2022-2023學年北京市海淀八年級（下）期中數(shù)學試卷

2022.2023學年北京市海淀外國語實驗學校八年級（下）期中數(shù)

學試卷

一、單選題（每題3分，共24分）

1.（3分）下列根式是最簡二次根式的（）

A.-V3B.在

C.Vo?5D.V8

2.（3分）若△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定△ABC為直角三角形的是

（）

A.a=32,/?=42,c=52B.a：b：c=5：12：13

C.（c+b）（c-b）=JD.NA+NB=NC

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.V9=±3B.7（-5）2=-5C.VZ64=-4D.3V2-V2=3

4.（3分）如圖，直角三角形的三邊上分別有一個正方形，其中兩個正方形的面積分別是25

和169,則字母8所代表的正方形的面積是（）

5.（3分）如圖，已知四邊形A8C￡>,對角線AC和8。相交于。，下面選項不能得出四邊

形A8CO是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,且AB=COB.AB=CD,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB〃C。，且AO=BC

6.（3分）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（）

A.V5-1B.V5+1C.V3+1D.V3-1

7.（3分）如圖所示的圓柱形杯子的內直徑為6c〃?，內部高度為小穎把一根直吸管放

入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，則吸管的長度（整厘米數(shù)）最短是（）

A.9cmR.10cm0.11cmD.12cm

8.（3分）如圖，ZXABC中，AB=8cm,4C=6cm，點E是BC的中點，若4。平分NB4C,

CD±AD,線段。E的長為（）

A.IcmB.2cmC.3cmD.4cm

二、填空題（每題3分，共24分）

9.（3分）若式子丑亂在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是.

10.（3分）已知點P的坐標是（-3,4）,則點P到原點。的距離是.

11.（3分）在平行四邊形中，若一個角為其鄰角的2倍，則這個平行四邊形中兩鄰角的度

數(shù)分別是.

12.（3分）如圖，平行四邊形4EC。中，對角線AC、8。相交于點0,過點O的直線分別

交4ZX8C于點E、兄若平行四邊形ABCO的面積為6,則圖中陰影部分的面積是.

13.(3分)最簡二次根式后彳與爽是同類二次根式，則。的值是.

14.13分)在平面直角坐標系中，已知點4(4,0),B(0,0),C(1,2),則以A,B,C

為頂點的平行四邊形A8C。的第四個頂點。的坐標為.

15.(3分)如圖，在。ABCD中，AB=5,AO=7,AE.。/分別平分NBA。、ZADC,則

破長為

16.(3分)如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=Scm,現(xiàn)將△ABC折

疊，使點5與點A重合，折痕為則CO的長為.

17.(8分)計算：

(1)473-712-718；

(2)(2-V3)2+(3W6)(3-V6)-

18.(6分)已知△ABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

(1)如果〃=7,b=24,求c：

(2)如果a=12,c=13,求兒

19.(4分)圖①、圖②均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形

的邊長為I,點A,點3均在格點上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在

格點上.

(1)在圖①中，以點4，B,C為頂點畫一個等腰三角形.

(2)在圖②中，以點A,B,D,E為頂點畫一個面積為6的平行四邊形.

*B

圖①圖②

20.（6分）已知：'ABC.

求作：直線40,使得AO〃BC.

作法：如圖.

①分別以點A、點。為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、點N；

2

②作直線MN交AC于點E；

③以點E為圓心，8E長為半徑畫弧，交射線BE于點。；

④作直線人力.

所以直線AD就是所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接cn

'：AE=.BE=.

???四邊形ABCD是平行四邊形.（）（填推理的依據(jù)）.

：.AD//BC（）（填推理的依據(jù)）.

21.（5分）如圖，在四邊形ABC。中，ZB=90°,AB=2,BC=?CD=5,AO=4,

求S園邊形ABC。?

BA

C

D

22.（5分）已知，如圖，在四邊形A8CO中，AD//BC,點E,產(chǎn)為對角線AC上兩點，且

AF=CE,DF//BE.求證：四邊形4BCD為平行四邊形.

