高中一輪復(fù)習數(shù)學課時跟蹤檢測（五十四）排列與組合

課時跟蹤檢測（五十四）排列與組合一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2018·金華十校聯(lián)考)將5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組每組至少一人，則不同的分配方案的種數(shù)為()A．50 B．80C．120 D．140解析：選B根據(jù)題意，分2種情況討論：①甲組有2人，首先選2個放到甲組，有Ceq\o\al(2,5)＝10種，再把剩下的3個人放到乙和丙兩個位置，每組至少一人，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種，∴共有10×6＝60種分配方案，②當甲中有三個人時，有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＝20種分配方案，∴共有60＋20＝80種分配方案．2．(2018·福建質(zhì)檢)5名學生進行知識競賽，筆試結(jié)束后，甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“你們5人的成績互不相同，很遺憾，你的成績不是最好的”；對乙說：“你不是最后一名”．根據(jù)以上信息，這5人的筆試名次的所有可能的種數(shù)是()A．54 B．72C．78 D．96解析：選C由題得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，若乙得第一，則有Aeq\o\al(4,4)＝24種，若乙沒得第一，則乙有3種，再排甲也有3種，余下3人有Aeq\o\al(3,3)＝6種，故有3×3×6＝54種，所以共有24＋54＝78種．3．某校從8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有()A．900種 B．600種C．300種 D．150種解析：選B依題意，就甲是否去支教進行分類計數(shù)：第一類，甲去支教，則乙不去支教，且丙也去支教，則滿足題意的選派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)；第二類，甲不去支教，且丙也不去支教，則滿足題意的選派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360(種)，因此，滿足題意的選派方案共有240＋360＝600(種)，選B.4．(2018·溫州期末)某籃球隊有12名球員，按位置區(qū)分，為3名中鋒，4名后衛(wèi)，5名前鋒．某一場比賽進行中，教練員擬派出1名中鋒，2名后衛(wèi)和2名前鋒的標準陣容．現(xiàn)已知中鋒甲與后衛(wèi)乙不能同上，則不同的選派方法種數(shù)有()A．180 B．150C．120 D．108解析：選B若不考慮限制情況，則不同的選派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝180種，其中中鋒甲與后衛(wèi)乙同上的選派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,5)＝30種，所以滿足條件的不同選派方法有180－30＝150種．故選B.5．(2018·北京西城區(qū)模擬)大廈一層有A，B，C，D四部電梯，3人在一層乘坐電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有________種．(用數(shù)字作答)解析：元素相鄰利用“捆綁法”，先從3人中選擇2人坐同一電梯有Ceq\o\al(2,3)＝3種，在將“2”個元素安排坐四部電梯有Aeq\o\al(2,4)＝12種，則不同的乘坐方式有3×12＝36種．答案：36二保高考，全練題型做到高考達標1．(2018·舟山模擬)將編號為1,2,3,4,5,6的六個小球放入編號為1,2,3,4,5,6的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數(shù)是()A．40 B．60C．80 D．100解析：選A三個小球放入盒子是不對號入座的方法有2種，由排列組合的知識可得，不同的放法總數(shù)是2Ceq\o\al(3,6)＝40種．2．(2018·永康名校聯(lián)考)將數(shù)字“123367”重新排列后得到不同的偶數(shù)個數(shù)為()A．72 B．120C．192 D．240解析：選B先排個位，有Ceq\o\al(1,2)＝2種排法，再排其他五位數(shù)，有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60種排法，所以得到不同的偶數(shù)個數(shù)為2×60＝120.3．(2018·衢州期末)小明有3雙顏色相近的襪子(不分左右腳)．某天早晨，由于貪睡造成晚起．為了防止上學遲到，小明隨手從這3雙顏色相近的襪子中抓起兩只襪子套在腳上，拔腿就走．則小明穿的不是同一雙襪子的可能性有幾種()A．22 B．24C．28 D．30解析：選B根據(jù)條件，先從三雙襪子中任選一雙，選一只，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種不同的選法；再從剩余的2雙襪子中任選一只，有Ceq\o\al(1,4)＝4種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理可知，N＝6×4＝24種．故選B.4．有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是()A．24 B．48C．72 D．96解析：選B據(jù)題意可先擺放2本語文書，當1本物理書在2本語文書之間時，只需將2本數(shù)學書插在前3本書形成的4個空中即可，此時共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)種擺放方法；當1本物理書放在2本語文書一側(cè)時，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)種不同的擺放方法，由分類加法計數(shù)原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48(種)擺放方法．5．(2016·福建三明調(diào)研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A．12種 B．20種C．40種 D．60種解析：選C(排序一定用除法)五個元素沒有限制全排列數(shù)為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得這樣的排列數(shù)有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(種)．