橢圓講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課46橢圓考點考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程掌握2023年北京卷T2023年天津卷T2023年全國甲卷（理）T2023年全國甲卷（文）T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運算直觀想象橢圓的幾何性質(zhì)理解2023年新高考Ⅰ卷T★★★直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運算命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是命題的熱點，解題常借助于平面向量、解三角形中的正、余弦定理及三角形的中位線定理等知識，預(yù)計2025年高考會考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)加強對橢圓幾何性質(zhì)的重視,要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等解題思想的培養(yǎng)一、橢圓的定義1.平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的①和等于常數(shù)(②大于F12.橢圓定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式：P={3.當(dāng)2a>F1F2時，動點P的軌跡為橢圓；當(dāng)2a=F1F二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程xy圖形性質(zhì)范圍?a≤?b≤對稱性對稱軸：⑤x軸，y軸；對稱中心：⑥原點頂點A1?a,0，A10,?a，A軸長軸A1A2的長為⑦2a；短軸焦距F離心率e【注意】1.橢圓的焦點F1，F(xiàn)2.橢圓的離心率越接近于1，橢圓越扁；越接近于0，橢圓越圓.1.若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，則1b≤OP2.焦點弦：指過焦點的弦.其中通徑（垂直于長軸的焦點弦）最短,弦長lmin3.焦半徑公式:若Px0,y0是橢圓x2a2+y2題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”,錯的打“×”）（1）平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.(（2）方程mx2+（3）橢圓上一點P與兩焦點F1,F2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a（4）y2a2+x2.（易錯題）若橢圓x24+y23=1的中心和左焦點分別為O,【易錯點】解答本題時容易忽視點P的橫坐標(biāo)的取值范圍?2[解析]由橢圓x24+y23=1可得F?1,0,題組2走進(jìn)教材3.（雙空題）（人教A版選修①P109·練習(xí)T3改編）已知橢圓C：x225+y216=1的左、右焦點分別為F1,F2，過F2的直線交橢圓C[解析]因為a=5,b=4，所以c=a2?b4.（人教A版選修①P115?T8改編）設(shè)點M與點F2,0的距離和它到定直線x=[解析]設(shè)Mx,y，根據(jù)題意得x?22+題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅰ卷]設(shè)橢圓C1：x2a2+y2=1a>A.233 B.2 C.3 [解析]由e2=3e1，得e22=3e1考點一橢圓的定義及應(yīng)用［自主練透］1.[2024·上海模擬]已知△ABC的周長為12，B0,?2,C0A.x212+C.x216+[解析]∵△ABC的周長為12，頂點B0,?∴BC=4∵8>4，∴∴點A的軌跡是橢圓，∵a=4∴b2=12，∴點故選A.2.（一題多解）設(shè)F1,F2為橢圓C：x25+y2=1A.1 B.2 C.4 D.5[解析]（法一：焦點三角形面積公式法）因為PF1?從而S△F1PF（法二：定義法）因為PF1?PF2=0，所以∠F平方得PF12+P3.[2024·廣東統(tǒng)考]已知橢圓方程為x24+y23=1,F是其左焦點，A1,1是橢圓內(nèi)一點，PA.43 B.4 C.8 D.[解析]如圖，設(shè)橢圓的右焦點為F′1,0，連接PF′，過點F′作MN⊥則PA+當(dāng)點P在位置M時，PA?PF′當(dāng)點P在位置N時，PA?PF′故PA?PF′的取值范圍是[?故PA+PF的最大值Dmax所以Dmax+D橢圓定義應(yīng)用的三種類型及解題策略求方程通過對題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化，明確動點滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程焦點三角形問題利用定義求焦點三角形的周長和面積.解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中對PF求最值抓住PF1+PF考點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程［師生共研］典例1求分別滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個焦點的坐標(biāo)分別是?4,0，4（2）長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點A6（3）經(jīng)過點(?32,52（4）離心率為32且過點2[解析]（1）依題意得，c=4，2a=10，所以a=（2）若焦點在x軸上，則a=6,b=若焦點在y軸上，則a=18,b=綜上可得，所求橢圓方程為x236+（3）設(shè)橢圓方程為mx2+ny依題意可得3m+5n=1,（4）若焦點在x軸上，則a=2，因為離心率e=則b=a2若焦點在y軸上，則b=2，因為離心率e=解得a2=16綜上可得，所求橢圓方程為x24+求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法定義法根據(jù)橢圓的定義，確定a2,b待定系數(shù)法若焦點的位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a,b的值；若焦點的位置不明確，則需要分焦點在x軸上和焦點在y軸上的兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為A1.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b[解析]由橢圓的幾何性質(zhì)可得點P20,1，P3?1,32，2.已知在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個圓C1：x+22+y2=r12和C2：x?[解析]由題意知,圓心C1?2,0,半徑r1,圓心C22,0,半徑r2,當(dāng)r1+r2此時點P的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓.當(dāng)與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時，同理，PC1+根據(jù)橢圓定義得a=r1+r所以動圓圓心的軌跡方程為x23.（橢圓的第二定義）已知動點P到定點Fc,0的距離與動點P到直線l:x=a[解析]設(shè)點Pxx?兩邊同時平方整理得，x2故動點P的軌跡方程x24.（橢圓的第三定義）已知點A?a,0,Ba,0,直線AP，BP相交于點P[解析]設(shè)點PxkPA?k故動點P的軌跡方程為x2考點三橢圓的簡單幾何性質(zhì)［多維探究］求離心率的值（范圍）典例2（1）（一題多解）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點為A，點PA.32 B.22 C.12[解析]（法一：設(shè)而不求法）設(shè)Px1,則由kAP?k由x12a所以b2a2所以橢圓C的離心率e=ca（法二：第三定義法）設(shè)右頂點為B（圖略），連接PB，由橢圓的對稱性知kPB=?k由橢圓的第三定義得kPA?k所以橢圓C的離心率e=故選A.（2）設(shè)B是橢圓C：x2a2+y2b2=A.[22,1) B.[1[解析]設(shè)Px0,y0,易知BPB2因為?b≤y0≤b，所以當(dāng)?b3c2≤?b，即當(dāng)?b3c2>?b，即b2<c求橢圓離心率（或其范圍）的兩種常用方法與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題典例3（1）（多選題）設(shè)橢圓C:x25+y2=1的兩個焦點分別為F1,A.BF1=3 C.PF1?PF2[解析]由題意知a=5,b=1,c=PF1的最大值為a+PF1+PF2≥2PF1?P設(shè)Px0,y0，滿足x025+y02=1，由題意知（2）已知P為橢圓x225+y224=1上任意一點，[解析]由x225+y224=1，得a2圓N:x?因為PE===?4且P為橢圓x225+所以NP∈[a?所以NP2所以?4所以PE?PF的取值范圍為與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解策略1.[2024·河北聯(lián)考]已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0A.13 B.16 C.33[解析]如圖，由題意得OF1=