23.（5分）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成

證明.

己知：如圖，ZXABC中，D、E分別是A8、AC的中點.求證：DE//BC,且￡>E=2BC.

2

方法一方法二

證明：如圖，延長OE至點尸，使EF=DE,連接證明：如圖，過點A作過點

CF.D作直線MN//AC交直線AM于M,

交3C于M

24.（6分）在等邊△ABC中，D,E,尸分別是邊48,BC,CA上的動點，滿足。七=￡：巴

且NDE尸=60°.作點E關于AC的對稱點G,連接CG,DG.

（1）當點。，E,尸在如圖1所示的位置時，請在圖1中補全圖形，并證明四邊形DBCG

是平行四邊形:

（2）當AOV8。，A8=&OE時，求NBOE的度數(shù).

25.(7分)閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點4(xi,0)、B(X2,0)的距

離記作AB=\x\-X2|,如果A(xi>y\)>B(4，y2)是平面上任意兩點，我們可以通過

構造直角三角形來求AB間的距離.如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線AMi、4M

和BM2、BN2,垂足分別是Mi、Ni、M2、Nz直線AM交8M2于點Q,在RlZXABQ中，

AQ=M-X2|,BQ=\y\-y2\,：-AB2=AQ2+BQ2=\XI-%2|2+|yi-(xi-xi)2+(ji-

(1)由此得到平面直角坐標系內任意兩點A(xi,V)、B(X2,)2)間的距離公式為：

AB=.

(2)直接應用平面內兩點間距離公式計算點A(1,?2),B(-2,2)之間的距離

為,利用上面公式解決下列問題：

(3)在平面直角坐標系中的兩點4(-1,3),B(4,1),P為“軸上任一點，求見+PB

的最小值;

(4)應用平面內兩點間的距離公式，求代數(shù)式4x2+(y.2)2+J(x-3)2+(y-l)28J

最小值（直接寫出答案）.

四、第二部分

26.（3分）我國三國時期的杰出數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時，巧妙地運用弦圖證明

了勾股定理.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正

方形.若圖中的直角三角形的兩條直角邊分別是2和4,則中間小E方形的面積占大正方

形面積的.

27.（3分）使用手機支付寶付款時，常常需要用到密碼.嘉淇學完二次根式后，突發(fā)奇想,

決定用“一次根式法”來產(chǎn)生密碼.如,對于一次根式J朝，計算結果為13,中間加

一個大寫字母X,就得到一個六位密碼“169X13”.按照這種產(chǎn)生密碼的方法，則利用二

次根式正無產(chǎn)生的六位密碼是.

28.（6分）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應的任務.

斐波那契（約1170?1250）是意大利數(shù)學家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱

為斐波那契數(shù)列（按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）.后來人們在研究它的過程中，

發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結果.在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）

的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質，在實際生活中也

有廣泛的應用.

斐波那契數(shù)列中的第〃個數(shù)可以用二［（上走）”-（上區(qū)），表示（其中，”21）,

2

這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例.

任務：請根據(jù)以上材料，通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)和第2個數(shù).

29.（8分）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形

拼成正方形,通過證明可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為4、

b,斜邊長為c.圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2,也可表示為C2+4XL。，即（a+b）

2=C2+4X工b,所以c^+tr=c2.

2

【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直

角三角形拼成一個直角梯形8COE,其中△BCAg/XAOE,NC=/O=90°,根據(jù)拼圖

證明勾股定理.

【定理應用】在中，NC=90°,NA、NB、NC所對的邊長分別為a、b、

求證：a2c>2+a2/?2=c4-b4.

2022?2023學年北京市海淀外國語實驗學校八年級（下）期中數(shù)

學試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（每題3分，共24分）

1.（3分）下列根式是最簡二次根式的（）

A.-V3B.GC.Vo75D.V8

【分析】當二次根式滿足：①被開方數(shù)不含開的盡方的數(shù)或式；②根號內面沒有分母.即

為最簡二次根式，由此即可求解.

