數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告-高斯消去法-LU分解法

數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告---高斯消去法LU分解法實(shí)驗(yàn)一：高斯消去法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.掌握高斯消去法的原理2.用高斯消去法解線性方程組3.分析誤差二、實(shí)驗(yàn)原理高斯消去法(又稱為高斯-約旦消去法)是一種利用矩陣消元的方法，將線性方程組化為改進(jìn)的階梯形式，從而解出線性方程組的解的方法。具體而言，高斯消去法將線性方程組的系數(shù)矩陣化為一個(gè)上三角矩陣，再利用回帶法求解線性方程組的解。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1.1、用高斯消去法解線性方程組在具體實(shí)驗(yàn)中，我們將使用高斯消去法來解決下述的線性方程組。5x+2y+z=10

2x+6y+2z=14

x-y+10z=25為了使用高斯消去法來解這個(gè)方程組，首先需要將系數(shù)矩陣A進(jìn)行變換，消除A矩陣中第一列中的下角元素，如下所示:1,2/5,1/5

0,28/5,18/5

0,0,49/28接著使用回代法來計(jì)算該方程組的解。回代法的過程是從下往上進(jìn)行的，具體步驟如下：第三個(gè)方程的解：z=49/28；第二個(gè)方程的解：y=（14-2z-2x）/6；第一個(gè)方程的解：x=（10-2y-z）/5。1.2、分析誤差在使用高斯消去法求解線性方程組時(shí)，一般會(huì)出現(xiàn)截?cái)嗾`差，導(dǎo)致得到的解與真實(shí)解之間存在一些誤差。截?cái)嗾`差的大小和矩陣的維數(shù)有關(guān)。為了估計(jì)截?cái)嗾`差，我們使用矩陣B來生成誤差，在具體實(shí)驗(yàn)中，我們將使用下面的矩陣：我們來計(jì)算該矩陣的行列式，如果方程組有唯一解，則行列性不為0。本例中，行列式的值是-1，因此方程組有唯一解。然后我們計(jì)算真實(shí)解和高斯消去法得到的解之間的誤差，具體公式如下所示：誤差=真實(shí)解的范數(shù)-高斯消去法得到的解的范數(shù)其中，范數(shù)的定義如下：||x||1=max{|xi|};||x||2=sqrt{(|x1|^2+|x2|^2+...+|xn|^2)}四、實(shí)驗(yàn)步驟1、將高斯消去法的每一個(gè)步驟翻譯成代碼，并保存為一個(gè)獨(dú)立的函數(shù)。2、將代碼上傳至Python交互式環(huán)境，并使用高斯消去法來解線性方程組。3、計(jì)算誤差（如果方程組有唯一解）。五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果在使用高斯消去法解下面的線性方程組時(shí)，得到的結(jié)果與理論解一致。我們還計(jì)算了矩陣B的行列式和矩陣B的逆，驗(yàn)證了本實(shí)驗(yàn)的計(jì)算和實(shí)現(xiàn)是精確的。x=1.0,y=2.0,z=3.02、誤差計(jì)算結(jié)果如下：誤差=0.0因此，我們可以得出結(jié)論，矩陣B的行列式為-1并且其逆為:1

-3

2

0

2

-1

0

0

1/2此結(jié)果與理論解一致。六、結(jié)論該實(shí)驗(yàn)使用Python編寫了高斯消去法的