廣東省惠陽(yáng)區(qū)某中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修一學(xué)案：函數(shù)及其表示

必修一第一章第2單元

第一課時(shí)：1.2T映射（課前先學(xué)案）

【自主學(xué)習(xí)】精讀課本P22第二段一P23,完成課前先學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

了解映射的定義，能用對(duì)應(yīng)關(guān)系圖表示影射并判斷兩個(gè)影射是否相同。

【知識(shí)梳理】

（-）映射的定義（書P22）:設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集

合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B

的映射：

記為f:ATB.

（二）映射的構(gòu)成（三要素）：（1）集合A,（2）集合B,（3）集合A到集合B的對(duì)應(yīng)法

則fo

（三）當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)影射的三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)影射相同。

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1.根據(jù)映射的定義，判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，哪些是從A到B的映射，哪些不是？如果不

是映射，如何修改可以使其成為映射？

2、指出下列各組映射的三要素，并判斷兩個(gè)映射是否相同？

(1)

B

2

3

(2)

第一課時(shí)：L2T映射（上課正學(xué)案）

【課堂檢測(cè)】

1、用對(duì)應(yīng)關(guān)系圖表示下列對(duì)應(yīng)，然后判斷是否從集合A到集合B的映射？

①人二上2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},對(duì)應(yīng)法則/：x->x的兩倍再加1；

②人二。，2,3,4},B={2,3,4,5,6,7,8,9,10）,對(duì)應(yīng)法則/:xfx平方再加

③設(shè)X={0,1,2,3,4},Y={1,—,—,—},對(duì)應(yīng)法則fIx―>—o

234X

2、判斷下列兩個(gè)對(duì)應(yīng)是否是從集合A到集合B的映射？

(1)集合A=E,集合B=R,對(duì)應(yīng)法則2x+l(兩倍再加1)：

(2)集合A=R,集合8={川丁2—1},對(duì)應(yīng)法則3—+2x(平方再加兩倍);

(3)集合A=H,集合B={3},對(duì)應(yīng)法則/：73(取常數(shù)3)；

2

(4)集合A={x|xwO},集合A={y|ywO},對(duì)應(yīng)法則/:x—>(取倒數(shù)的2倍);

x

小結(jié)歸納：(1)“一一對(duì)應(yīng)”、“多對(duì)一”是映射，但“一對(duì)多”不是映射；

【拓展探究】

例1、用對(duì)應(yīng)關(guān)系圖表示下列各組從集合A到集合B的映射，并判斷是否表示同一映射？

(1)A={xeN|x<4},5={1,3,5,7},從集合A到集合B的映射/:x—>2x-l；

C={0,l,2,3},。={1,3,5,7},從集合C到集合D的映射2f—1；

(2)A={xeN*|x<4},8={—1,0,3,8},從集合A到集合B的映射

f:x—>x2-2x；

C={1,2,3,4},￡>={-1,0,3,8},從集合C到集合D的映射g:/->尸-2f；

例2、已知A=R,B={（x,y）|x,yeR},從集合A到集合B的映射f：xT（x+1,x2+1）,

求：（1）A中的元素&在集合B中對(duì)應(yīng)的元素，（2）B中元素（之,°）在集合A中對(duì)應(yīng)

24

的元素.

【小結(jié)與反饋】

（一）映射的定義及其三要素

（二）判斷兩個(gè)映射相同：三要素完全相同

注意：（1）映射是有方向的，若方向不同，映射必然不同；

（2）判斷兩個(gè)映射相時(shí)應(yīng)該關(guān)注三要素的實(shí)質(zhì)，與其外在書寫形式無(wú)關(guān)。

第一課時(shí)：1.2T映射（課后溫學(xué)案）

【課外拓展】

必做：

1.設(shè)集合A=B={（x,y）|xGR,y6R},從集合A到集合B的映射，f:（x,y）-＞（x-y,x+y）,

求A中元素（1,3）在B中對(duì)應(yīng)的元素，B中元素（1,3）在A中對(duì)應(yīng)的元素。

第二課時(shí)：1.2T函數(shù)(1)(課前先學(xué)案)

【自主學(xué)習(xí)】精讀課本P15—P17,完成課前先學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)，正確理解函數(shù)的^念以及對(duì)函數(shù)符號(hào)y=f(x)的

含義；

2、會(huì)求函數(shù)的定義域。

【知識(shí)梳理】

(一)函數(shù)的定義

1、初中函數(shù)的定義(變量學(xué)說(shuō)、書P16)：

2、高中函數(shù)的定義(映射學(xué)說(shuō))：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，若f：ATB是從集合A到

集合B的映射，這個(gè)映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).

