工程力學(xué)：彎曲應(yīng)力（中）

1彎曲應(yīng)力§11-4對稱彎曲切應(yīng)力§11-5梁的強(qiáng)度條件§11-6梁的合理強(qiáng)度設(shè)計2一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力（對稱彎曲）

梁在非純彎段，橫截面上一般同時存在剪力和彎矩，此時，橫截面上同時存在彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力。

橫截面兩側(cè)邊緣的各點：

//側(cè)邊；

橫截面y軸上各點：

//y軸//側(cè)邊假設(shè)

(y)的分布形式橫截面上各點：

//側(cè)邊，

沿截面寬度方向均勻分布§11-4對稱彎曲切應(yīng)力3FSM+dMFSMdxdxb

(y)F1F2x方向平衡：

利用分離體平衡來求橫截面上的切應(yīng)力yzdAC4公式推導(dǎo)過程：Sz(w)－面積

w

對中性軸

z

的靜矩yz5

彎曲切應(yīng)力沿橫截面的分布規(guī)律：O

y

max

矩形截面梁彎曲切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布

最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸面積

對中性軸z的靜矩：前提條件：窄高梁（

沿截面寬度方向均勻分布；h/b越大，解越精確；h/b>2時，足夠精確)6

彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力的比較：

薄壁截面梁、短粗梁：lABFbh此時，彎曲切應(yīng)力較大，或者與彎曲正應(yīng)力大小相當(dāng)。

細(xì)長非薄壁截面梁（實心梁、厚壁截面梁）：

max/max在數(shù)量級上正比于梁的跨高比(l/h)當(dāng)

l>>h時，smax>>tmax7二、工字形薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力(1)腹板、翼緣為狹長矩形，側(cè)邊附近彎曲切應(yīng)力平行于側(cè)邊(2)計算彎曲切應(yīng)力的方法:1.問題分析大小：沿截面厚度均勻分布（依據(jù)：切應(yīng)力互等定理）依據(jù)切應(yīng)力互等定理，將橫向截面上的切應(yīng)力計算轉(zhuǎn)化為縱向截面上的切應(yīng)力計算腹板翼緣方向:平行于側(cè)邊假定腹板、翼緣內(nèi)各點彎曲切應(yīng)力:82.腹板注意：翼緣參與靜矩計算腹板切應(yīng)力：3.翼緣翼緣上切應(yīng)力較腹板切應(yīng)力小，一般不予考慮9例:如圖所示變截面懸臂梁，求截面B-B上的最大彎曲切應(yīng)力解：最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上確定中性軸也即形心的位置(同前):ABBF=15kNL=0.4mCOz'yb=120δ=20yczδ=20b=120(1)(2)yzδ+b-ycδ=20C10B-B截面剪力：最大彎曲切應(yīng)力：ABBF=15kNL=0.4mCOz'yb=120δ=20yczδ=20b=120(1)(2)11中性軸處，剪應(yīng)變最大截面邊緣，剪應(yīng)變最小有剪力存在的區(qū)域，有翹曲存在無分布載荷沿軸向剪力不變，翹曲程度相同則剪力不影響縱向應(yīng)變正應(yīng)力公式適用分布載荷但當(dāng)L>5h

時，純彎正應(yīng)力公式仍然相當(dāng)精確沿軸向剪力變化，翹曲程度不同正應(yīng)力公式不適用平面假設(shè)彎曲正應(yīng)力彎曲切應(yīng)力截面翹曲

截面翹曲與非純彎推廣矛盾O

max12

彎曲正應(yīng)力:

最大值出現(xiàn)在離中性軸最遠(yuǎn)處，此處切應(yīng)力影響可忽略，可用單向受力強(qiáng)度條件：

彎曲切應(yīng)力最大值出現(xiàn)在中性軸上，此處正應(yīng)力為零，可用純剪切強(qiáng)度條件：smax：最大彎曲正應(yīng)力[s]