【解答】解：A選項：是最簡二次根式，故該選項符合題意；

8選項：4考■，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

C選項：疝虧=4=哼，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

。選項：返二啦,不是最簡二次根式，故該選項不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義是關鍵.

2.（3分）若△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定△ABC為直角三角形的是

（）

A.4=32,Z?=42,c=52B.a：b：c=5：12：13

C.（c+b）（c-b）=&D.NA+NB=NC

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷選項3、C、。是否符合題意，根據(jù)三角形內角

和，可以判斷選項5是否符合題意，本題得以解決.

【解答】解：?=32,b=42,c=52,則。2+扶工。2,故選項A符合題意；

2

當a：b：c=5：12：13時，設a=5x,b=12x,c=13x,則°2+廬=（5X）2+（[2x）=

J,故選項6不符合題意；

由（c+b）（c-b）整理得：。2+屬=/,故選項c不符合題意；

由NA+N8=NC,可知NC=90°,故選項。不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理，會用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀是解答

本題的關鍵.

3.13分）下列計算正確的是（）

A.V9=±3B.1（_5）2=_5c.D.3V2-V2=3

【分析】根據(jù)算術平方根、立方根的定義和性質以及二次根式的加減法則逐項判斷即得

答案.

【解答】解：卉±3,故本選項計算錯誤，不符合題意；

B、［（.5）2=5卉-5,故本選項計算錯誤，不符合題意；

c>^y_04=-4,故本選項計算正確，符合題意；

。、啦手&故本選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了算術平方根、立方根以及二次根式的加減等知識，屬于基礎題目，

熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵.

4.（3分）如圖，直角三角形的三邊上分別有一個正方形，其中兩個正方形的面積分別是25

和169,則字母8所代表的正方形的面積是（）

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，得字母8所代表的E方形的面積等于其它

兩個正方形的面積差.

【解答】解：由勾股定理得：字母8所代表的正方形的面積=169-25=144.

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理、正方形的性質；熟記：以直角三角形的兩條直角邊為邊

長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.

5.（3分）如圖，已知四邊形4BC。，對角線AC和BO相交于0,下面選項不能得出四邊

形48C。是平行四邊形的是（）

A

BC

A.AB//CD,KAB=CDB.AB=CD,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB//CD,且4O=BC

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定逐個進行判斷即可.

【解答】解：A、能推出四邊形A8CO是平行四邊形，故本選項錯誤；

B、能推出四邊形48co是平行四邊形，故本選項錯誤；

。、能推出四邊形A8CO是平行四邊形，故本選項錯誤；

D、不能推出四邊形ABC。是平行四邊形，故本選項正確；

故選：D.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定的應用，能熟記平行四邊形的判定定理是解此題

的關鍵，難度適中.

6.（3分）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是（）

A.V5-IB.V5+1C.V3+ID.V3-1

【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)向右就用加法求解.

【解答】解：V1+22=V5

所以點A表示的數(shù)為：-1+V5，

故選：A.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握勾股定理是解題的關鍵.

7.（3分）如圖所示的圓柱形杯子的內直徑為6cm,內部高度為9c〃?，小穎把一根直吸管放

入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，則吸管的長度（整厘米數(shù)）最短是（)

A.9cmB.lOcwC.WcmD.\2cm

【分析】運用勾股定理解題即可.

【解答】解：吸管長度為，62+92;/田〈11，

所以吸管的最短整數(shù)是Ilan,

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理，掌握勾股定理的內容是解題的關鍵.

8.（3分）如圖.八人/?。中,AR=^cm,點8是AC的中點，若A。平分/凡4c

CDA.AD,線段DE的長為（）

A.\cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】延長CO交AB于凡利用“角邊角”證明△?17）廣和△ADC全等，根據(jù)全等三

角形對應邊相等可得AF=AC,CD=FD,再求出8尸并判斷出DE是△BC尸的中位線，

然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE」BF.

