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文檔簡介
山東省鄒城市下學(xué)期高三新高考數(shù)學(xué)試題聯(lián)考考試試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.2.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.3.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A. B. C. D.4.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B. C. D.5.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于任意一個大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.96.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點,以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.38.已知向量,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.9.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點是()A.E B.F C.G D.H10.連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為,連接4個焦點的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是等比數(shù)列的前項的和,成等差數(shù)列,則的值為_____.14.已知兩點,,若直線上存在點滿足,則實數(shù)滿足的取值范圍是__________.15.邊長為2的菱形中,與交于點O,E是線段的中點,的延長線與相交于點F,若,則______.16.平面向量與的夾角為,,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)若對于任意實數(shù),恒成立,求實數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時,是否存在實數(shù),使曲線:在點處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.18.(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,點A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點E.(1)求證:四邊形ACC1A1為矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.19.(12分)的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,點是線段的中點,,求的面積.20.(12分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點,將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時,;(2)若函數(shù)只有一個零點,求正實數(shù)的值.22.(10分)已知拋物線的頂點為原點,其焦點關(guān)于直線的對稱點為,且.若點為的準線上的任意一點,過點作的兩條切線,其中為切點.(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點,并求面積的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由推導(dǎo)出,且,將所求代數(shù)式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.,由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,當(dāng)時,取得最小值.故選:A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算,涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.2、B【解析】
分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.3、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.4、D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.5、B【解析】
模擬程序運行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時:,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時可模擬程序運行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.6、C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.7、A【解析】,故,故選A.8、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標運算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進行化簡、整理.9、C【解析】
由于在復(fù)平面內(nèi)點的坐標為,所以,然后將代入化簡后可找到其對應(yīng)的點.【詳解】由,所以,對應(yīng)點.故選:C【點睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
先求出四個頂點、四個焦點的坐標,四個頂點構(gòu)成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點的坐標為,四個焦點的坐標為,四個頂點形成的四邊形的面積,四個焦點連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點,焦點,菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.11、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則,直接計算,即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法,熟記運算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.12、A【解析】
由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對新定義的理解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解即可.【詳解】解:等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為:.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運用,屬于中檔題.14、【解析】
問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點時,的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.【詳解】解:直線,點,,直線上存在點滿足,的軌跡方程是.如圖,直線與圓有公共點,圓心到直線的距離:,解得.實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題主要考查直線方程、圓、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.15、【解析】
取基向量,,然后根據(jù)三點共線以及向量加減法運算法則將,表示為基向量后再相乘可得.【詳解】如圖:設(shè),又,且存在實數(shù)使得,,,,,,故答案為:.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,屬中檔題.16、【解析】
由平面向量模的計算公式,直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為,所以,所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算,只需先求出向量的數(shù)量積,進而即可求出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】
(1)分類時,恒成立,時,分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上有解.再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.【詳解】解:(1)因為當(dāng)時,恒成立,所以,若,為任意實數(shù),恒成立.若,恒成立,即當(dāng)時,,設(shè),,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值.,所以,要使時,恒成立,的取值范圍為.(2)由題意,曲線為:.令,所以,設(shè),則,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),因此在區(qū)間上的最小值,所以,當(dāng)時,,,所以,曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數(shù)解.而,即方程無實數(shù)解.故不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立,考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由導(dǎo)數(shù)幾何把問題進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)通過勾股定理得出,又,進而可得平面,則可得到,問題得證;(2)如圖,以為原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸,求出平面的法向量和平面的法向量,利用空間向量的夾角公式可得答案.【詳解】(1)因為平面,所以,又因為,,,所以,因此,所以,因此平面,所以,從而,又四邊形為平行四邊形,則四邊形為矩形;(2)如圖,以為原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸,所以,平面的法向量,設(shè)平面的法向量,由,由,令,即,所以,,所以,所求二面角的余弦值是.【點睛】本題考查空間垂直關(guān)系的證明,考查向量法求二面角的大小,考查學(xué)生計算能力,是中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理的邊化角公式,結(jié)合兩角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由題意得出,兩邊平方,化簡得出,根據(jù)三角形面積公式,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因為點是線段的中點,所以兩邊平方得由得整理得,解得或(舍)所以的面積【點睛】本題主要考查了正弦定理的邊化角公式,三角形的面積公式,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由折疊過程知與平面垂直,得,再取中點,可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點,以為原點,所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標系,由已知求出線段長,得出各點坐標,用平面的法向量計算二面角的余弦.【詳解】(1)易知與平面垂直,∴,連接,取中點,連接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中點,令,則,由,,∴,解得,故.以為原點,所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標系,如圖,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,則.又易知平面的一個法向量為,.∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查證明線線垂直,考查用空間向量法求二面角.證線線垂直,一般先證線面垂直,而證線面垂直又要證線線垂直,注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角,常用方法就是建立空間直角坐標系,用空間向量法求空間角.21、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)把轉(zhuǎn)化成,令,由題意得,即證明恒成立,通過導(dǎo)數(shù)求證即可(2)直接求導(dǎo)可得,,令,得或,故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進行分類討論即可【詳解】證明:(1)令,則.分析知,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.所以當(dāng)時,.所以,即,所以.所以當(dāng)時,.解:(2)因為,所以.討論:①當(dāng)時,,此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,故此時函數(shù)僅有一個零點為0;②當(dāng)時,令,得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極大值,所以極小值.當(dāng)時,有.又,此時,故當(dāng)時,函數(shù)還有一個零點,不符合題意;③當(dāng)時,令得,故函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.又極小值,所以極大值.若,則,得,所以,所以當(dāng)且時,,故此時函數(shù)還有一個零點,不符合題意.綜上,所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點問題,本題的難點在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式,如,進而分類討論,本題屬于難題22、(1)(2)見解析,最小值為4【解析】
(1)根據(jù)焦點到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標,利用導(dǎo)數(shù)求得
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