河南省鄭州市第十一初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年下期期中學(xué)情調(diào)研八年級(jí)數(shù)學(xué)時(shí)間：90分鐘分值：100分注意：本試卷分試題卷和答題卡兩部分．考生應(yīng)首先閱讀試題卷上的文字信息，然后在答題卡上作答（答題注意事項(xiàng)見(jiàn)答題卡）．在試題卷上作答無(wú)效．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.趙爽弦圖 B.笛卡爾心形線C.科克曲線 D.斐波那契螺旋線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】A．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；D．不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】∵∴A．，原式錯(cuò)誤，不符合題意；∴B．，原式正確，符合題意；∴C．，原式錯(cuò)誤，不符合題意；∴D．，原式錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．3.下列式子中，屬于分式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了分式的定義，熟練掌握形如（其中，為整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是分式，故本選項(xiàng)符合題意；D、不是分式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．4.用反證法證明命題“在中，若，則”時(shí)，第一步應(yīng)該假設(shè)（）A. B. C. D.且【答案】B【解析】【分析】本題考查了反證法的應(yīng)用，熟練掌握反證法的意義及步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：用反證法證明命題“已知在中，若，則，∴首先應(yīng)該假設(shè)．故選：B．5.下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．根據(jù)定義逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．，不符合題意；B．的右邊必是積的形式，不符合題意；C．的右邊不是整式，不符合題意；D．，符合題意；故選D．6.某種商品的進(jìn)價(jià)為80元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為120元，后來(lái)由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但要保證利潤(rùn)率不低于，則至多可打幾折？如果將該商品打x折銷售，則下列不等式中能正確表示該商店的促銷方式的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減進(jìn)價(jià)，以及利潤(rùn)率不低于，列出不等式即可．【詳解】解：將該商品打x折銷售，根據(jù)題意可得：．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確的列出不等式．7.如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則的度數(shù)為()A.125° B.135° C.55° D.35°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB=110°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°?70°=110°，

