湖南省邵陽(yáng)市邵東縣創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省邵陽(yáng)市邵東縣創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，，那么在方向上的投影為（）A．2 B． C．1 D．2．某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產(chǎn)量之比為2:3:4.為檢驗(yàn)該廠家產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為72的樣本，則樣本中乙類型飲品的數(shù)量為A．16 B．24 C．32 D．483．設(shè)函數(shù)，則（）A．2 B．4 C．8 D．164．已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，，，且三人錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．5．下列說(shuō)法不正確的是（）A．空間中，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是一定是平行四邊形；B．同一平面的兩條垂線一定共面；C．過(guò)直線上一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi)；D．過(guò)一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直.6．若，，則方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)(,)的部分圖像如圖所示，則的值分別是()A． B．C． D．8．一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是()A．12π B．18π C．36π D．6π9．已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．410．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．12．已知，，則當(dāng)最大時(shí)，________.13．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_(kāi)____．14．已知腰長(zhǎng)為的等腰直角△中，為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值________．15．_____________.16．已知等差數(shù)列滿足，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在已知數(shù)列中，，.（1）若數(shù)列中，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．自變量在什么范圍取值時(shí)，函數(shù)的值等于0?大于0呢?小于0呢?21．從半徑為1的半圓出發(fā)，以此向內(nèi)、向外連續(xù)作半圓，且后一個(gè)半圓的直徑為前一個(gè)半圓的半徑，如此下去，可得到無(wú)數(shù)個(gè)半圓．（1）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的周長(zhǎng)；（2）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)定義可知，在方向上的投影為，代入即可求解．【詳解】，，那么在方向上的投影為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)試題．2、B【解析】

根據(jù)分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因?yàn)榉謱映闃涌傮w和各層的抽樣比例相同，所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同，所以樣本中乙類型飲品的數(shù)量為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，依據(jù)分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.3、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)定義域，代入可求得，根據(jù)的值再代入即可求得的值．【詳解】因?yàn)樗运运赃xB【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)定義域求分段函數(shù)的值，依次代入即可，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

由題意，可先求得三個(gè)人都沒(méi)有被錄取的概率，接下來(lái)求至少有一人被錄取的概率，利用對(duì)立事件的概率公式，求得結(jié)果.【詳解】甲、乙、丙三人都沒(méi)有被錄取的概率為，所以三人中至少有一人被錄取的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握對(duì)立事件的概率加法公式，求得結(jié)果.5、D【解析】一組對(duì)邊平行就決定了共面；同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi)即直線的垂面；把書本的書脊垂直放在桌上就明確了6、B【解析】方程有實(shí)數(shù)根，則：，即：，則：，如圖所示，由幾何概型計(jì)算公式可得，滿足題意的概率值為：.本題選擇B選項(xiàng).7、B【解析】

通過(guò)函數(shù)圖像可計(jì)算出三角函數(shù)的周期，從而求得w，再代入一個(gè)最低點(diǎn)即可得到答案.【詳解】,，又，，，又，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像，通過(guò)周期求得w是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.8、A【解析】

先求長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度，就是球的直徑，然后求出它的表面積.【詳解】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是，所以球的半徑是：，所以該球的表面積是，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)長(zhǎng)方體的外接球的表面積問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，首先要明確長(zhǎng)方體的外接球的球心應(yīng)在長(zhǎng)方體的中心處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，從而求得結(jié)果.9、B【解析】由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在已知圓上，所以只要兩圓有交點(diǎn)即可，所以，故選B.考點(diǎn)：本小題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.10、A【解析】

∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7【解析】

首先畫出可行域，然后判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】如圖，畫出可行域，作出初始目標(biāo)函數(shù)，平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，，解得,.故填：7.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】

根據(jù)正切的和角公式，將用的函數(shù)表示出來(lái)，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.【詳解】故可得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)有故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.13、【解析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．14、【解析】

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，∴，當(dāng)sin時(shí)，得到最小值為，故選．15、【解析】,故填.16、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．等差數(shù)列的性質(zhì)如下：在等差數(shù)列中，，則．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）存在，.【解析】

（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列為等比數(shù)列，并可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法與等比數(shù)列的求和公式分別求出數(shù)列、，設(shè)，列出關(guān)于、、的方程組，解出即可.【詳解】（1）在數(shù)列中，，，則，，且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2），整理得，，，，所以，，若數(shù)列為等差數(shù)列，可設(shè)，則，即，則，解得，因此，存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明、數(shù)列求和以及等差數(shù)列的存在性問(wèn)題，熟悉等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18、(1)(2)【解析】

（1）當(dāng)且時(shí)，利用求得，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)也滿足所求式子，從而可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，利用錯(cuò)位相減法求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)且時(shí)，…①當(dāng)時(shí)，，也滿足①式數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）由（1）知：【點(diǎn)睛】本題考查利用求解數(shù)列通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)為等差與等比乘積時(shí)，采用錯(cuò)位相減法求和，屬于?？碱}型.19、（1）（2）【解析】

（1）先由題意得到，求出，再由，作出，得到數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求出其通項(xiàng)公式；（2）先由（1）得到，再由錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題可得.當(dāng)時(shí)，，即.由題設(shè)，，兩式相減得.所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）由（1）可得，所以，.兩邊同乘以得.上式右邊錯(cuò)位相減得.所以.化簡(jiǎn)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的前項(xiàng)和，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和即可，屬于常考題型.20、當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值等于0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值大于0；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值小于0.【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程和解不等式，以及，分別求解即可.【詳解】由題：由得：或；由得：；由得：或，綜上所述：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值等于0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值大于0；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值小于0.【點(diǎn)睛】此題考查解二次方程和二次不等式，關(guān)鍵在于熟練掌握二