人教版高中數(shù)學(xué)必修一《 用二分法求方程的近似解》教學(xué)設(shè)計(jì)（含答案）

3.1.2用二分法求方程的近似解

教學(xué)設(shè)計(jì)（一）

學(xué)習(xí)準(zhǔn)備

教師需要明了：

1.新教材為什么增加求方程的近似解？

2.為什么用“二分法”求方程的近似解？

3.本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位和作用.

4.明確學(xué)生現(xiàn)有的水平和可能的發(fā)展水平.

學(xué)生需要復(fù)習(xí)：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識.

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”確定本課時(shí)教學(xué)和學(xué)習(xí)目標(biāo).

教學(xué)目標(biāo)

1.了解二分法是求方程近似解的一種方法.

2.會用二分法求給定精確度的方程的近似解.

3.在具體問題情境中感受逐步逼近的過程.

4.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析數(shù)據(jù)的能力.

5.培養(yǎng)學(xué)生合作與交流的意識和對新知探求的精神.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：二分.法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解.

難點(diǎn)：對二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解.

教學(xué)方法與教學(xué)手段

教學(xué)方法：“問題驅(qū)動”，啟發(fā)、探究

學(xué)法：自主探究、分組合作、辨析討論、深化理解

教輔工具：計(jì)算機(jī)、投影儀、計(jì)算器

教學(xué)過程

1.設(shè)置情境，提出問題

問題1：你會求哪些類型方程的解？

寫一寫你不會求解的方程.

設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生感受有大量的方程不，能求解，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

問題2：能不能求方程的近似解?

2.自主探究，獲得新知

以求方程/+3%—1=0的近似解(精確度0.1)為例進(jìn)行探究.

探究1：怎樣確定解所在的區(qū)間？

(1)圖象法(數(shù)形結(jié)合)：

(2)試值法：

設(shè)犬x)=V+3x—l,/0)=-1<0,y(l)=3>0.

復(fù)習(xí)：(1)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；

(2)根的存在性定理.

探究2：怎樣縮小解所在的區(qū)間？

幸運(yùn)52中猜商品價(jià)格環(huán)節(jié)，讓學(xué)生思考：

(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用？

(2)如何猜才能最快猜出商品的價(jià)格？

設(shè)計(jì)意圖

在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，搭建平臺，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，不僅激發(fā)學(xué).生

學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也在猜測的過程中逐步體會二分法思想.

問題3：為什么要取中點(diǎn)，好處是什么？

設(shè)計(jì)意圖

體會二分法優(yōu)于其他如“三分法”，“四分法”，華羅庚的“優(yōu)選法”等.

探究3：區(qū)間縮小到什么程度滿足要求？

設(shè)計(jì)意圖

利用計(jì)算器進(jìn)行了多次計(jì)算，逐步縮小實(shí)數(shù)解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然,

突破了教學(xué)上的難點(diǎn)，提高了探究活動的有效性.

問題4：精確度0.1指的是什么？與精確到0.1一樣嗎？

通過對以上問題的探究，給出二分法的定義就水到渠成了.

二分法的定義：

對于在區(qū)間［a,加上連續(xù)不斷且滿足/(a)7(b)＜0的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把函數(shù)/(x)

的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法

叫做二分法.

用二分法求零點(diǎn)近似值的步驟：

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)段)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證。a)7(b)＜：0,給定精確度￡;

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)c；

(3)計(jì)算的＞；

①若7(c)=0,則c,就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若1a)7(c)vo,則令6=c(此時(shí)零點(diǎn)xoW(a,c))；

③若＜’)次力＜0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x()G(c,b)).

(4)判斷是否達(dá)到精確度e：

即若|a—臼〈心則得到零點(diǎn)近似值。(或勿：否則重復(fù)步驟(2)?(4).

3.例題剖析，鞏固新知

【例】借助計(jì)算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近.似解(精確度0.01).

兩人一組，一人用計(jì)算器求值，一人記錄結(jié)果；學(xué)生講解縮小區(qū)間的方法和過程，教師

點(diǎn)評.同時(shí)演示用Excel程序求方程的近似解.

設(shè)計(jì)意圖

(1)演示Excel程序求方程的近似解，界畫活潑，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與教學(xué)課程有機(jī)整

合.進(jìn)一步明確為什么用“二分法”求方程的近似解.(2)算法流程比較簡潔，便.于編寫計(jì)

算機(jī)程序，利用計(jì)算器和多媒體輔助教學(xué)，直觀明了.

4.知識遷移，生活應(yīng)用

(1)猜商品價(jià)格；

(2)從上海到美國舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，

為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少需要檢查接點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

5.檢驗(yàn)成果，鞏固提升

(1)下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是()

ABCD

思維升華：在零點(diǎn)的附近連續(xù)且式。)皿與＜0.

