2025年中考數(shù)學(xué)專題21 瓜豆原理之直線型（原卷版）

運(yùn)動(dòng)軌跡為直線問(wèn)題1：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．理由：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．問(wèn)題2：如圖，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為動(dòng)點(diǎn)，CP=CQ，且∠PCQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是？解析：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時(shí)，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點(diǎn)軌跡為一條直線.模型總結(jié)條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量．結(jié)論：①主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是同樣的圖形；②主動(dòng)點(diǎn)路徑做在直線與從動(dòng)點(diǎn)路徑所在直線的夾角等于定角③當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)等于主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)；例題精講例題精講【例1】.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（－3，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OP的最小值．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡．【變式1-2】．如圖，等邊△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，點(diǎn)M是BC邊上的高AD所在直線上的點(diǎn)，以BM為邊作等邊△BMN，連接DN，則DN的最小值為．【變式1-3】．如圖，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)P、C、M按逆時(shí)針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【例2】．如圖，邊長(zhǎng)為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是（）A． B．1 C．2 D．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為斜邊向上作等腰Rt△BDE，連接AE，則AE的最小值為（）A．1 B． C．2 D．2【變式2-2】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C． D．1【變式2-3】．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為4，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為．1．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為（）A．2 B．1+322 C．22 2．如圖，已知直線y＝kx+2k分別交x軸和y軸于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC（A，B，C三點(diǎn)逆時(shí)針B排列），D，E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣6，0），（﹣1，0），連接CD，CE，則CD+CE的最小值為（）A．6 B． C．6.5 D．73．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，點(diǎn)D在BC上，且CD＝2，點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PD為直徑作⊙O，點(diǎn)Q為直徑PD上方半圓的中點(diǎn)，連接AQ，則AQ的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．44．如圖，∠AOB＝30°，OD＝4，當(dāng)點(diǎn)C在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，則O，E兩點(diǎn)間距離的最小值為．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為_(kāi)_______6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，BC＝5，CD＝2，點(diǎn)E是邊AC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為．8．如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y＝﹣x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．9．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝120°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)F按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，G為點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接CG，則CG的最小值為．10．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝4，D是直線AB上一點(diǎn)．以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，求AE的最小值．11．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上中點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且DN＝2NC，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)NP+12MP最小時(shí)，直接寫(xiě)出△DPN12．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)．將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接BE．（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖并證明AD＝BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，求CD的長(zhǎng)．13．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊向右作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）在圖①中，畫(huà)出當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）如圖②，若AB＝6，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連接EF，求EF的最小值．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動(dòng)，將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF．（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作FM⊥AC，垂足為M，求證：AM＝AB；（2）當(dāng)AE＝3時(shí)，求CF的長(zhǎng)；（3）連接DF，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究DF的最小值．15．問(wèn)題提出：（1）如圖①，△BCE≌△ACD，請(qǐng)?jiān)趫D中找到一組相似的三角形．問(wèn)題探究：（2）如圖②，點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC的直角邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ED，連接BE，求∠ADE與∠E的關(guān)系．（3）如圖③，點(diǎn)D是等邊三角形ABC的AC上的動(dòng)點(diǎn)．連接DB，將DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DE，連接EA，EC，若AB＝2，直接寫(xiě)出EA+EC的最小值．16．菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O．（1）如圖1，過(guò)菱形ABCD的頂點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)H，若∠ABC＝60°，四邊形AECD的面積為24，求菱形ABCD的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，菱形ABCD中，過(guò)頂點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)E，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，線段AF交OB于點(diǎn)H，若AD＝AF，求證：OH＝BH﹣OC；（3）如圖3，菱形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝9，點(diǎn)P為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BQ，連接AQ，直接寫(xiě)出線段AQ的最小值．17．如圖①，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（