2

【解答】解：如圖，延長C。交AB于F,

：,ZCAD=ZFAD,

VCD±AD,

AZADC=ZADF=90Q,

在△AO尸和△ADC中，

2CAD=NFAD

<AD=AD，

ZADC=ZADF=90"

/.△ADF^AADC（ASA）,

：,AF=AC,CD=FD,

：.BF=AB-AE=8-6=2刖，

又???點E為BC的中點，

???OE是△BC尸的中位線，

：?DE-yBF-yX2=lcn-

乙乙

故選：4.

【點評】本題考查了二角形的中位線平行于第二邊并口等干第二邊的一半.全等二角形

的判定與性質，熟記性質并作出輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵.

二、填空題（每題3分，共24分）

9.（3分）若式子G記在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是工2?6.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到不等式，求解不等式即可.

【解答】解：由式子G記在實數(shù)范圍內有意義可得戶620,

解得：-6,

故答案為：-6.

【點評】本題考查二次根式的性質，熟練掌握二次根式有意義被開方數(shù)非負是解題關鍵.

10.（3分）已知點P的坐標是（-3,4）,則點P到原點O的距離是5.

【分析】直接根據(jù)勾股定理進行解答即可.

【解答】解：???點P的坐標為（-3,4）,

點p到原點的距離=J^7^=5.

故答案為：5.

【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方

之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.

11.（3分）在平行四邊形中，若一個角為其鄰角的2倍，則這個平行四邊形中兩鄰角的度

數(shù)分別是一120。，60°.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質，在平行四邊形中，若一個角為其鄰角的2倍，設一個

角x,由四邊形的內角和定理得到方程2x+4x=360°,解得x=6Q°,則它的鄰角是2%

=120°

【解答】解：設一個角羽則另一個角為2x.

???平行四邊形

A2（x+2x）=360°,即x=60°,則2x=120°

???這個平行四邊形中兩鄰角的度數(shù)分別是120°,60°.

故答案為120°,60°.

【點評】本題考查平行四邊形的性質以及四邊形的內角和定理.運用平行四邊形對邊平

行的性質，得到鄰角互補的結論，這是運用定義求四邊形內角度數(shù)的常用方法.

12.（3分）如圖，平行四邊形A3CO中，對角線AC、8。相交于點。，過點。的直線分別

交AD、BC于點、E、F,若平行四邊形ABC。的面積為6,則圖中陰影部分的面積是3.

【分析】由平行四邊形的性質可知陰影部分面積為平行四邊形面積的一半，進而可求出

結果.

【解答】解：???平行四邊形A6c。中，對角線AC、相交于點。，

:,SMFO=S4CEO,

，陰影部分面積等于△BCD的面積，即為048co面積的一半，

；?陰影部分面積為/X6=3，

故答案為：3.

【點評】本題考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形對邊平行且相等的性質是解

題關鍵.

13.（3分）最簡二次根式后彳與血是同類二次根式，則a的值是2.

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出3a-4=2,求出即可.

【解答】解：???最簡二次根式癡4與血是同類二次根式，

???3。-4=2,

解得：a=2,

故答案為：2.

【點評】木題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能根據(jù)同類二次根式的定義得出3。

?4=2是解此題的關鍵，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，

那么這幾個二次根式叫同類二次根式.

14.(3分)在平面直角坐標系中，已知點A(4,0),B(0,0),C(1,2),則以A,B,C

為頂點的平行四邊形ABC。的第四個頂點力的坐標為⑸2).

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質將點。向右平移4個單位得到。(5,

2),即可求解.

【解答】解：???點A(4,0),B(0,0),C(1,2),48co是平行四邊形，

，CO=BA=4,AB//CD,

將點。向右平移4個單位得到O(5,2),

如圖所示，

故答案為：(5,2).

【點評】本題考查了坐標與圖形性質、平行四邊形的性質，數(shù)形結合是解答本題的關鍵.

15.(3分)如圖，在口A8CD中，A4=5,A0=7,AE."尸分別平分NH4。、乙ADC,則

所長為3.