(2)方程4，+2x—11=0的解在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？你能給出一個(gè)滿足精確度為0.1的近似

解嗎？

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

說明：二分法不僅能求方程的近似解，有時(shí)也能求方程的精確解.

6.回顧反思

本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？有哪些收獲？還有什么疑問？

(1)預(yù)設(shè)課堂生成問題(有些同學(xué)可能會有這樣的疑惑，若沒有就作為課下拓展留給學(xué)生

思考).

如圖所示，區(qū)間m，加上有多個(gè)零點(diǎn)，還能否用二分法求方程的近似解？如果能，該怎

樣做？

(2)學(xué)生課堂生成新問題(不同的班級可能會有不同的問題，具體問題具體解決).

課外作業(yè)

1.書面作業(yè)

⑴習(xí)題3.1A組3,4,5；

⑵求2、+3x=7的近似解(精確度0.1).

2.知識鏈接閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

板書設(shè)計(jì)

課題：(投影顯示)

1.提出問題：

2.自主探究：

3.抽象概括：

4.鞏固練習(xí)：

5.歸納總結(jié)：

教學(xué)反思

1.注重學(xué)生參與知識的形成過程；

2”注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識；

3.恰當(dāng)?shù)乩矛F(xiàn)代信息技術(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)（二）

作者：馮紅果，泉州市第七中學(xué)教師.本教學(xué)設(shè)計(jì)獲福,建省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽一等獎.

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)1》人教A版第三章第一節(jié)第二課，主

要是分析函數(shù)與方程的關(guān)系.教材分三步來進(jìn)行：第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡單的一元二次方

程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)

系.然后推廣為一般方程與相應(yīng)函數(shù)的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，

通過函數(shù)圖象和性質(zhì)來研究方程的解，體現(xiàn)方程和函數(shù)的關(guān)系；第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用

過程中，通過函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)

與方程的聯(lián)系.

本節(jié)課是這一小節(jié)的第二節(jié)課，即用二分法求方程的近似解.它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)

的零點(diǎn)存在定理”為確定方程解所在區(qū)間的依據(jù)，從求方程近似解這個(gè)側(cè)面來體現(xiàn)“方程與

函數(shù)的關(guān)系”：而且在“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透了算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)

習(xí)算法的內(nèi)容埋下伏筆；充分體現(xiàn)新課程“滲透算學(xué)方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化以及重視信息技術(shù)

應(yīng)用”的理念.求方程近似解其中隱含“逼進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想，并且運(yùn)用“二分法”來逼近目

標(biāo)是一種普通而有效的方法，其關(guān)鍵是逼近的依據(jù).

學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對函數(shù)的零點(diǎn)具備基本的認(rèn)識；而二分法來自生活，是由

生活中抽象而來的，只要我們選材得當(dāng)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到滲透數(shù)學(xué)思想關(guān)注

數(shù)學(xué)文化的目的，學(xué)生也能夠很容易理解這種方法.其中運(yùn)用“二分法”進(jìn)行區(qū)間縮小的依

據(jù)、總結(jié)出“運(yùn)用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運(yùn)用到生活實(shí)際，是需要

學(xué)生“跳跳”才能摘到的“桃子”.

設(shè)計(jì)理念

本節(jié)課倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，應(yīng)用從生活實(shí)際——理論——實(shí)際應(yīng)用的

過程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、圖表、信息技術(shù)，采用教師引導(dǎo)——學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，注

重提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象

與概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、反思與建構(gòu)等思維過程.

教學(xué)目標(biāo)

1.理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡單方程近似解的方法；利用信息技術(shù)輔助

教學(xué)，讓學(xué)生用計(jì)算器自己驗(yàn)證求方程近似值的過程；

2.體會二分法的思想和方法，使學(xué)生意識到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學(xué)

生能夠了解近似逼近思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力和創(chuàng)新能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；

3.體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；感受正面解決問題困難時(shí)，通

過迂回的方法使問題得到解決的快樂.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：能夠借用計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，根所在區(qū)間的確定及逼近的

思想.

教學(xué)難點(diǎn)：對二分法的理論支撐的理解，區(qū)間長度的縮小.

教學(xué)過程

教學(xué)基本流程圖

教學(xué)情境設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情預(yù)設(shè)設(shè)計(jì)意圖知識鏈接

創(chuàng)71.教師從學(xué)生熟悉的電視1.利用視屏與游戲

看商品W

設(shè)猜價(jià)格節(jié)目，引導(dǎo)學(xué)生體會、分析、歸的形式，學(xué)生會踴躍參

點(diǎn)擊將有

情納迅速猜價(jià)的方法.與：商品價(jià)格競猜也是學(xué)

學(xué)生能夠主動參與游戲，生熟悉的，競猜的方法會

境配舍:/#2.

