標為（﹣8，6），OP＝＝10∵⊙O的直徑為10，半徑為5∴點P在⊙O外．故選：B．【點評】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．例2(2023秋?鼓樓區(qū)期末）已知△ABC，以AB為直徑作⊙O，∠C＝88°，則點C在（）A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O內(nèi) D．無法確定分析：根據(jù)圓周角定可得∠ADB＝90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結論．【解答】解：如圖，設⊙O交直線BC于D，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠C＝88°，∴點C在⊙O外，故選：B．【點評】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．也考查了圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)．【隨堂練習】1．(2023秋?沭陽縣期末）在平面直角坐標系中，圓O的半徑為5，圓心O為坐標原點，則點P（﹣3，4）與圓O的位置關系是（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能確定【解答】解：∵P（﹣3，4），∴OP＝＝5，∵OP＝r＝5，∴點P在⊙O上，故選：C．2．(2023秋?惠山區(qū)期末）已知⊙O的半徑為6cm，OP＝8cm，則點P和⊙O的位置關系是（）A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．無法判斷【解答】解：∵點P到圓心的距離OP＝8cm，小于⊙O的半徑6cm，∴點P在在圓外．故選：C．2直線與圓的位置關系1．直線和圓的三種位置關系：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點．

(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

【例題精選】例1(2023秋?姜堰區(qū)期末）已知⊙O的直徑為4，點O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷分析：根據(jù)直線與圓的位置關系判定方法，假設圓心到直線的距離為d，當d＞r，直線與圓相離，當d＝r，直線與圓相切，當d＜r，直線與圓相交，由⊙O的直徑為4cm，點O到直線l的距離為2cm，得出d＝r，進而l與⊙O的位置關系．【解答】解：∵⊙O的直徑為4，∴⊙O的半徑為2，∵點O到直線l的距離為2，∴d＝r∴l(xiāng)與⊙O的位置關系相切．故選：B．【點評】此題主要考查了直線與圓的位置關系，解決問題的關鍵是判斷出圓的半徑與圓心到直線的距離，再根據(jù)判定方法得出位置關系．例2(2023秋?東陽市期末）已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線L的距離為4，則直線L與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定分析：欲求直線1與圓O的位置關系，關鍵是比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關系．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：∵圓半徑r＝3，圓心到直線的距離d＝4．故r＝3＜d＝4，∴直線與圓的位置關系是相離．故選：C．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．【隨堂練習】1．(2023秋?海陵區(qū)期末）已知⊙O的直徑是5，點O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷【解答】解：∵⊙O的直徑是5，∴⊙O的半徑是2.5，∵點O到直線l的距離為3，∴點O到直線l的距離大于圓的半徑，∴直線l與⊙O的位置關系為相離．故選：A．2．(2023秋?定州市期末）在平面直角坐標系xOy中，以點（3，4）為圓心，4為半徑的圓與y軸所在直線的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【解答】解：依題意得：圓心到y(tǒng)軸的距離為：3＜半徑4，所以圓與y軸相交，故選：C．3．(2023?武漢模擬）已知⊙O的直徑為12cm，圓心到直線L的距離5cm，則直線L與⊙O的公共點的個數(shù)為（）A．2 B．1 C．0 D．不確定【解答】解：∵⊙O的直徑為12cm，∴⊙O的半徑為6cm，∵圓心到直線L的距離為5cm，∴直線L與圓是相交的位置關系，∴直線L與⊙O的公共點的個數(shù)為2個．故選：A．3正多邊形和圓各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.【例題精選】例1(2023?番禺區(qū)模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是上不同于點C的任意一點，則∠BPC的大小是（）A．22.5° B．45° C．30° D．50°分析：連接OB、OC，首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠BOC＝90°，再根據(jù)圓周角定理，得∠BPC＝45°．【解答】解：如圖，連接OB、OC，則∠BOC＝90°，根據(jù)圓周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故選：B．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應用．這里注意：根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，知正方形對角線的交點即為其外接圓的圓心．例2(2023?和平區(qū)校級模擬）正六邊形的邊長與邊心距之比為（）A．1：2 B．2： C．2： D．