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廣渠門中學(xué)新高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.命題“”的否定是()A. B.C. D.2.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.3.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn),在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.4.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是()A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)一個遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像5.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或16.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則9.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.11.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.12.對于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時,函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某市高三理科學(xué)生有名,在一次調(diào)研測試中,數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,已知,若按成績分層抽樣的方式取份試卷進(jìn)行分析,則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為__________.14.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)15.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.16.已知三棱錐中,,,則該三棱錐的外接球的表面積是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若,且,求證:.18.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)D在橢圓C上,的周長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn),當(dāng)時,求的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若對任意的,當(dāng)時,都有恒成立,求最大的整數(shù).(參考數(shù)據(jù):)22.(10分)已知(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個數(shù);(2)記,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.2、A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點(diǎn)睛:本題易錯選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題,通過構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題,另外通過二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.3、C【解析】
根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因?yàn)?在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.4、B【解析】
化簡到,根據(jù)定義域排除,計(jì)算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域?yàn)?,故錯誤;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?,故不可能為,錯誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.5、D【解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導(dǎo)數(shù),求得切點(diǎn)坐標(biāo),代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點(diǎn)為,代入直線方程得,解得或1.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,因?yàn)閷θ我?,,都有,所以函?shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.7、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到,此時與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當(dāng)時,取得最小值為,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.8、D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項(xiàng)做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,當(dāng)時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.9、B【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.10、C【解析】
由程序語言依次計(jì)算,直到時輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過程為當(dāng)n=2時,時,,此時輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】
可過點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或補(bǔ)角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關(guān)系,平行線分線段成比例的定理,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,當(dāng)時,是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率,乘以可得.【詳解】解:,所以應(yīng)從分以上的試卷中抽取份.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線,屬于基礎(chǔ)題.14、1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點(diǎn):排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.點(diǎn)評:本題考查排列排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景,利用分步原理正確計(jì)數(shù),本題較抽象,計(jì)數(shù)時要考慮周詳.15、0.08【解析】
先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計(jì)算公式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).16、【解析】
將三棱錐補(bǔ)成長方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,求得的值,然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,則,由勾股定理可得,上述三個等式全部相加得,,因此,三棱錐的外接球面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算,根據(jù)三棱錐對棱長相等將三棱錐補(bǔ)成長方體是解答的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)極大值為:,無極小值;(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值;(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明,即證,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)榍伊?,得;令,得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為,無極小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減且,則要證,即證,即證,即證即證由于,即,即證令則恒成立在遞增在恒成立【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明,考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題,屬于難題.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)由,周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,周長,且.聯(lián)立解得,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時,不妨設(shè)其方程為,則,所以,即.②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)其方程為,并設(shè),由,,,由直線l與圓E相切,得.所以.從而,即.綜合上述,得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計(jì)算求解能力,難度較難.19、(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期,解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,由得出或,分兩種情況討論,結(jié)合余弦定理解三角形,進(jìn)行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1),所以,函數(shù)的最小正周期為,由得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①當(dāng)時,即,則由,,得,則,此時,的面積為;②當(dāng)時,則,即,則由,解得,,.綜上,的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積的計(jì)算,涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1);(2).【解析】
(1)在已知極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以ρ后,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y(tǒng),ρ2=x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2=4y由韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長公式可得弦長與已知弦長相等可解得.【詳解】解:(1)在ρ+ρcos2θ=8sinθ中兩邊同時乘以ρ得ρ2+ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8ρsinθ,∴x2+y2+x2﹣y2=8y,即x2=4y,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為:x2=4y.(2)聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2=4y得:(cosα)2t2﹣4(sinα)t+4=0,設(shè)A,B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由△=16sin2α﹣16cos2α>0,得sinα>,t1+t2=,由|PM|=,所以20sin2α+9sinα﹣20=0,解得sinα=或sinα=﹣(舍去),所以sinα=.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程,屬中檔題.21、(1)(2)2【解析】
(1)先求得切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切
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