【分析】由平行四邊形的性質可得人O〃BC,結合角平分線的定義可求得CD

=CF,再由線段的和差可求得ER

【解答】解:

???四邊形ABCD為平行四邊形.

J.AD//BC,AB=CD,AD=BC,

...ZDAE=ZAEB,

T4E平分NBA。，

:./BAE=/DAE,

：.ZBAE=ZAEB,

[BE=BA=5,同理。產(chǎn)=。。=5,

：,EF=BE+CF-BC=5+5-7=3,

故答案為：3.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質，利用條件求得A8=8E=C/是解題的關鍵.

16.(3分)如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6c/n、BC=8cm,現(xiàn)將△ABC折

疊，使點B與點A重合，折痕為OE,則CD的長為1cm.

【分析】首先根據(jù)折疊的性質可得設C0=xa“則A8=BO=(8-x)cm,

根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：由折疊的性質得：AD=BD,

設CD=xcm,則AO=8D=(8-x)cm,

由勾股定理得：62+^=(8-x)2,

解得：X=L.

4

故答案為：1cm.

4

【點評】此題主要考查了翻折變換的性質、勾股定理；熟練掌握翻折變換的性質，由勾

股定理得出方程是解決問題的關鍵.

三、解答題(共52分)

17.(8分)計算：

(1)4V3-V12V18；

(2)(2-V3)2+(3W6)(3-V6)-

【分析】(1)首先根據(jù)二次根式的性質化簡，再進行加減運算，即可求解；

(2)首先根據(jù)完全平方及平方差公式進行運算，再進行加減運算，即可求解.

［解答］解：(1)473W12-V18

=4V3-273-3V2

=2>/3-3V2；

(2)(2-V3)2+(3W6)(3-V6)

=4-473+3+9-6

=10-4V3.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關

鍵.

18.(6分)已知△ABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

(1)如果〃=7,〃=24,求c：

(2)如果a=12,c=13,求兒

【分析】(1)利用勾股定理計下。=d@2+b2；

(2)利用勾股定理計算力="c2-a2?

【解答】解：(1)在RtZXABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：

c=7a2+b2

=V72+242

=25；

(2)在RtZXABC中，

由勾股定理得：

Z>=7c2-a2

=7132-122

=5.

【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一

定等于斜邊長的平方.即：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是小b,斜邊長為。，

那么。2+必=淋.注意勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

19.（4分）圖①、圖②均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形

的邊長為1，點4,點B均在格點上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在

格點上.

（1）在圖①中，以點A,B,C為頂點畫一個等腰三角形.

（2）在圖②中，以點A,B,D,E為頂點畫一個面積為6的平行四邊形.

IIIII

「丁一廠丁

圖②

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）.

（2）作底為2,高為3的平行四邊形即可.

【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求（答案不唯一）.

（2）如圖②中，四邊形七即為所求.

圖②

【點評】本題考查作圖-應用與設計作圖，等腰三角形的判定和性質，平行四邊形的判

定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題.

20.（6分）已知：AABC.

求作：直線A￡>,使得AO〃BC.

作法：如圖.

①分別以點A、點C為圓心，大于工/C長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、點N；

2

②作直線MN交AC于點E；

③以點E為圓心，BE長為半徑畫弧，交射線8E于點O；

④作直線AD.

所以直線AD就是所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接8.

*：AE=EC.BE=ED.

???四邊形48co是平行四邊形.（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理

的依據(jù)）.

C.AD//BC（平行四邊形的對邊平行）（填推理的依據(jù)）.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可;

（2）證明四邊形48co是平行四邊形，可得結論.

【解答】（1）解：如圖，直線A。即為所求；

?：AE=EC.BE=ED.

???四邊形4BC。是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

：.AD//BC（平行四邊形的對邊平行），

故答案為：EC,ED,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊平行.

【點評】本題考查作圖■基本作圖，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟

練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型.