：2分析：可設正六邊形的邊長為2，欲求邊長、邊心距之比，我們畫出圖形，通過構造直角三角形，解直角三角形即可得出．【解答】解：如右圖所示，邊長AB＝2；又該多邊形為正六邊形，故∠OBA＝60°，在Rt△BOG中，BG＝1，OG＝，所以AB＝2，即邊長與邊心距之比2：，故選：C．【點評】此題主要考查正多邊形邊長的計算問題，要求學生熟練掌握應用．【隨堂練習】1．(2023?和平區(qū)模擬）如圖，ABCDEF是中心為原點O，頂點A，D在x軸上，半徑為4的正六邊形，則頂點F的坐標為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣1，）【解答】解：連接OF．∵∠AOF＝＝60°，OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OA＝OF＝4．設EF交y軸于G，則∠GOF＝30°．在Rt△GOF中，∵∠GOF＝30°，OF＝4，∴GF＝2，OG＝2．∴F（﹣2，2）．故選：C．2．(2023?鼓樓區(qū)一模）如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，連接BD、OD，則∠BDO＝_________°．【解答】解：連接OB，OC，∵點O是正五邊形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD＝＝72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD＝＝18°，故答案為：18．綜合應用一．選擇題1．如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交于B、C兩點，M的坐標為（3，5），則B的坐標為（）A．（0，5） B．（0，7） C．（0，8） D．（0，9）【解答】解：過M作MN⊥y軸，連接BM，∵圓M與x軸相切，M（3，5），∴ON＝AM＝5，MN＝3，設BC＝x，則BN＝OB﹣ON＝x﹣5，BM＝AM＝5，在Rt△BMN中，根據(jù)勾股定理得：52＝32+（x﹣5）2，解得：x＝9（x＝1不符合題意，舍去），則B（0，9），故選：D．2．已知⊙O的半徑為4cm．若點P到圓心O的距離為3cm，則點P（）A．在⊙O內(nèi) B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．與⊙O的位置關系無法確定【解答】解：∵點P到圓心的距離為3cm，而⊙O的半徑為4cm，∴點P到圓心的距離小于圓的半徑，∴點P在圓內(nèi)，故選：A．3．如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分別是AC，BC的中點，則以DE為直徑的圓與AB的位置關系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【解答】解：過點C作CM⊥AB于點M，交DE于點N，∴CM×AB＝AC×BC，∴CM＝＝4.8，∵D、E分別是AC、BC的中點，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∴CN＝MN＝CM，∴MN＝2.4，∵以DE為直徑的圓半徑為2.5，∴r＝2.5＞2.4，∴以DE為直徑的圓與AB的位置關系是：相交．故選：B．4．如圖，⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點A，B，∠BAC＝25°，則∠AMB的大小為（）A．25° B．30° C．45° D．50°【解答】解：∵MA切⊙O于點A，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分別切⊙O于點A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故選：D．二．解答題5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半徑為3，求線段AC的長【解答】（1）證明：連接CO，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，∴CO⊥CD，∴DC為⊙O的切線；（2）連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵⊙O的半徑為3，∴AB＝6，∴AC＝AB＝3．6．如圖已知AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于C點，弦CF⊥AB于E點，連結AC．（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明．（2）當AD⊥CD，OA＝5cm，CD＝4cm，求△OCF面積．【解答】（1）當AC滿足平分∠BAD條件時，有AD⊥CD，證明：連接BC，則∠ACB＝90°，即∠ABC+∠BAC＝90°，∵CD是圓O的切線，∴∠ACD＝∠ABC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，即∠ADC＝90°，AD⊥CD；（2）解：連結OC、OF．∵CD切⊙O于C點，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC．∴AC平分∠BAD，∴CD＝CE，∵OA＝5，CD＝4，∴OC＝OA＝5，CE＝4，∵CF⊥AB，∴CF＝2CEOE＝＝＝3，∴CF＝2×4＝8CF×OE÷2＝8×3÷2＝12，故△OCF面積為12cm2．7．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足＝，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．（1）求證：AE⊥DE；（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵＝，∴∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于點C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA＝60°，∴∠BAC＝∠EAC＝