圓錐曲線中的最值、范圍問題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

培優(yōu)課17圓錐曲線中的最值、范圍問題培優(yōu)點(diǎn)一最值問題典例1[2023·全國甲卷]已知直線x?2y+1=0與拋物線C：（1）求p；（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M,N為C上兩點(diǎn)，F(xiàn)M?FN=解題觀摩[解析]（1）設(shè)AxA,由x?2y+1=0,所以AB=1即2p2?p?（2）因?yàn)镕1,0設(shè)直線MN：x=my+由y2=4x,x=myΔ=16因?yàn)镕M?FN=0，即my得m2將y1+y得4m2=所以n≠1，且n2?6n設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，則d=MN=所以△MFN而n≥3+22△MFN的面積的最小值S圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:1.幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.2.代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.從拋物線變到橢圓[2024·山東模擬]已知橢圓C：y2a2（1）求橢圓C的方程；[解析]由題意得e=ca=6∴橢圓方程為y2（2）若A，B為橢圓C上兩點(diǎn)，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，求△PAB[解析]由題意可知直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，將y=kx+t代入∴x1+則y1x1∵直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，∴kPA=?即23+?∵直線AB不過點(diǎn)P，∴k=3，∴則AB=∵Δ=12t2又點(diǎn)P到直線AB的距離為t2∴S當(dāng)且僅當(dāng)t=±6時(shí)，等號成立，∴△PAB培優(yōu)點(diǎn)二范圍問題典例2[2023·新高考Ⅰ卷節(jié)選]在直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在曲線y=x2解題觀摩[解析]如圖，設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)Aa,a2+14則kAB?kBC=?同理令kBC=b+c設(shè)矩形ABCD的周長為L,由對稱性不妨設(shè)m≥n，則所以12L=由n>0，易知則令fx=令f′x=當(dāng)x∈0,22當(dāng)x∈22,+∞時(shí)，故fxmin=f2當(dāng)L=33時(shí),n=22,m=?圓錐曲線中范圍問題的四個(gè)解題策略1.利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.2.利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.3.利用已知或隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.4.利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.從求三角形周長范圍變到求面積范圍[2024·山東模擬]已知雙曲線C：x2a2?y（1）求雙曲線C和拋物線E的方程；[解析]由題意得，a=1，又點(diǎn)7,?1在雙曲線上，所以7?又點(diǎn)7,?1在拋物線E：x2=2py的準(zhǔn)線上，所以p（2）若過雙曲線C上一點(diǎn)P作拋物線E的切線，切點(diǎn)分別為A，B，求△PAB[解析]顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+所以x1+x2