6．現(xiàn)有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區(qū)分，將這9個球排成一列，有________種不同的方法．(用數(shù)字作答)．解析：第一步，從9個位置中選出2個位置，分給相同的紅球，有Ceq\o\al(2,9)種選法；第二步，從剩余的7個位置中選出3個位置，分給相同的黃球，有Ceq\o\al(3,7)種選法；第三步，剩下的4個位置全部分給4個白球，有1種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，排列方法共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)＝1260(種)．答案：12607．(2018·臺州高三年級調(diào)考試題)某校在一天的8節(jié)課中安排語文、數(shù)學、英語、物理、化學、選修課與2節(jié)自修課，其中第1節(jié)只能安排語文、數(shù)學、英語三門中的一門，第8節(jié)只能安排選修課或自修課，且選修課與自修課、自修課與自修課均不能相鄰，則所有不同的排法共有__________種．(用數(shù)字表示)解析：根據(jù)題意，因為第1節(jié)只能安排語文、數(shù)學、英語三門中的一門，則第一節(jié)課有Ceq\o\al(1,3)＝3種排法；對第8節(jié)課分情況討論：①若第8節(jié)安排選修課，需要將語文、數(shù)學、英語、物理、化學中剩余的4科全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種情況，排好后，除最后的空位之外，有4個空位可選，在其中任選2個，安排2節(jié)自修課，有Ceq\o\al(2,4)＝6種情況，此時有24×6＝144種安排方法；②若第8節(jié)安排自修課，將語文、數(shù)學、英語、物理、化學中剩余的4科全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種情況，排好后，除最后的空位之外，有4個空位可選，在其中任選2個，安排剩下的自修課與選修課，有Aeq\o\al(2,4)＝12種情況，此時有24×12＝288種情況，則后面7節(jié)課有144＋288＝432種安排方法．故所有不同的排法共有3×432＝1296種．答案：12968．(2018·黃岡質(zhì)檢)在高三某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個，那么出場的順序的排法種數(shù)為________．解析：不相鄰問題插空法.2位男生不能連續(xù)出場的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個且2位男生不連續(xù)出場的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場順序的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60.答案：609．把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號，相當于將1,2,3,4,5這五個數(shù)用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號．在4個空位插3個板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)情況，再對應(yīng)到4個人，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)情況，則共有4×24＝96(種)情況．答案：9610．(1)已知Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1，求n；(2)若Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，求m.解：(1)由Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1得eq\f(n＋1n,2)＝(n－1)(n－2)＋1.即n2－7n＋6＝0.解得n＝1，或n＝6.由Aeq\o\al(2,n－1)知，n≥3，故n＝6.(2)原不等式可化為eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，解得m>eq\f(27,4).∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8.又m是整數(shù)，∴m＝7或m＝8.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．甲、乙等5人在天安門廣場排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有()A．12種 B．24種C．48種 D．120種解析：選B甲、乙相鄰，將甲、乙捆綁在一起看作一個元素，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)種排法，甲、乙相鄰且在兩端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)種排法，故甲、乙相鄰且都不站在兩端的排法有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)．2．現(xiàn)準備將6臺型號相同的電腦分配給5所小學，其中A，B兩所希望小學每個學校至少2臺，其他小學允許1臺也沒有，則不同的分配方案共有()A．13種 B．15種C．20種 D．30種解析：選B先給A，B兩所希望小學每個學校分配2臺電腦，再將剩余2臺電腦隨機分配給5所希望小學，共有Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝15種情況.3．從1到9的9個數(shù)字中取3個偶數(shù)4個奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有幾個？(3)在(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個？解：(1)分三步完成：第一步，在4個偶數(shù)中取3個，有Ceq\o\al(3,4)種情況；第二步，在5個奇數(shù)中取4個，有Ceq\o\al(4,5)種情況；第三步，3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進行排列，有Aeq\o\al(7,7)種情況．所以符合題意的