并且參與游戲的同學(xué)可以比較很多樣，可以進(jìn)行競賽.

和體:li鈍

引并總結(jié)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生會有很多種方2.通過問題2,啟發(fā)

出1.大家都看過《幸運(yùn)52》吧,案.學(xué)生尋找確定區(qū)間的依

課今天咱也試一回（出示游戲）.3.對于“問題2”學(xué)生能夠據(jù)，為后面探索“用二分

題2.競猜中，“高了”、“低順利地得出“主持人的“高了，法求方程近似解”的時(shí)

了”的含義是什么？如何確定價(jià)低了”的回答是判斷價(jià)格所在候埋下伏筆.

格的最可能的范圍？區(qū)間的依據(jù)”這個(gè)結(jié)論.3.通過游戲，讓學(xué)

3.如何才能更快地猜中商品4.此時(shí)教師通過“問題3”生經(jīng)歷游戲過程，感受數(shù)

的預(yù)定價(jià)格？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較哪種方法更學(xué)來自生活，激發(fā)學(xué)生的

4.“二分”的思路是什么快？更好.從中學(xué)生可以得到用二學(xué)習(xí)興趣；引導(dǎo)學(xué)生善于

分法解決問題的思路——二分發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)

指的是將解所在區(qū)間平均地分生的歸納演繹的能力；學(xué)

為兩個(gè)區(qū)間.會將實(shí)際情境轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)模型.

4.通過比較不同的

方法得出最快的競猜的

方法一二分法.

1.教師通過“問題1”對上［設(shè)計(jì)意圖］

節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)引入，點(diǎn)出1.開門見山，延續(xù)

今天的課題.并且有刖面游戲作上一節(jié)課的內(nèi)容繼續(xù)深

為伏筆，學(xué)生能夠得出“連續(xù)函入地研究，使得知識有一

數(shù)零點(diǎn)存在定理”是判斷方程個(gè)鏈接，讓學(xué)生能夠很容

1.上節(jié)課我們學(xué)了什么定

的根所在區(qū)間的依據(jù).易地將新知識建構(gòu)到舊

理，它的作用是什么？還有什么

2.通過“問題2”應(yīng)用具體的知識體系中.

問題沒有解決？

的題目引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.學(xué)生2.運(yùn)用問題1,將學(xué)

2.已知函數(shù)火x)=1nx+2x—

通過引導(dǎo)將方程的解與商品的生的思路與前面已解決

6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；如

價(jià)格聯(lián)系到一起，運(yùn)用剛才的游的問題聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)

何求出方程Inx+2x-6=0在區(qū)

戲的經(jīng)驗(yàn)，得到縮小區(qū)間的想生層層深入，抽絲撥繭，

間(2,3)的近似解(精確度為

師法.學(xué)習(xí)如何分析問題、如何

0.01)?與剛才的游戲是否有類似

生3.學(xué)生對精確度的概念可利用新的知識解決問題；

之處？

探能有所遺忘.教師可以借助數(shù)軸培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決

3.精確度的含義是什么？怎

究解釋說明精確度的含義，引導(dǎo)學(xué)問題的能力，以及運(yùn)用知

樣的區(qū)間才算滿足設(shè)定的精確

生思考什么時(shí)候停止操作.識、駕馭知識的能力.

度？

構(gòu)4.教師通過''問題4?6”3.師生的互動有利

4.區(qū)間(2,3)的精確度為多

建引導(dǎo)學(xué)生將“二分法”與“零于一邊引導(dǎo)一邊總結(jié).將

少？

新點(diǎn)存在定理”相結(jié)合得到正確二分法應(yīng)用于解決實(shí)際

5.如何將零點(diǎn)所在的范圍縮

知的新的零點(diǎn)所在的區(qū)間.并確定問題，即將新的知識應(yīng)用

小(即

結(jié)束的時(shí)間.于解決新的問題.培養(yǎng)學(xué)

如何將精確度縮小)？縮小的

5.學(xué)生按照游戲的方法也生實(shí)際應(yīng)用的

依據(jù)是什么？

就是按照“二分法”的思路，不能力，加強(qiáng)解決問題

6.如何利用今天“猜價(jià)

斷縮小零點(diǎn)存在的區(qū)間，進(jìn)行具的嚴(yán)謹(jǐn)性，總結(jié)知識的邏

格”--“二分法”的逼近思想

體操作，填出(附錄1)中的表輯性.使得最后方法的總

來縮小區(qū)間？

格.表格剛開始的前幾行學(xué)生可結(jié)能夠順利進(jìn)行.