∵點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，

∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=×(∠ABC+∠ACB)=55°，

∴∠BOC=180°?55°=125°，

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，則點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為（）A.10 B.20 C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，證明是等邊三角形，得出，從而得出，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)勾股定理，結(jié)合含角的直角三角形性質(zhì)，求出即可．【詳解】解：如圖，連接，∵將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵在中，，∴，∴，∴，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形，求出的長(zhǎng)．9.直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將不等式變形為，再利用函數(shù)圖像解決即可．【詳解】解：由圖可知：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∴，即直線在直線的上方，∵當(dāng)時(shí)，直線在直線的上方，∴解集為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決此類問(wèn)題．10.一副三角板如圖擺放，點(diǎn)是45°角三角板的斜邊的中點(diǎn)，．當(dāng)30°角三角板的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊，分別與，相交于點(diǎn)，．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有以下結(jié)論：①；②四邊形有可能為正方形；③長(zhǎng)度的最小值為2；④四邊形的面積保持不變：⑤面積的最大值為2，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個(gè)結(jié)論，找到正確的即可．【詳解】解：①連接CF，∵F為AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，∴AF=BF=CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM=90°．∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，∴∠AFM=∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，∴∠A=∠FCN，在△AMF與△CNF中，，∴△AMF≌△CNF（ASA），∴MF=NF．故①正確；②當(dāng)MF⊥AC時(shí)，四邊形MFNC是矩形，此時(shí)MA=MF=MC，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知②正確；③連接MN，當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，CM=CN，根據(jù)邊長(zhǎng)為4知CM=CN=2，此時(shí)MN最小，最小值為，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)M、N分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△AMF∴S四邊形CDFE=S△AFC．故④正確；⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此當(dāng)MF最小時(shí)，F(xiàn)N也最??；即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，MF最小，此時(shí)FN=AC=2．∴MN=MF=；當(dāng)△CMN面積最大時(shí)，此時(shí)△MNF的面積最?。藭r(shí)S△CMN=S四邊形CFMN-S△FMN=S△AFC-S△DEF=4-2=2，故⑤正確．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道難題．二、填空題（每題3分，共15分）11.計(jì)算：=___________．【答案】##【解析】【分析】按照分式乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了分式的乘法，熟練掌握分式乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12.小明、小林和小華三人在一起討論一個(gè)一元一次不等式組：小明：它的所有解都為非負(fù)數(shù)；小林：其中一個(gè)不等式的解集為；小華：其中有一個(gè)不等式在求解過(guò)程中需要改變不等號(hào)的方向．請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)符合上述個(gè)條件的不等式組：_______________________．【答案】（不唯一）【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解的概念和不等式的基本性質(zhì)求解可得．【詳解】解：符合上述3個(gè)條件的不等式組可以是（不唯一）,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式組的解的概念和不等式的基本性質(zhì)．13.如圖，把三角形ABC沿著BC的方向平移到三角形DEF的位置．若BC＝5cm，EC＝3cm，則三角形ABC移動(dòng)的距離是__________cm．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平移的定義，即可得出BE是平移的距離，計(jì)算出來(lái)即可．【詳解】把三角形ABC沿著BC的方向平移到三角形DEF的位置，平移的方向是BC方向，平移的距離是BE的長(zhǎng)度，∵BC＝5cm，EC＝3cm，∴BE=BC-EC=5-3=2cm．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的定義，平移的兩要素，從題目中分析得出BE的長(zhǎng)度是平移的距離是本題的關(guān)鍵．14.如圖，中，D是的中點(diǎn)，交于，則_______．【答案】10【解析】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．先連接，過(guò)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)，得出，進(jìn)而判定，即可得到，據(jù)此列出方程，求得的值，即可得到長(zhǎng)．【詳解】解：連接，過(guò)作于，∵是的中點(diǎn)，，∴垂直平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，，解得，，故答案為：10．15.如圖，已知，，，，點(diǎn)D在所在直線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊三角形，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值______．【答案】【解析】【分析】以為邊作等邊，并作，垂足為點(diǎn)H，連接，由“”可證，得，最小即是最小，此時(shí)，故的最小值是．【詳解】解：以為邊作等邊，并作，垂足為點(diǎn)H，連接，如圖：，，，，∵都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴最小即是最小，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴四邊形是矩形，∴，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．三、解答題（共55分）16.因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）原式提公因式后，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法和公式法因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．17.下面是小彬求解一元一次不等式及自我檢查的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解答過(guò)程自我檢查解：去分母，得．…第一步去括號(hào)，得．…第二步移項(xiàng)，得．…第三步合并同類項(xiàng)，得．…第四步系數(shù)化為1，得．…第五步第一步正確，其依據(jù)是________；第二步符合去括號(hào)法則，也正確；第三步出錯(cuò)了?。?）第一步的依據(jù)是不等式的一條性質(zhì)，請(qǐng)寫出這一性質(zhì)的內(nèi)容：_________________（2）第三步出錯(cuò)的原因是：______________________________；（3）請(qǐng)從第三步開(kāi)始，寫出正確解答過(guò)程．【答案】（1）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變（2）移項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，第一步去分母，依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；（2）第三步是移項(xiàng)，移項(xiàng)時(shí)注意要變號(hào)；（3）根據(jù)第三步移項(xiàng)，第四步把x的系數(shù)化為1，解不等式即可，注意不等號(hào)方向的變化．【小問(wèn)1詳解】解：一步的依據(jù)是不等式性質(zhì)2，不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變．故答案為：不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變．【小問(wèn)2詳解】第三步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是：移項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)．故答案為：移項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)．小問(wèn)3詳解】移項(xiàng)，得：?5x?2x＞?10＋5?6，合并同類項(xiàng)，得?7x＞?11，系數(shù)化為1，得x＜．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，注意不等式兩邊同除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向發(fā)生改變．18.已知：如圖，是的高，且．求證：是等腰三角形．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】先證明再證明可得從而可得結(jié)論.【詳解】解：是的高，是等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握利用等角對(duì)等邊判定等腰三角形是解題的關(guān)鍵.19.如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）請(qǐng)畫出向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的；（2）請(qǐng)畫出繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）作圖見(jiàn)解析，的坐標(biāo)是【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可，進(jìn)而可得的點(diǎn)坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，即為所求．【小問(wèn)2詳解】解：如圖2，即為所求．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—平移變換、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．20.如圖，于E，于F，若．（1）求證：平分；（2）寫出與之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2），理由詳見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了角平分線的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）根據(jù)，得出，可得到，即可；（2）根據(jù)證明，可得，進(jìn)而可得答案．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，，∴，∴與

均為直角三角形，∵在

與中，∵，∴∴，∴平分；【小問(wèn)2詳解】解：，理由如下：∵，平分，∴，∵，∴，

在

與中，∵

，∴，∴，∴．21.抖音直播帶貨是目前非常盛行的銷售方式，小徐為了推銷家鄉(xiāng)的水果“荔枝”和“龍眼”，在網(wǎng)上直播帶貨．小徐和她的團(tuán)隊(duì)，每天在家鄉(xiāng)收購(gòu)兩種水果共600箱，且當(dāng)天全部售出，進(jìn)貨成本、平臺(tái)提成等成本，銷售單價(jià)如表所示：題號(hào)進(jìn)貨成本（元/箱）平臺(tái)提成等成本（元/箱）銷售單價(jià)（元/箱）荔枝36650龍眼28741設(shè)該團(tuán)隊(duì)每天進(jìn)貨“荔枝”x箱，每天獲得的利潤(rùn)為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該團(tuán)隊(duì)每天投入總成本不超過(guò)元，應(yīng)怎樣安排“荔枝”和“龍眼”的進(jìn)貨量，可使該團(tuán)隊(duì)一天所獲得的利潤(rùn)最大，請(qǐng)求出最大利潤(rùn)和此時(shí)兩種水果的進(jìn)貨量．【答案】（1）；（2）“荔枝”每天進(jìn)貨箱，“龍眼”每天進(jìn)貨箱，可使該團(tuán)隊(duì)一天所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)元．【解析】【分析】（1）由題意得，?????，整理求解即可；（2）由題意得，?，解得，，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求利潤(rùn)的最大值，以及兩種水果的進(jìn)貨量即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；【小問(wèn)2詳解】∵該團(tuán)隊(duì)每天投入總成本不超過(guò)元，∴，解得：，∵，，∴隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，則，∴“荔枝”每天進(jìn)貨箱，“龍眼”每天進(jìn)貨箱，可使該團(tuán)隊(duì)一天所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列等式和不等式