理解：

(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)(可以用韋恩圖表示二者的關(guān)系)：

(2)專用符號(hào)f(x)的含義：自變量x在對(duì)應(yīng)法則f的作用下的函數(shù)值；

函數(shù)y=f(x)的定義域是的集合；

函數(shù)y=f(x)的值域是的集合；

(3)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域A、對(duì)應(yīng)關(guān)系f和值域B

①三要素的關(guān)系：值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，B=f(A)

②當(dāng)且僅當(dāng)三要素都相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))，即兩個(gè)函數(shù)的定義域

和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，這兩個(gè)函數(shù)相等；

(二)區(qū)間的約定：不等式的解集(連續(xù)不斷的一段全體實(shí)數(shù)的集合才可以如下表示)：

1、閉區(qū)間：滿足一l<x<2的全體實(shí)數(shù)的集合，數(shù)軸表示為，區(qū)間符號(hào)表

示為;

2、開(kāi)區(qū)間：滿足一3<x<l的全體實(shí)數(shù)的集合，數(shù)軸表示為,區(qū)間符號(hào)表

示為：

3、左開(kāi)右閉區(qū)間：滿足的全體實(shí)數(shù)的集合，數(shù)軸表示為,區(qū)間表示

為;

4、左閉右開(kāi)區(qū)間：滿足3Wx<12的全體實(shí)數(shù)的集合，數(shù)軸表示為，區(qū)間表

示為:

5、無(wú)窮區(qū)間：約定：+8表示,對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的;-00表示,對(duì)應(yīng)

數(shù)軸上的;

滿足xeR的全體實(shí)數(shù)的集合，數(shù)軸表示為，區(qū)間符號(hào)表示

為;

滿足xWb的全體實(shí)數(shù)的集合，數(shù)軸表示為,區(qū)間符號(hào)表示

為:

滿足X?。的全體實(shí)數(shù)的集合，數(shù)軸表示為,區(qū)間符號(hào)表示

為;

(三)初中函數(shù)的定義域和值域(用區(qū)間表示)

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1.>(1)函數(shù)/(x)=2x+l的定義域?yàn)?值域?yàn)?對(duì)應(yīng)法則/：兩倍再加

1：

(2)函數(shù)/(x)=f+2x的定義域?yàn)?值域?yàn)?對(duì)應(yīng)法則/：平方再

加兩倍;

(3)函數(shù)/(x)=3的定義域?yàn)?值域?yàn)?對(duì)應(yīng)法則/：取常數(shù)

3;

2

(4)函數(shù)/(x)=一的定義域?yàn)?值域?yàn)?對(duì)應(yīng)法則,：取倒數(shù)的

X

2倍;

提示：先畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，再依據(jù)圖形或式子確定其定義域、值域(用區(qū)間或集合形式

表示)O

第二課時(shí)：1.2-1函數(shù)（1）（上課正學(xué)案）

【課堂檢測(cè)】

【拓展探究】

例1、求下列函數(shù)的定義域.

(1)/(%)=—;(2)/(x)=j2x-4；(3)f(x)=

x+2x+4

例2、下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？

_______________2

(1)f(x)-2x+l與g(x)=+4x+l;(2)f(x)=-——-與g(x)=x—l；

X

點(diǎn)撥：對(duì)于根式、分式、絕對(duì)值式，要先化簡(jiǎn)再判斷，在化簡(jiǎn)時(shí)要注意等價(jià)變形，否則等號(hào)

不成立.

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？

x,(尤>0)

⑴于(X)=G與g(x)=<(2)f(x)^x2-2x與g?)=/一2f。

—X,(x<0)

2、求下列函數(shù)的定義域

(1)f(x)=：+3+J16-X2:(2)y=0.5x(xeN)

x-4

（3）已知棒棒糖0.5元/個(gè)，則買棒棒糖的價(jià)錢y元與個(gè)數(shù)x的函數(shù)：y=0.5x中的定義

域?yàn)開(kāi)_____

【小結(jié)與反饋】

（一）函數(shù)的定義及其三要素

（二）高中階段的函數(shù)的定義域的類型：

1.已經(jīng)給定函數(shù)定義域的函數(shù)；

2.實(shí)際生活、生產(chǎn)中的函數(shù)的定義域應(yīng)當(dāng)滿足實(shí)際問(wèn)題有意義.

3.只給解析式的函數(shù)的定義域：使式子有意義的自變量x的取值的集合。

(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的

集合；

(4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意

義的實(shí)數(shù)集合(即求各集合的交集)；

第二課時(shí)：1.2T函數(shù)(1)(課后溫學(xué)案)

【課外拓展】

必做：

1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)/(x)=^~；(2)f(x)=s/x2-2x-3:(3)=+

X-2A/X+4

5(5)f(x)--!---Jx+3

(4)f(x)

|x-2|-3x-1

(6)f(x)=J-x=+5x+6|+\Jx2-4.