7.近似解是多少？

能會比較慢，也有可能會出錯(cuò)；4.有了前面的商品

通過多次的重復(fù)以及經(jīng)驗(yàn)的總競猜過程的經(jīng)歷，學(xué)生比

結(jié)，后面的表格可以正確地、快較容易入手，分析比較容

速地回答出來；使得最后的“應(yīng)易到位，從而降低思維的

用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)”的方難度.

法的總結(jié)更加順利.［知識鏈接］

6.對于“問題7"學(xué)生不太1.函數(shù)零點(diǎn)存在定

容易得到比較簡潔的結(jié)論.教師理：如果函數(shù)在區(qū)

可以進(jìn)行解釋說明：“由于整個(gè)間［a,句上的圖象是連續(xù)

區(qū)間內(nèi)的數(shù)均滿足精確度的條不斷的一條曲線，并且有

件，因此區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)均可以那么，函數(shù)

作為近似解，但區(qū)間端點(diǎn)a,by=/(x)在區(qū)間(“，/內(nèi)有

是已知的值，所以可以取a或b零點(diǎn)，即存在cW(a,b),

作為近似解.”，最后得到方程使得xc)=0,這個(gè)c?也就

的近似解(附錄1的表格后面的是方程式x)=0的根.

內(nèi)容).2.精確度是對同一

個(gè)量的不同近似數(shù)的精

確程度的度量.一般是：

一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到

哪一位,就說這個(gè)近似數(shù)

精確到哪一位.

形學(xué)生經(jīng)過老師“問題1?［設(shè)計(jì)意圖］

1.我們剛才的求解過程中有

成2”的提示與引導(dǎo)，可以得到1.不斷的引導(dǎo),將

哪些過程是一直重復(fù)出現(xiàn)的？

概“取區(qū)間的中點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值，剛才的解題過程經(jīng)過

2.我們?nèi)∑湟欢危蠹铱慈?/p>

念比較符號，確定新的區(qū)間”這樣“自然語言——數(shù)學(xué)語

何用數(shù)學(xué)語言來描述？的相同的過程.言——去其糟粕取其精

深3.點(diǎn)明求方程的近似解的學(xué)生根據(jù)“二分法”的定華一具體步驟”的過

化“二分法”：對于在區(qū)間3,力義進(jìn)行歸納總結(jié)：運(yùn)用二分法求程，幫助學(xué)生學(xué)會歸納總

提上連續(xù)不斷、且式（份＜0的函方程的近似解的步驟（附錄2）.其結(jié)的方法.

高數(shù)y=Ax）,通過不斷地把方程的中步驟①“畫圖或利用函數(shù)值2.課間的及時(shí)總結(jié)

解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的正負(fù)，確定初始區(qū)間3，b）,有利于學(xué)生對當(dāng)前所學(xué)

的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近近似解，進(jìn)驗(yàn)證犬4求份〈0"；學(xué)生很有可的內(nèi)容進(jìn)行升華，了解自

而得到近似解的方法叫二分法.能會有遺漏.此時(shí)可以提出“問己掌握了什么知識，在后

題5”引導(dǎo)學(xué)生回憶、思考，從面的做題中可以有法可

而得至IIi云ffl一分件的前樨依，可以提高解題的正確

即步驟①.率，增強(qiáng)自信.

對于“問題6”，較好的學(xué)3.問題6的設(shè)計(jì)是

生才能回答出來.將學(xué)生的思維進(jìn)一步升

華，不再停留在技能這一

個(gè)層次，而是上升為數(shù)學(xué)

思想方法的層次.

4.進(jìn)一步提出問題：運(yùn)用二

［知識鏈接］

分法求方程的近似解的步驟是什

1.運(yùn)用二分法的前

么？

提是要先判斷根在某個(gè)

5.運(yùn)用二分法的前提是什么

所在的區(qū)間.

（游戲開始時(shí)要先做什么工作）？

2.二分法實(shí)際上是

引例條件的內(nèi)涵是什么？

通過縮小區(qū)間長度尋找

6.二分法的實(shí)質(zhì)是什么？它

解的一種方法.

有什么作用？

課1.練習(xí)：（1）（2）題為例題仿照練習(xí)1.（1）（2）題經(jīng)過同桌兩［設(shè)計(jì)意圖］

內(nèi)題，由同桌協(xié)助完成.（3）（4）題考位同學(xué)合作可以順利完成.（3）（4）1.不同層次的題目，

練查二分法的含義，由同學(xué)獨(dú)立完題獨(dú)立完成如果有困難的同學(xué)層層遞進(jìn)，不斷提高學(xué)生

習(xí)成，可以尋求幫助.（附錄4）在同伴或老師的幫助下可以完的能力.不僅鞏固新學(xué)的

2.思考：兩道題均為實(shí)際應(yīng)成.知識，而且讓不同層次的

課用題，為學(xué)有余力的同學(xué)提高能練習(xí)2實(shí)際應(yīng)用：學(xué)有余力學(xué)生得到不同的收獲；

后力.（附錄4）的同學(xué)與同伴合作探討，也可以2.培養(yǎng)合作、互助

作3.課后作業(yè)：習(xí)題3.1A組解決.精神；

業(yè)3,4；B組1,2.3.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與

創(chuàng)新的能力，利用二分法

的逼近思想解決實(shí)際問

題.

