安徽省十大名校新高考適應性考試數(shù)學試卷及答案解析

安徽省十大名校新高考適應性考試數(shù)學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．22．已知函數(shù)，以下結論正確的個數(shù)為（）①當時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；②當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；④當時，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．4．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．5．已知正項數(shù)列滿足：，設，當最小時，的值為()A． B． C． D．6．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．7．當輸入的實數(shù)時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．8．設為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．10．已知點P在橢圓τ：=1(a>b>0)上，點P在第一象限，點P關于原點O的對稱點為A，點P關于x軸的對稱點為Q，設，直線AD與橢圓τ的另一個交點為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A． B． C． D．11．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個正四面體的棱長為1，四個頂點在同一個球面上，則此球的表面積為_________.14．已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是____________．15．正四面體的一個頂點是圓柱上底面的圓心，另外三個頂點圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是______.16．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，，若線段EF上存在一點M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，面.（1）在線段上是否存在點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕剩?Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及．19．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當時，求證：.21．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下：等級不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學期望．22．（10分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若存在實數(shù)，使得，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.2、C【解析】

逐一分析選項，①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷；②利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導數(shù)，若滿足條件，則極值點必在區(qū)間；④利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因為當時，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當時，，此時在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因為在上不單調(diào)，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或．因為，，所以最大值為64，結論錯誤．故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎題型.3、B【解析】

建立平面直角坐標系，用坐標表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，0).不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結果求參數(shù)，屬于中檔題.4、B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎題．5、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應用，基本不等式求最值，考查了學生的運算求解能力.6、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=7、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結構的運行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結論.【詳解】程序框圖共運行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點睛】本題考查循環(huán)結構輸出結果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.8、A【解析】

利用復數(shù)的除法運算化簡，求得對應的坐標，由此判斷對應點所在象限.【詳解】，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點所在象限，屬于基礎題.9、D【解析】

與中間值1比較，可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)，再比較大小．【詳解】，，又，∴，即，∴．故選：D.【點睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較，或化為同底數(shù)對數(shù)比較，若是不同類型的數(shù)，可借助中間值如0，1等比較．10、C【解析】

設，則，，，設，根據(jù)化簡得到，得到答案.【詳解】設，則，，，則，設，則，兩式相減得到：，，，即，，，故，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.11、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力；屬于基礎題.12、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結合思想，應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將四面體補成一個正方體，通過正方體的對角線與球的半徑的關系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正四面體補形成一個正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球，因為正四面體的棱長為1，所以正方體的棱長為，設球的半徑為，因為球的直徑是正方體的對角線，即，解得，所以球的表面積為.【點睛】本題主要考查了有關求得組合體的結構特征，以及球的表面積的計算，其中巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對角線長，得到球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及運算與求解能力，屬于基礎題.14、【解析】

方法一：令，則，，當，時，，單調(diào)遞減，∴時，，，且，∴在上單調(diào)遞增，時，，，且，∴在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時，，，所以，這與是函數(shù)的極大值點矛盾．綜上，．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點，由知須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據(jù)與的圖象關系，可得．15、【解析】

設正四面體的棱長為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解．【詳解】解：設正四面體的棱長為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為．∴正四面體的體積，圓柱的體積．則．故答案為：．【點睛】本題主要考查多面體與旋轉體體積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．16、【解析】

根據(jù)題意，設，則，所以，解得，所以，從而有.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）存在；詳見解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性質(zhì)定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（2）過作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，求出長，寫出各點坐標，用向量法求二面角．【詳解】解：（1）當為上靠近點的三等分點時，滿足面.證明如下，取中點，連結.即易得所以面面，即面．（2）過作交于面，兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，設面法向量，則，即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為．【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角．線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握：立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉化、相互依存的．求空間角一般是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空間角．18、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先計算其逆事件，即人都認為不很幸福的概率，再用減去人都認為不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量，列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可．【詳解】(Ⅰ)設事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡模瑒t表示人都認為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機變量，的可能的取值為；；；所以隨機變量的分布列為：所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列，數(shù)學期望的求解，概率分布中的二項分布問題，屬于常規(guī)題型．19、（1）；（2）.【解析】

（1）由，利用余弦定理可得,結合可得結果；（2）由正弦定理，,利用三角形內(nèi)角和定理可得，由三角形面積公式可得結果.【詳解】（1）由題意，得.∵.∴,∵，∴.（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.20、(1)的極小值為，無極大值.（2）見解析.【解析】

（1）對求導，確定函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值.（2）構造函數(shù)，證明恒成立，得到，，得證.【詳解】（1）由題意知，，令，得，令，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）當時，要證，即證.令，則，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，即.因為時，，所以當時，，所以當時，不等式成立.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，不等式的證明，構造函數(shù)是解題的關鍵.21、（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）設“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，由條件概率公式可求出；（3）從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學生數(shù)為，“合格”的學生數(shù)為6；由題意可得，5，10，15，1，利用“超幾何分