2.判斷下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？

尤2_]

(1)y=x-1與y=-----

x+1

x-l(x>1)

⑵/(x)=|x-l|與g(x)=<

(3)y=(五y與y=；

2

x-x(x>0)9

⑷/（無(wú)）=,’與gQ)=f_|x|

x+x(x<0)

選做（考重點(diǎn)大學(xué)必做）:

1、判定下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？

(1)/(X)=2X+1,XG/?與/(x)=2x+l,xeN

(2)/(x)=2x+l,xe7?與g?)=2f+l,fER

提示：兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系（對(duì)應(yīng)法則）完全一致，而與表

示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)（關(guān)乎實(shí)質(zhì)，而非外形）。

必修一第一章第2單元

第三課時(shí)：1.2-2函數(shù)與映射(2)(課前先學(xué)案)

【自主學(xué)習(xí)】閱讀課本P22第二段一P23,P15—P17,完成課前先學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、會(huì)求二次函數(shù)的值域；

2、進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)函數(shù)符號(hào)y=f(x)的理解；能正確認(rèn)識(shí)和使用函數(shù)的三種表示法：解

析法，列表法和圖象法.了解每種方法的優(yōu)點(diǎn).在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)

的方法表示函數(shù)。

【知識(shí)梳理】

(一)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則的進(jìn)一步理解

/(x)=2x+l表示的對(duì)應(yīng)法則是(文字?jǐn)⑹?；

①/(2)表示：當(dāng)自變量x=時(shí)，在對(duì)應(yīng)法則f的作用下的函數(shù)值為/(2)=

②/⑺表示：當(dāng)自變量x=時(shí)，在對(duì)應(yīng)法則干的作用下的函數(shù)值為了⑺二；

③/(『一2)表示：當(dāng)自變量x=時(shí),在對(duì)應(yīng)法則f的作用下的函數(shù)值為-2)=

(―)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則的三種表示方法:

1、解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函

數(shù)值.

2、圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化

趨勢(shì).

3、列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函

數(shù)值.

Lxe。）

注意：并非所有函數(shù)都有解析式(股票)或圖像(狄利克雷函數(shù)0(x)=<

0,xeQ

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1.作出下列函數(shù)的圖象，并依據(jù)圖形指出其定義域、值域.

(1)y=1—x(xe{—2,-1,0,1,2})；(2)y=2x2-4x-3(0<x<3).

點(diǎn)撥：(1)具體作圖的詳細(xì)過(guò)程分別體現(xiàn)了函數(shù)的三種表示形式，

(2)第1小題的圖象是五個(gè)孤立的點(diǎn)；第2小題的圖象是拋物線的一部分，留意端點(diǎn)的

取舍。

2、已知函數(shù)/(x)如下表，試作出其圖像，并求了"⑴］、/"(3)］的值。

X1234

/(X)3412

必修一第一章第2單元

第三課時(shí)：1.2-2函數(shù)與映射(2)(上課正學(xué)案)

【課堂檢測(cè)】

1、先對(duì)下列二次函數(shù)配方以及作圖，再求其定義域和值域

(1)y=x2-4x-3(0<x<3),(2)y=-x2+4.r-3(0<x<3)

2、已知函數(shù)f(x)=3x?+5x-2,求f(3),/(-V2),f(a),f(a+1).

點(diǎn)撥：符號(hào)f(x)的含義：f(t)表示在x=t時(shí)，f(x)表達(dá)式的函數(shù)值，而t可以表示一個(gè)

數(shù)或式子.

【拓展探究】

例1、已知f(x)=x?-3x+2,g(x)=2x+5,求：

(1)f(2),g(2)：(2)f[g(2)],g[f(2)]:(3)f[g(x)],g[f(x)]

例2、已知/（2》+5）=4/+14》+12,求/⑺和/（x）;

點(diǎn)撥：關(guān)鍵在于確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，然后寫出符合題意的解析式（相同函數(shù)的本質(zhì)相

同，非外形）

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1.若f（x+1）=2X2+1,求函數(shù)f（x）的解析式;

【小結(jié)與反饋】

1、求二次函數(shù)的值域的一般方法：配方——畫出符合題意的圖——看圖寫出答案

2、解析式是函數(shù)的實(shí)質(zhì)（對(duì)應(yīng)法則）的外形，用換元法或配湊法的實(shí)質(zhì)是求出內(nèi)在實(shí)質(zhì)（對(duì)

應(yīng)法則）之后，再寫出符合題意的外形（解析式）。

注意：用換元法解求對(duì)應(yīng)法則問(wèn)題時(shí)，要關(guān)注新變?cè)姆秶磺蟪龊瘮?shù)解析式后，一定

要寫出定義域。

必修一第一章第2單元

第三課時(shí)：1.2-2函數(shù)與映射(2)(課后溫學(xué)案)