［設(shè)計(jì)意圖］

教師通過點(diǎn)名提問，學(xué)生借

學(xué)生的歸納總結(jié)的

助教師的幫助對整節(jié)課進(jìn)行最

本能力不強(qiáng)，需要不斷的培

請同學(xué)們回顧一下本節(jié)課的后的歸納總結(jié)，得到以下兩點(diǎn)：

課養(yǎng)；課后的總結(jié)有利于學(xué)

教學(xué)過程，你覺彳導(dǎo)你已經(jīng)掌握了（1）二分法是一種求一元方程近

小生對整節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行

哪些知識？似解的通法.（2）利用二分法來解

結(jié)升華，了解自己掌握了什

一元方程近似解的操作步驟（附

么知識，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)

錄3）.

習(xí)慣，建立自信心.

教學(xué)反思

1.本節(jié)課有兩條線，明線：“從生活實(shí)際、從學(xué)生熟知的現(xiàn)實(shí)生活、從學(xué)生喜愛的游

戲——“競猜商品的價(jià)格”入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深層的思考——如何才能更快更好地贏得游

戲？與學(xué)生一道進(jìn)行新知識的探索過程——二分法的得來；再將二分法充分地運(yùn)用在函數(shù)零

點(diǎn)的求解上；最后將二分法求解函數(shù)零點(diǎn)的過程程序化”；暗線：“生活實(shí)際（特殊）——二

分法的理論（一般）——二分法的應(yīng)用（特殊）”.讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程，培養(yǎng)發(fā)

現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、時(shí)代性、典型性和可接受性，體

會數(shù)學(xué)來自生活，應(yīng)用于生活的最高境界，感受數(shù)學(xué)之美.

2.引入課題的方式，（1）從生活中的常見現(xiàn)象——“商品價(jià)格的競猜”引入；（2）開門見

山一“繼續(xù)前面的研究”引入.

（附錄1）解：設(shè)/）=lnx+2x—6,xd（2,3）,先取區(qū)間的中點(diǎn)，再計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值,

接著應(yīng)用“零點(diǎn)存在定理”確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而縮小精確度，得到下表：

區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值精確度

(2,3)2.5-0.0837092681

(2.5,3)2.750.5116009120.5

(2.5,2.75)2.6250.2150808960.25

(2.5,2.625)2.56250.0659833440.125

(2.5,2.5625)2.53125-0.0087867480.0625

(2.53125,2.5625)2.5468750.0286171170.03125

(2.53125,2.546875)2.53906250.0099199180.015625

(2.53125,2.5390625)2.535156250.0005677720.007813

(2.53125,2.53515625)2.533203125-0.0041091910.003906

(2.533203125,2.53515625)2.534179688-0.0017706340.001953

(2.534179688,2.53515625)2.534667969-0.0006014120.000977

(2.534667969,2.53515625)2.534912109-1.68166X10-0.000488

所以,當(dāng)精確度為0.01時(shí),由于12.5390625-2.531251=0.0078125V0.01,因此我們

可以將x=2.53125作為函數(shù)外）=lnx+2x-6零點(diǎn)的近似值，也即方程Inx+2x-6=0根

的近似值.

（附錄2）二分法求解方程Hx）=0（或g（x）=〃（x））近似解的基本步驟：

①畫圖或利用函數(shù)值的正負(fù)，確定初始區(qū)間①，h）,驗(yàn)證人a）?火力V0；

②求區(qū)間3，份的中點(diǎn)xg=W"））；

③計(jì)算應(yīng)⑴：若兀q）=0,則xi就是函數(shù)兀0的零點(diǎn)，為就是大x）=0的根，計(jì)算終止；

若加）穴內(nèi)）＜0,則選擇區(qū)間（a,X1）；

若加次V1）＞O,則選擇區(qū)間（XI，b）；

④循環(huán)操作②、③，直到當(dāng)區(qū)間的精確度達(dá)到事先指定的精確度￡（若是要求精確到￡,

兩端點(diǎn)精確到同一個(gè)近似值時(shí)才終止計(jì)算）.

（附錄3）

1.練習(xí)：（1）應(yīng)用計(jì)算器，求方程V+3x—1=0的一個(gè)正的近似解.

（2）應(yīng)用計(jì)算器，求方程2、+x=4的近似解.

