2025屆安徽省池州市青陽(yáng)縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆安徽省池州市青陽(yáng)縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件2．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，時(shí)點(diǎn)在拋物線上，且的首項(xiàng)是二次函數(shù)的最小值，則的值為（）A．45 B．54 C．36 D．－183．已知函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為()A． B． C． D．4．在平行四邊形ABCD中，，，E是CD的中點(diǎn)，則（）A．2 B．-3 C．4 D．65．為了了解某同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)他的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如圖所示，則下列關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的說(shuō)法正確的是()A．中位數(shù)為83 B．眾數(shù)為85 C．平均數(shù)為85 D．方差為196．如圖所示，垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓上異于的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系中不正確的是（）A． B．平面 C． D．7．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填（）A． B． C． D．8．計(jì)算：的結(jié)果為（）A．1 B．2 C．-1 D．-29．已知直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．10．的值等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該三棱錐的外接球的表面積_____．12．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為_(kāi)______.13．已知，則的最小值是_______.14．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則_____．15．在棱長(zhǎng)均為2的三棱錐中，分別為上的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______.16．在等比數(shù)列中，，，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某中學(xué)高二年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班中，需根據(jù)某次數(shù)學(xué)預(yù)賽成績(jī)選出某班的5名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽，已知這次預(yù)賽他們?nèi)〉玫某煽?jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲班5名學(xué)生成績(jī)的平均分是83，乙班5名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是1．（1）求出x，y的值，且分別求甲、乙兩個(gè)班中5名學(xué)生成績(jī)的方差、，并根據(jù)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該選派哪一個(gè)班的學(xué)生參加決賽？（2）從成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名．求至少有1名來(lái)自甲班的概率．18．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．19．已知.（1）設(shè)，求滿足的實(shí)數(shù)的值；（2）若為上的奇函數(shù)，試求函數(shù)的反函數(shù).20．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為2.（Ⅰ）若，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)交圓于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（Ⅱ）若圓上存在點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．如圖1，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，將△PAB沿AB邊折起，使平面PAB⊥平面ABCD，連接PC、PD，如圖2，（1）證明：AB⊥PC；（2）求PD與平面ABCD所成角的正弦值（3）在線段PD上是否存在點(diǎn)N，使得PB∥平面MC？若存在，請(qǐng)找出N點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

數(shù)列是等比數(shù)列與命題是等比數(shù)列是否能互推，然后根據(jù)必要條件、充分條件和充要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，若數(shù)列是等比數(shù)列，則，∴，∴數(shù)列不是等比數(shù)列，∴數(shù)列是等比數(shù)列是數(shù)列是等比數(shù)列的充分非必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分不必要條件的判斷，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

根據(jù)點(diǎn)在拋物線上證得數(shù)列是等差數(shù)列，由二次函數(shù)的最小值求得首項(xiàng)，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于時(shí)點(diǎn)在拋物線上，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.二次函數(shù)，所以.所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的證明，考查二次函數(shù)的最值的求法，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,即為偶函數(shù).，求得的最小值．【詳解】把函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后.可得的圖象.再根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱,即為偶函數(shù).所以即，當(dāng)時(shí)，的值最小.所以的最小值為：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

由平面向量的線性運(yùn)算可得，再結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由，，所以,,，則,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.5、C【解析】試題分析：A選項(xiàng)，中位數(shù)是84；B選項(xiàng)，眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，故是83；C選項(xiàng)，平均數(shù)是85，正確；D選項(xiàng)，方差是，錯(cuò)誤．考點(diǎn)：?莖葉圖的識(shí)別?相關(guān)量的定義6、C【解析】

由平面，得，再由，得到平面，進(jìn)而得到，即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榇怪庇谝詾橹睆降膱A所在的平面，即平面，得，A正確；又為圓上異于的任一點(diǎn)，所以，平面，，B，D均正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于常考題型.7、A【解析】

根據(jù)程序框圖的結(jié)構(gòu)及輸出結(jié)果,逆向推斷即可得判斷框中的內(nèi)容.【詳解】由程序框圖可知,,則所以此時(shí)輸出的值,因而時(shí)退出循環(huán).因而判斷框的內(nèi)容為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)程序框圖的輸出值,確定判斷框的內(nèi)容,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用恒等變換公式化簡(jiǎn)得的答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、B【解析】

利用周期公式計(jì)算出周期，根據(jù)對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的是最值，然后分析單調(diào)減區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，若取到最大值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時(shí)無(wú)符合答案；故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于正弦型函數(shù)，對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的最值，這一點(diǎn)值得注意.10、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn)，再利用差角的余弦公式化簡(jiǎn)得解.【詳解】由題得原式=.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和差角的余弦公式化簡(jiǎn)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

