線性代數(shù)及應(yīng)用（高淑萍第2版） 課件 第3章 n 維向量與向量空間

第3章n維向量與向量空間3.1n維向量及其運算向量的概念及運算向量，這

n個數(shù)稱為該向量的

n個分量，第

i個數(shù)稱為n個有序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為

n維分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，全為復(fù)數(shù)的稱為復(fù)向量．定義1第

i個分量(坐標(biāo))．例如n維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣；寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣．向量的概念及運算則有行向量和列向量均按照矩陣的運算法則運算．說明向量的加法和數(shù)乘運算稱為向量的線性運算．注意向量組與矩陣定義2若干個同維數(shù)的列向量（或行向量）所組成的集合叫做向量組．說明（1）向量組中的向量必須是同型向量；（2）一個向量組可含有限多個向量，也可含無限多個向量．例如

向量組與矩陣定義同樣，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣．含有限個向量的有序(行/列)向量組與矩陣一一對應(yīng)第3章n維向量與向量空間3.2向量組的線性相關(guān)性向量組的線性組合定義1例如一個向量組可以線性表示這個向量組中的每一個向量零向量是任意一個向量組的線性組合向量組的線性組合練習(xí)一般地，對于任意的

n維向量

b，必有定義n

階單位陣

的列向量叫做

n

維基本單位向量．解答向量組的線性組合例1證明向量

b能由向量組解向量組的線性組合定理1下面命題互相等價：123推論向量組的線性相關(guān)性定義2向量組

A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．則稱例如向量組的線性相關(guān)性說明（1）（2）給定向量組

A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)；（3）若向量組只包含一個向量

a：線性相關(guān)，當(dāng)

a不是零向量時，線性無關(guān)；（4）包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的．當(dāng)

a是零向量時，向量組的線性相關(guān)性例2解向量組的線性相關(guān)性定理2思考向量組線性相關(guān)(無關(guān))的等價命題都有哪些？123向量組的線性相關(guān)性例3解轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題，向量組的線性相關(guān)性定理3證明（充分性）向量組的線性相關(guān)性證明（必要性）推論兩個向量線性相關(guān)的幾何意義是兩向量共線；三個向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面.向量組的線性相關(guān)性例4證明向量組的線性相關(guān)性定義3給定一個向量組后，從這個向量組中抽取一部分向量構(gòu)成一個新的向量組，這個新的向量組稱為原向量組的部分組.定理證明向量組的線性相關(guān)性定理推論部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分必?zé)o關(guān).推論推論向量組的線性相關(guān)性例5證明第3章n維向量與向量空間3.3向量組的秩與極大無關(guān)組等價向量組定義1設(shè)有向量組B中的向量均可由向量組

A線性表示，則稱向量組B能由A線性表示．如果向量組A與B可以相互線性表示，則稱向量組A與B等價．若向量組若向量組B能由向量組A線性表示，矩陣

C的列向量組能由矩陣

A的列向量組線性表示，B為這一線性表示的系數(shù)矩陣．矩陣

C的行向量組能由矩陣

B的行向量組線性表示，A為這一線性表示的系數(shù)矩陣．A在左邊B在右邊左行右列等價向量組例1證明證明向量組A與B等價．等價向量組等價向量組定理1下面命題互相等價：1234推論證明證明向量組

A與

B等價，其中例2等價向量組矩陣的秩定義2例如說明矩陣的秩定義3規(guī)定零矩陣的秩等于零．說明行階梯形矩陣的秩就等于矩陣非零行的行數(shù)．矩陣的秩當(dāng)矩陣的秩等于它的列數(shù)時，矩陣稱為列滿秩矩陣．定義123矩陣的秩定理2矩陣的初等變換不改變矩陣的秩．證明思路（1）證明

A

經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?/p>

B，則

R(B)≤R(A)；（2）B

也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)?/p>

A，則

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）經(jīng)過一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變；（4）設(shè)

A

經(jīng)過初等列變換變?yōu)?/p>

B，則

AT

經(jīng)過初等行變換

變?yōu)?/p>

BT

，從而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．矩陣的秩例2解選取行階梯形中非零行的第一個非零元所在的列這就是

A

的一個最高階非零子式．矩陣的秩推論下列命題成立12345——西爾維斯特不等式向量組的秩定義4設(shè)有向量組

T，如果在

T中能選出

r個向量線性無關(guān)向量組，簡稱極大無關(guān)組.極大性：所有線性無關(guān)組中含向量最多的極小性：所有等價的部分組中含向量最少的定義5向量組的秩例3解向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理3矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．證明向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量

b

可由矩陣

A的列向量組線性表示無限向量組向量組與自己的極大無關(guān)組等價若

Dr

是矩陣

A

的一個最高階非零子式，則Dr

所在的

r

列是

A

的列向量組的一個極大無關(guān)組；r行是

A的行向量組的一個極大無關(guān)組．向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系例4解第3章n維向量與向量空間3.4向量空間向量空間的定義定義1說明所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合．例如整數(shù)集

Z對除法運算不封閉；

有理數(shù)集

Q對四則運算封閉；實數(shù)集

R

對四則運算封閉．向量空間的定義例1解（1）判斷下列集合是否為向量空間．（3）向量空間的定義說明（1）（2）01OPTION02OPTION向量空間的定義例2解定義向量空間的定義alaabclambgcablamb向量空間的定義定義2例如說明向量空間的定義例3證明練習(xí)說明等價向量組所生成的空間相等．向量空間向量組向量組的極大無關(guān)組向量空間的基向量空間的維數(shù)向量組的秩向量空間的定義向量的內(nèi)積與正交矩陣定義31234定義4123向量的內(nèi)積與正交矩陣定義5例4解定義向量的內(nèi)積與正交矩陣定義由一組兩兩正交的非零向量組成的向量組，稱為正交向量組.由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱為標(biāo)準(zhǔn)(規(guī)范)正交向量組.例如都是正交向量組.向量的內(nèi)積與正交矩陣?yán)?解向量的內(nèi)積與正交矩陣定理1證明向量的內(nèi)積與正交矩陣?yán)?解向量的內(nèi)積與正交矩陣定義6例如123向量的內(nèi)積與正交矩陣定理2向量的內(nèi)積與正交矩陣第3章n維向量與向量空間3.5基、維數(shù)與坐標(biāo)向量空間的基與維數(shù)定義1設(shè)有向量空間

V，如果在

V中能選出

r個向量例如說明自然基定義2例如向量空間的基與維數(shù)向量空間的基與維數(shù)c31c32向量空間的基與維數(shù)向量空間的基與維數(shù)例1解向量空間的基與維數(shù)向量空間的基與維數(shù)例2證明向量的坐標(biāo)定義3例如說明例3解向量的坐標(biāo)定義4說明向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)例4解向量的坐標(biāo)第3章n維向量與向量空間3.6線性方程組解的結(jié)構(gòu)解的判定定理線性方程組解的判定定理定理1定理2定理3證明齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關(guān)系