（3）用二分法判斷方程2'=/的根的個(gè)數(shù)（）

A.1B.2C.3D.4

（4）方程lg（x+4）=10,的根的情況是（）

A.僅有一根B.有一正根一負(fù)根

C.有兩負(fù)根D.無實(shí)根

2.思考：（1）從上海到美國舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障，需

及時(shí)修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少需要檢查接點(diǎn)的個(gè)數(shù)為幾個(gè)？

（2）一天，泉州七中校區(qū)與現(xiàn)代中學(xué)（分校）校區(qū)的電纜線路出了故障（相距大約10km）,

電工是怎樣檢測的呢？

答案：略

教學(xué)設(shè)計(jì)（三）

作者：羅志強(qiáng)，長汀縣第一中學(xué)教師.本教學(xué)設(shè)計(jì)獲福建省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽三等獎.

整體設(shè)計(jì)

三維目標(biāo)

1.知識與技能：

①通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件；

②借助科學(xué)計(jì)算器，掌握運(yùn)用二分法求滿足一定精確度要求的簡單方程近似解的方法.

2.過程與方法：

①了解數(shù)學(xué)上的逼近思想、極限思想；

②體驗(yàn)二分法的算法思想，培養(yǎng)自主探究的能力，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

①通過了解數(shù)學(xué)家的史料來提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

②體會數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一：

③通過具體實(shí)例的探究，歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從具體到一般的認(rèn)知過程.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：二分法的基本思想的理解，運(yùn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟和過程；

教學(xué)難點(diǎn)：精確度概念的理解及恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的

方程的近似解.

教材分析

本節(jié)課在學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下學(xué)習(xí)了方程的根與對應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的

關(guān)系的基礎(chǔ)上，再介紹求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求方程近似

解步驟”中滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容做準(zhǔn)備.教科書不僅希望學(xué)生在數(shù)學(xué)

思想與運(yùn)用信息技術(shù)的能力上有所收獲，而且希望學(xué)生通過了解古今中外數(shù)學(xué)家求方程的解

的史料來滲透數(shù)學(xué)文化，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

學(xué)情分析

學(xué)生基礎(chǔ)較好，學(xué)習(xí)的主動性較強(qiáng)，所以通過一節(jié)課掌握用二分法求方程的近似解的方

法，體驗(yàn)二分法中的逼近思想、算法思想.但在求解的過程中，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，因

此對獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學(xué)生具備恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決

這一問題的能力.

信息技術(shù)分析

多媒體教室及幾何畫板、VisualBasic應(yīng)用程序.

教學(xué)方法

動手操作、分組討論、合作交流、課后實(shí)踐.

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入|——由模仿中央電視臺節(jié)目“幸運(yùn)52”中的猜價(jià)游戲?qū)胄抡n,提出二

分法的思想

例題回顧|—回顧例題，復(fù)習(xí)零點(diǎn)存在性定理，提出新問題：能不能求出零點(diǎn)《幾何

畫板》演示

合作探究——借助《幾何畫板》軟件探究用二分法求方程的近似解

師生小結(jié)——總結(jié)出用二分法求方程近似解的步驟

學(xué)以致用——學(xué)生借助科學(xué)計(jì)算器，用二分法求方程的近似解

數(shù)學(xué)文化——介紹數(shù)學(xué)家求方程的近似解的歷史

知識遷移|——利用VisualBasic編寫程序，滲透算法思想

教學(xué)設(shè)計(jì)理念

1.倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.

2.鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、合作交流.

3.注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合.

4.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.

教學(xué)情境設(shè)計(jì)

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題情境：中央電視臺有一檔娛樂節(jié)目“幸運(yùn)52”，主持人李詠會給選手在限定時(shí)間

內(nèi)猜某一物品的售價(jià)的機(jī)會，如果猜中，就把物品獎勵(lì)給選手，同時(shí)獲得一枚商標(biāo).某次猜

一種品牌的手機(jī)，價(jià)格在500?1000元之間，選手開始報(bào)價(jià)：1000元，主持人回答：高了；

緊接著報(bào)價(jià)900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851

元，恭喜你，你猜中了.

設(shè)計(jì)意圖

1.創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的游戲情境，制造懸念，引發(fā).學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在教師的指導(dǎo)下設(shè)

計(jì)猜價(jià)方案.

2.在學(xué)生設(shè)計(jì)猜價(jià)方案的基礎(chǔ)上，提出設(shè)計(jì)此方案的思想后引入''二分法"，水到渠

成.

師生活動：

師:表面上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分,實(shí)際中，游戲的報(bào)價(jià)過程體現(xiàn)了“逼近”

的數(shù)學(xué)思想，你能設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案來幫助選手猜價(jià)嗎？請學(xué)生思考后，提問學(xué)生用你

的猜價(jià)方案猜手機(jī)價(jià)格？

生：猜價(jià)方案

區(qū)間中點(diǎn)（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875問J

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851ok

師：用兒何畫板配合學(xué)生演示猜價(jià)的過程后，提問此方案的設(shè)計(jì)思想（附圖一）.