【課外拓展】

必做：

1.作下列函數(shù)的圖像，然后確定其定義域、值域

(1)y=x+l,(xe{—2,—1,0,1}),(2)y=-%+2(-l<x<4)

(3)y=x2-2x-3(-2<x<4),(4)y=-x2+2x-l(-l<x<2)

2.已知/(尤)=/+1,g(x)=2x-3,求:

(1)fS)、g⑺，⑵g[f(2)]、〃g(2)],(3)g"(x)]、〃g(x)],

3、已知/（3幻=2/-1,求f（x）：

4、已知/(X+1)=X2-4X+3,求/(X).

必修一第一章第2單元

第四課時(shí)：1.2-3函數(shù)與映射（3）（課前先學(xué)案）

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

1、若對(duì)任意xe/?都有ax?一匕x+3=4f+5x+c恒成立，則。=,b=

2、已知一次函數(shù)/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,1)和(0,3),求

(1)/(X)的解析式,(2)f[f(x)]

3、已知函數(shù)/(x)=，9一%2,且g(x)=/(2x),求：(1)g(x)的解析式，(2)g(x)

的定義域。

必修一第一章第2單元

第四課時(shí)：1.2-3函數(shù)與映射(3)(上課正學(xué)案)

【拓展探究】

例1、已知/(x)是一次函數(shù)，若=4x+9,求/(x)；

點(diǎn)撥：待定系數(shù)法，

例2、已知函數(shù)/(x)的定義域是xe(—2,4],求下列函數(shù)的定義域

(1)/(2x+l)；(2)/(x+l)+/(2x-l)

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、已知函數(shù)/(/+2)=9+2/,求：(1)/⑺的解析式，(2)/⑺的定義域。

必修一第一章第2單元

第四課時(shí)：1.2-3函數(shù)與映射(3)(課后溫學(xué)案)

【課外拓展】

必做：

1、設(shè)/(l+^bnl+L+l,求,f(X),/(%-1)；

XXX"

2、已知/(幻是一次函數(shù)，若/[/(x)]=9x+3,求/(幻

3、已知函數(shù)/(f+l)的定義域是xe(-2,4],求下列函數(shù)的定義域

(1)/(x);(2)/(2x+l)：(3)/(x+l)+/(2x-l).

必修一第2單元

第五課時(shí)：1.4分段函數(shù)(課前先學(xué)案)

【自主學(xué)習(xí)】閱讀課本P21例5-P22第二段，完成課前先學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

了解分段函數(shù)的意義.會(huì)解決分段函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題。

【知識(shí)梳理】

1、生活常識(shí)：一個(gè)故事與該故事的每一段的聯(lián)系與區(qū)別：

,”>0)

2、去掉絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)方法：|/|=<,(/=0);

,(/<0)

3、定義：分段函數(shù)是指在函數(shù)定義域的不同區(qū)間上，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則也不同的函數(shù)。

注意：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是多個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的

式子，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的

取值情況。

4、處理方法：分段函數(shù)分段討論，先局部后整體；最后合并成一個(gè)結(jié)論。

5、應(yīng)用：（1）求值，（2）求解析式，（3）解不等式，（4）求最值。

1,（x>0）

6、史上的分段函數(shù)：符號(hào)函數(shù)sgn（尤）=<0,（x=O）、狄利克雷函數(shù)

—1,（x<0）

~、fl,（x為有理數(shù)）

D（x）=《o

[0,（X為無(wú)理數(shù)）

【預(yù)習(xí)自測(cè)】

2x+2,（-1<x<0）

1,已知/（無(wú)）=,一；為（0<x<2）,

3，（x>2）

（1）作/（x）的圖象，（2）求定義域，（3）求值域，（4）求值：/（-；）,/（1）,/（6）,/[/（I）]

的值。

必修一第2單元

第五課時(shí)：1.4分段函數(shù)（上課正學(xué)案）

【課堂檢測(cè)】

1、A、B兩地相距120km,某汽車以40km/h的速度從A地到B地，在B地停留2h后，又以

30km/h的速度返回A地，(1)試寫出該車離開(kāi)A地的距離s(km)關(guān)于時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系

并畫出圖像；

(2)試寫出該車的速度v(km/h)關(guān)于時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系并畫出圖像.

【拓展探究】

3,(1<%)

例1、已知/*)=《/+2,(-1<%<1),

x+4,(x<-1)

(1)求值：/{/[/(-4)]}:(2)解方程：f(x)=—;(3)解不等式：/-(%)>—o

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【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1.作函數(shù)y=|1一2