由題意推出球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用直角三角形BOE，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】如圖，∵正三棱錐A﹣BCD中，底面邊長(zhǎng)為，底面外接圓半徑為側(cè)棱長(zhǎng)為2，BE=1,在三角形ABE中，根據(jù)勾股定理得到：高AE得到球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，O點(diǎn)在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半徑為，表面積為：故答案為．【點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.12、【解析】

以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用計(jì)算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由此計(jì)算出的表達(dá)式，，進(jìn)而求得最值.【詳解】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，則①，由得②，由①②解得，故.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取得最小值為.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積求最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.13、3【解析】

根據(jù)，將所求等式化為，由基本不等式，當(dāng)a=b時(shí)取到最小，可得最小值。【詳解】因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造不等式，并且要注意取最小值時(shí)等號(hào)能否成立。14、【解析】

根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)式求出前項(xiàng)和，再極限的思想即可解決此題?！驹斀狻繑?shù)列的通項(xiàng)公式為，則，則答案．故為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了給出數(shù)列的通項(xiàng)式求前項(xiàng)和以及極限。求數(shù)列的前常用的方法有錯(cuò)位相減、分組求和、列項(xiàng)相消等。本題主要利用了分組求和的方法。15、【解析】

易證明中,且周長(zhǎng)為,其中為定值,故只需考慮的最小值即可.【詳解】由題,棱長(zhǎng)均為2的三棱錐,故該三棱錐的四個(gè)面均為正三角形.又因?yàn)?故.故.且分別為上的中點(diǎn),故.故周長(zhǎng)為.故只需求的最小值即可.易得當(dāng)時(shí)取得最小值為.故周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體幾何中的距離最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意找到定量以及變量的最值情況即可.屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列中，，得到公比，再寫出和，從而得到.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，，所以，所以，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式中的基本量計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（3）甲班參加；（4）．【解析】

試題分析：（3）由題意知求出x=5，y=4．從而求出乙班學(xué)生的平均數(shù)為83，分別求出S34和S44，根據(jù)甲、乙兩班的平均數(shù)相等，甲班的方差小，得到應(yīng)該選派甲班的學(xué)生參加決賽．（4）成績(jī)?cè)?5分及以上的學(xué)生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出隨機(jī)抽取4名，至少有3名來(lái)自甲班的概率．試題解析：（3）甲班的平均分為，易知．；又乙班的平均分為，∴；∵，，說(shuō)明甲班同學(xué)成績(jī)更加穩(wěn)定，故應(yīng)選甲班參加．（4）分及以上甲班有人，設(shè)為；乙班有人，設(shè)為，從這人中抽取人的選法有：，共種，其中甲班至少有名學(xué)生的選法有種，則甲班至少有名學(xué)生被抽到的概率為．考點(diǎn)：3．古典概型及其概率計(jì)算公式；4．莖葉圖．18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)取中點(diǎn)，可證得平面，得到平面的法向量；再通過(guò)向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個(gè)法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過(guò)求解法向量夾角的余弦值來(lái)得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19、（1）；（2）.【解析】

（1）把代入函數(shù)解析式，代入方程即可求解.（2）由函數(shù)奇偶性得，然后求得的解析式，分段求解反函數(shù)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，即，解得.（2）為上的奇函數(shù)，，則.,由，，得，;由，，得，.函數(shù)的反函數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的解析式及求法，考查了反函數(shù)的求法，屬于中檔題.20、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）勾股定理求出圓心到直線的距離d，利用d=1以直線的斜率存在、不存在兩種情況進(jìn)行分類討論；（Ⅱ）設(shè)，由求出x、y滿足的關(guān)系式，可得點(diǎn)在圓上，推出圓與圓有公共點(diǎn)，所以，列出不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)，圓心為，圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則.①若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，，解得，此時(shí)的方程為，即.②若直線的斜率不存在，直線的方程為，驗(yàn)證滿足，符合題意.綜上所述，直線的方程為或.（Ⅱ）設(shè)，則，于是由得，即，所以點(diǎn)在圓上，又點(diǎn)在圓上，故圓與圓有公共點(diǎn)，即,于是，解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，向量的數(shù)量積，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析(2)．(3)存在，PN．【解析】

（1）只需證明AB⊥面PMC，即可證明AB⊥PC；（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM為PD與平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD與平面ABCD所成角的正弦值．（3）設(shè)DB∩MC＝E，連接NE，可得PB∥NE，．即可．【詳解】（1）證明：∵△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴PM⊥AB．∵ABCD為菱形，∠ABC＝6