生：關(guān)鍵是取區(qū)間的中點(diǎn)，不斷地縮小價(jià)格所在的區(qū)間.

師：此方法在數(shù)學(xué)上稱作“二分法”，并在黑板上板書，從而引入課題.

二、例題回顧

人教A版3.1.1節(jié)例1

求函數(shù)/（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？方程lnx+2x—6=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)？

問題1：如何來確定函數(shù)零點(diǎn)的存在性，即方程的實(shí)數(shù)解的存在性？

問題2：共助=111；＜:+2%—6在區(qū)間（2,3）內(nèi)有零點(diǎn)，如何找出？

設(shè)計(jì)意圖

通過例題回顧，引導(dǎo)學(xué)生將找方程的實(shí)數(shù)解與找對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的問題等同起來，體會

數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換.

師生活動：

師：借助幾何畫板直觀演示（附圖二）函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，并復(fù)習(xí)零點(diǎn)存在性定理后，讓

學(xué)生思考問題2,提示學(xué)生回顧猜價(jià)方案的思想.

生：使用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，思考，交流思路.

師：提問學(xué)生.

生：1.取(2,3)的中點(diǎn)2.5,發(fā)現(xiàn)佳2.5)次3)V0,所以零點(diǎn)在(2.5,3)內(nèi).

2.以此類推，發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)所在的區(qū)間在不斷縮小.

三、合作探究

問題1：零點(diǎn)存在區(qū)間的大小能說明什么問題？

問題2：你能夠總結(jié)出使零點(diǎn)存在的區(qū)間越來越小的規(guī)律嗎？

問題3：當(dāng)我們能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的區(qū)間不斷地縮小時(shí)，怎樣確定零點(diǎn)的近似值？

設(shè)計(jì)意圖

1.讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，初步體會極限思想.

2.引導(dǎo)學(xué)生從具體的實(shí)例出發(fā)，總結(jié)出一般性的規(guī)律，符合學(xué)生的思維意識，并讓學(xué)

生充分體會二分法思想.

3.引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)零點(diǎn)的近似值求出來，讓學(xué)生體會精確度的作用.

師生活動：

1.師：借助幾何畫板(附圖三)引導(dǎo)學(xué)生思考，并讓學(xué)生交流、討論.

生：零點(diǎn)存在區(qū)間越小，區(qū)間兩端點(diǎn)越接近該區(qū)間的實(shí)數(shù)解.

2.師：說明讓零點(diǎn)存在區(qū)間越來越小是解決問題的關(guān)鍵，請思考問題2.

生：分組交流.

生：經(jīng)合作整理，規(guī)律如下：

每次將區(qū)間二等分，留下區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號相反的區(qū)間.

師：實(shí)質(zhì)是根據(jù)什么定理？

生：零點(diǎn)存在性定理.

3.師：順勢讓學(xué)生思考問題3后，指出給定精確度e,只要將上述步驟進(jìn)行有限次重

復(fù)后即區(qū)間兩端點(diǎn)差的絕對值小于￡,則區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

幾何畫板直觀演示(附圖四).

四、師生小結(jié)

你能說出二分法的意義及用二分法求函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)近似值的步驟嗎？

1.二分法的意義

對于在區(qū)間［“，回上連續(xù)不斷且滿足(份＜0的函數(shù)通過不斷地把函數(shù)人幻

的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法

叫做二分法.

2.給定精確度€,用二分法求函數(shù)式X)零點(diǎn)近似值的步驟如下：幾何畫板分布演示(附

圖五).

設(shè)計(jì)意圖

引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)二分法的適用條件及求方程近似解的具體步驟，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的

思想，體險(xiǎn)解決問題的成就感.

師生活動：

師：闡述二分法的逼近原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似

零點(diǎn)的具體步驟.

師：分析關(guān)鍵詞：

犬〃)7(/?)<0、=精確度￡、|。一句<￡的意義.

生：結(jié)合求函數(shù);(x)=ln(x)+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)，理解二分法的算法思想與計(jì)

算原理.

五、學(xué)以致用

問題1：實(shí)際生活中有沒有利用到二分法的思想方法的例子呢？試舉例.

問題2：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2*+3x=7的近似解.(精確度0.1)

設(shè)計(jì)意圖

1.培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際的能力，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系.

2.培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，讓學(xué)生逐步掌握運(yùn)用二分法求方程近似解的思想方法，并使

學(xué)生的認(rèn)識不斷加深.