：材料單向受力許用應(yīng)力tmax

：最大彎曲切應(yīng)力[t]：材料純剪切許用應(yīng)力§11-5梁的強(qiáng)度條件13

梁強(qiáng)度條件的選用梁強(qiáng)度問題的分析步驟：1、內(nèi)力分析——確定危險截面2、應(yīng)力分析——確定危險點3、根據(jù)強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度校核

細(xì)長非薄壁梁：

短粗梁、薄壁梁、或者彎矩M小而剪力FS大的梁（段）：

截面上最大正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大切應(yīng)力因此只需彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件均需考慮14例:

如圖所示由木板膠結(jié)而成的懸臂梁，長l=500mm，矩形截面高h(yuǎn)=80mm，寬b=50mm，木板的許用應(yīng)力[

木]=10MPa,[

木]=1MPa，膠縫的許用切應(yīng)力[

膠]=1/3MPa，右端作用一集中力F：(a)

若此梁由兩塊尺寸相同的木板膠結(jié)而成，試求許用載荷[F]；(b)

若此梁由三塊木板膠結(jié)而成，中間一塊高為50mm，上下兩塊高均為15mm，許用載荷又為多少？思考:

圖示懸臂梁有哪些可能的破壞形式？分別是什么原因造成的？膠縫的破壞可能由什么應(yīng)力引起？15梁內(nèi)最大彎矩綜上：許用載荷[F]=0.8889kN

解：（a）兩塊木板膠接，膠縫在中性軸上

最大剪力

彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：中性層切應(yīng)力最大，又同時處在兩板膠結(jié)處，因此最容易發(fā)生剪切破壞

彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件：16（b）三塊木板膠接，膠縫不在中性軸上綜上：許用載荷[F]=Min[1.459,1.067]=1.067kN膠縫不在中性軸上，距離中性層y1=25mm，此處切應(yīng)力為：由彎曲正應(yīng)力得到的許用載荷同前：[

膠]=[

木]/3，因此膠縫仍然容易發(fā)生剪切破壞，此處切應(yīng)力滿足許用條件：

17已知：許用拉應(yīng)力試校核梁的強(qiáng)度。討論：危險截面是否僅僅是彎矩最大的截面？回答:

當(dāng)拉壓強(qiáng)度不一,且梁截面非對稱時，承受正、負(fù)彎矩時的強(qiáng)度不同，因此危險截面不僅僅包括彎矩最大的截面例:如圖所示一端外伸梁，截面為T字形，許用壓應(yīng)力18解：畫彎矩圖可能危險截面分析：C截面：彎矩絕對值最大。a點拉應(yīng)力，b點壓應(yīng)力可能達(dá)危險值。B截面：正彎矩最大，b點拉應(yīng)力可能達(dá)危險值。彎矩圖19截面形心：C截面（負(fù)彎矩）：B截面（正彎矩）

：強(qiáng)度足夠20結(jié)論：讓材料遠(yuǎn)離中性軸，如薄壁截面1、梁的合理截面形狀思考：三個面積相等的梁截面,哪個截面使得梁的強(qiáng)度最大？I1I2I3§11-6梁的合理強(qiáng)度設(shè)計增大Wz，可減小

max

ymax不變，增大Iz，可減小

max

注意：變?yōu)楸”诮孛鏁r，需要考慮切應(yīng)力影響增加抗彎截面系數(shù)常見截面的W/A值21脆性材料梁截面考慮材料拉伸強(qiáng)度和壓縮強(qiáng)度的不同截面等強(qiáng)設(shè)計采用中性軸靠近受拉一側(cè)的截面，如T字型、槽型塑性材料一般拉伸強(qiáng)度與壓縮強(qiáng)度相等，可采用對中性軸對稱的截面，如工字型、箱型脆性材料注意：T字形截面梁的受力不能反了！222、變截面梁與等強(qiáng)度梁－彎曲等強(qiáng)條件等強(qiáng)度梁－各截面具有同樣強(qiáng)度的梁－剪切等強(qiáng)條件23等強(qiáng)度梁工程實例汽車和火車的鋼板彈簧是等強(qiáng)彈性梁243、梁的合理受力Q

合理安排約束25Q

合理安排加