福建省永安市第三中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

福建省永安市第三中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比()A． B． C．或 D．以上都不對(duì)2．若，且，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．3．在銳角中，角的對(duì)邊分別為.若，則角的大小為()A． B．或 C． D．或4．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的取值范圍為()A． B． C． D．5．記復(fù)數(shù)的虛部為，已知滿足，則為（）A． B． C．2 D．6．已知直線3x?y+1=0的傾斜角為α，則A． B．C．? D．7．已知圓C與直線和直線都相切，且圓心C在直線上，則圓C的方程是（）A． B．C． D．8．直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若．則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若，則的最小值是（）A． B． C． D．10．在三棱錐中，面，則三棱錐的外接球表面積是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列，若，則______.12．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式______．13．實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最大值為________.14．在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則的面積是_____．15．△ABC中，，，則=_____．16．如圖，緝私艇在處發(fā)現(xiàn)走私船在方位角且距離為12海里的處正以每小時(shí)10海里的速度沿方位角的方向逃竄，緝私艇立即以每小時(shí)14海里的速度追擊，則緝私艇追上走私船所需要的時(shí)間是__________小時(shí).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）求的定義域；（2）設(shè)是第三象限角，且，求的值.18．三個(gè)內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的三條邊長分別是，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，，求．19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，求c．20．在等差數(shù)列中，已知,.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求.21．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式＜對(duì)一切恒成立的實(shí)數(shù)的范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)和可得，解得結(jié)果即可.【詳解】由得，所以，所以，所以，解得或故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

將代數(shù)式與相乘，展開式利用基本不等式求出的最小值，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題以及一元二次不等式的解法，對(duì)于不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為最值來處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題．3、A【解析】

利用正弦定理，邊化角化簡即可得出答案．【詳解】由及正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．故選A【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，根據(jù)不等式表示的可行域，可得出取值范圍.【詳解】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率．畫出如圖的可行域，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，．的取值范圍為,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的可行域的畫法，以及目標(biāo)函數(shù)為分式時(shí)求取值范圍的方法.5、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，從而可得虛部.【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解問題，關(guān)鍵是通過復(fù)數(shù)除法運(yùn)算得到的形式.6、A【解析】

由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等變換，求出要求式子的值．【詳解】直線3x-y+1=0的傾斜角為α，∴tanα=3，

∴，

故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，三角恒等變換，屬于中檔題．7、B【解析】

設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離列出方程求解即可【詳解】∵圓心在直線上，∴可設(shè)圓心為，設(shè)所求圓的方程為，則由題意，解得∴所求圓的方程為．選B【點(diǎn)睛】直線與圓的問題絕大多數(shù)都是轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離公式進(jìn)行求解8、A【解析】

可通過將弦長轉(zhuǎn)化為弦心距問題，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和勾股定理進(jìn)行求解【詳解】如圖所示，設(shè)弦中點(diǎn)為D，圓心C(3,2),弦心距，又，由勾股定理可得，答案選A【點(diǎn)睛】圓與直線的位置關(guān)系解題思路常從兩點(diǎn)入手：弦心距、勾股定理。處理過程中，直線需化成一般式9、A【解析】,則,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式，其難點(diǎn)主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表示內(nèi)接正方形的邊長.在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.10、D【解析】

首先計(jì)算BD長為2，判斷三角形BCD為直角三角形，將三棱錐還原為長方體，根據(jù)體對(duì)角線等于直徑，計(jì)算得到答案.【詳解】三棱錐中，面中：在中：即ABCD四點(diǎn)都在對(duì)應(yīng)長方體上：體對(duì)角線為AD答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球表面積，將三棱錐放在對(duì)應(yīng)的長方體里面是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，得，解得.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

根據(jù)圖象的最高點(diǎn)得到，由圖象得到，故得，然后通過代入最高點(diǎn)的坐標(biāo)或運(yùn)用“五點(diǎn)法”得到，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式．【詳解】由圖象可得，∴，∴，∴．又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．又，∴．∴．故答案為．【點(diǎn)睛】已知圖象確定函數(shù)解析式的方法（1）由圖象直接得到，即最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（2）由圖象得到函數(shù)的周期，進(jìn)而得到的值．（3）的確定方法有兩種．①運(yùn)用代點(diǎn)法求解，通過把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式求出的值；②運(yùn)用“五點(diǎn)法”求解，即由函數(shù)最開始與軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為(即令，)確定．13、【解析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，找到其在軸截距的最大值，得到答案.【詳解】由約束條件，畫出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最大值，屬于簡單題.14、【解析】

過作于，設(shè)，運(yùn)用勾股定理和三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】過作于，設(shè)，，，，又，可得，即有，可得的面積為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，考查勾股定理的運(yùn)用，以及三角形的面積公式，考查化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】試題分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A為銳角，由得，因此考點(diǎn)：正余弦定理16、【解析】

設(shè)緝私艇追上走私船所需要的時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)各自的速度表示出與，由，利用余弦定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】解：設(shè)緝私艇上走私船所需要的時(shí)間為小時(shí)，則，，在中，，根據(jù)余弦定理知：，或（舍去），故緝私艇追上走私船所需要的時(shí)間為2小時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由分母不為0可求得排煙閥；（2）由同角間的三角函數(shù)關(guān)系求得，由兩角差的余弦公式展開，再由二倍角公式化為單角的函數(shù)，最后代入的值可得．【詳解】（1）由得，，所以，，故的定義域?yàn)椋ù鸢笇懗伞啊币舱_）（2）因?yàn)椋沂堑谌笙藿?，所以由可解得?故.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查應(yīng)用兩角差的余弦公式和二倍角公式求值．三角函數(shù)求值時(shí)一般要先化簡再求值，這樣計(jì)算可以更加簡便，保證正確．18、⑴(2)【解析】

⑴由正弦定理及，得，因?yàn)?，所以；⑵由余弦定理，解得【詳解】⑴由正弦定理得，由已知得，，因?yàn)椋寓朴捎嘞叶ɡ?，得即，解得或，?fù)值舍去，所以【點(diǎn)睛】解三角形問題，常要求正確選擇正弦定理或余弦定理對(duì)三角形中的邊、角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再進(jìn)行求解，同時(shí)注意三角形當(dāng)中的邊角關(guān)系，如內(nèi)角和為180度等19、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，數(shù)列為1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）由（1）可求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，根據(jù)，，成等差數(shù)列及，，成等比數(shù)列，利用等差、等比數(shù)列性質(zhì)可求出c．【詳解】（1），，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．．（2）由（1）知，，，，，，法1：，，成等比數(shù)列，，即，整理得：，或．①當(dāng)時(shí)，，所以（定值），滿足為等差數(shù)列，②當(dāng)時(shí)，，，，，不滿足，故此時(shí)數(shù)列不為等差數(shù)列（舍去）．法2：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，解得或．①當(dāng)時(shí)，滿足，，成等比數(shù)列，②當(dāng)時(shí)，，，，不滿足，，成等比數(shù)列（舍去），綜上可得．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和，等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解決此類問題通常借助方程思想列方程（組）求解，屬于中等題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（I）將已知條件轉(zhuǎn)為關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組求出，進(jìn)而可求通項(xiàng)公式；（II）由已知可得構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】（I）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，,所以解得.則,.（II）構(gòu)成首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.則【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題