師生活動：

1.師：讓學(xué)生討論，學(xué)生思考聯(lián)想實(shí)際生活，嘗試舉出運(yùn)用二分法的例子.

生：電力工人檢測電線，找故障.

2.(1)學(xué)生利用科學(xué)計(jì)算器動手操作、進(jìn)行小組交流，老師作課堂巡視指導(dǎo).

(2)師借助幾何畫板分布，直觀演示(附圖六).

六、數(shù)學(xué)文化

閱讀本節(jié)閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

七、知識遷移

問題：回憶用二分法求方程的近似解的步驟中，縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間的步驟是否可以進(jìn)

行重復(fù)，如果給定精確度后重復(fù)的步驟是否是有限次的？

設(shè)計(jì)意圖

初步介紹算法思想，為必修3的算法教學(xué)埋下伏筆.

師生活動：

師：如果一種計(jì)算方法對某一類問題都有效，計(jì)算可以一步一步地進(jìn)行，每一步都能得

到唯一的結(jié)果，我們常把這一類問題的求解過程叫做解決這一類問題的一種算法.它的優(yōu)點(diǎn)

是一種通法，更大的優(yōu)點(diǎn)是，它可以讓計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn).例如我們可以編寫用二分法求方程的

近似解的程序，快速地求出一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

程序框圖及程序（附圖七）

八、課堂小結(jié)

問題：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識、方法、思想？

設(shè)計(jì)意圖

學(xué)生在回顧、總結(jié)、反思的過程中，將所學(xué)的知識條理化、系統(tǒng)化，使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

更趨合理.注重?cái)?shù)學(xué)方法的提煉，可使學(xué)生逐漸把經(jīng)驗(yàn)■化為能力.

師生活動：

師：引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法兩方面進(jìn)行總結(jié)后板書：

1.要找方程的實(shí)數(shù)解可先利用函數(shù)的連續(xù)性判定方程實(shí)數(shù)解的存在性，再利用二分法

求方程的近似解；

2.二分法的意義；

3.二分法求方程的近似解的步驟；

4.逼近、極限、二分法.

教學(xué)設(shè)計(jì)附圖：

區(qū)間中點(diǎn)（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875高了

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851課題

附圖?

附圖二

/(x)=(lnx+2,x)-6

n\\ba±b!/(粵)

T!：a-bi㈣：的）

0；2.00000；3.00000；2.50000；-0.084\1.00000；-1.307；1.099

1；2.50000；3.00000|2.75000;0.512；0.50000|-0.084；1.099

2]2.50000!2.7500012.62500!0.215J0.250001-0.084J0.512

3；2.50000；2.62500；2.56250；0.066；0.12500；-0.084；0.215

4]2.50000[2.56250]2.53125|-0.009；0.06250?-0.084[0.066

5：2.5312512.56250：2.54688!0.029!0.03125；-0.009!0.066

6[2.53125；2.54688；2.53906；0.010；0.01563|-0.009；0.029

!2.53125I2.53906I；；；

7???2.5351610.00110.007811-0.00910.010

附圖三

1-

0.8'/(x)=(lnx+2?x)-6?=7.00(

Tl。I6II/除ITbIA>)?Ab)

一T—一—一f'___1__——4_—__L——__|_一

0.60^2flOOOO'WOOOT2.5OOOO'-OOM?1,000003071l.(W

jJ運(yùn)恒(??(超2副私21工運(yùn)3工近應(yīng)匚國■匚口,麗

2|2j0000|2.75000|2.62S00|0215|Q23000|-0.084|0.512

0.4

0.22:53906_OO1O匚12fxi_|_?噌

isisTiT~ooi-o.oo7?FjVob9"jb.oio'

0.511.522.53

-0.2-

-0.4-/

-。6

-0.8■

-1.2-1

附圖四

二分法求解方程近似解的基本步驟：（精確度￡）

1.利用計(jì)算或作圖的方法，確定初始區(qū)間I”,b]-,

2.驗(yàn)證人07（力＜0；

3.求區(qū)間（“，6）的中點(diǎn)c=W"；

4.計(jì)算7（c）：（1）若y（c）=O，則C就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若丸。）哄。）＜0,則令6=c（此時(shí)

零點(diǎn)XoG（a,c））；（3）若〃）小初＜0,則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)X（）e（c,勿）；

5.判斷是否達(dá)到精確度打即若|4一目＜￡,則得到零點(diǎn)的近似值。（或加；否則重復(fù)3?

4.

附圖五

附圖六

附visualbasic程序

PrivateSubCommandl_Click（）

DimaAsSingle

DimbAsSingle

DimdAsSingle

a=InputBox（"a”，”區(qū)間左端點(diǎn)”）

b=InputBox（"b”,“區(qū)間右端點(diǎn)”）

d=InputBox（“d”,“精