21.（5分）如圖，在四邊形ABC。中，NB=90°,AB=2,BC=^5,8=5,40=4,

求S四邊形

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長，再利用勾股定理的逆定理證明△ACO是直角三角

形，然后利用四邊形A8CZ）的面積=Z\A8C的面積+ZL4CZ）的面積，進行計算即可解答.

【解答】解：如圖：

A4C=VAB2+BC2=722+(V5)2=3?

VCD=5,AQ=4,

：.AC2+AD2=32+42=25,C￡>2=52=25,

:.AC2+AD1=CD2,

???△CA。是直角三角形，

：.ZCAD=90°,

:.四邊形ABCD的面積=Z\4BC的面積+A4CO的面積

=2A8?8C+4AC?4。

22

=JLX2XV5+—X3X4

22

=^5+6>

:.S四邊形A8C7）為J^+6.

【點評】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題

的關鍵.

22.(5分)已知，如圖，在四邊形A8CQ中，AD//BC,&E,尸為對角線4c上兩點，且

AF=CE,DF//BE.求證：四力形ABC。為平行四邊形.

AB

【分析】首先證明△CEB絲尸?？傻肁O=BC,再由條件AO〃BC可利用一組對邊平

行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABC。為平行四邊形.

【解答】證明：???4D〃BC,

：.ZDAC=ZBCA,

,CDF//BE,

:?NDFA=NBEC,

在尸￡＞和△CEB中

'/DAF=NBCE

?AF=CE，

DFA=ZBEC

:、△AFD9XCEB(ASA),

：.AD=CB,

,:ADUBC,

???四邊形ABC。為平行四邊形.

DC

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形

是平行四邊形.

23.（5分）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成

證明.

己知：如圖，△48C中，D、E分別是48、AC的中點.求證：DE//BC,且

2

方法一方法二

證明：如圖，延長OE至點凡使連接證明：如圖，過點A作A例〃3C,過點

CF.D作直線MN//AC交直線AM于M,

交3c于N.

【分析】選擇方法一：根據(jù)題意，先證明△AOEg/XCFE,然后證明四邊形OBC/是平

行四邊形，即可得出結論.

【解答】解：選擇方法一，證明如下:

根據(jù)題意,如圖:

延長OE到尸點，使OE=ER

?IE是AC的中點，

：.AE=EC.

在aADE與△CFE中，

rAE=CE

<NAED=NCEF，

DE=EF

AADE^ACFE(SAS).

：.AD=CF,NADE=NCFE.

：.AB//CF,

,?，D是AB的中點，

：.BD=AD,

:.BD//CF,

???四邊形。8CT是平行四邊形，

:.DF//BC,DF=BC,

:,DE〃BC,DE=^BC.

2

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，掌握以上

知識是解題的關鍵.

24.(6分)在等邊△ABC中，。，E,尸分別是邊AB,BC,CA上的動點，滿足OE=ER

且NOEF=60°.作點E關于AC的對稱點G,連接CG,DG.

(1)當點￡尸在如圖1所示的位置時，請在圖1中補全圖形，并證明四邊形O8CG

是平行四邊形；

(2)當AOV8O,AB=&DE時,求NBOE的度數(shù).

圖I

【分析】(1)根據(jù)題意即可補全圖形；然后證明可得CE=BD,進而可

以解決問題；

(2)根據(jù)題意證明△￡)￡1尸是等邊三角形，可得DE=D尸，由點E,點G關于4C對稱,

可得E/=G尸，/FEC=NFGC,所以。尸=G尸，進而可以解決問題.

【解答】解：(1)如圖1,即為補全的圖形，

BEC

證明：在等邊△A8C中，NA=N4=N4C8=60°,

???點E,點G關于AC對稱，

???NACG=NACB=60°,CE=CG,

???NA=NACG,

J.AB//CG,

即BD//CG,

VZDEF=60°,ZBED+ZCEF+ZDEF=180",

：.ZBED+ZCEF=\20<),

在△BOE中，

/BDE+NBED=180°-Z5=120°,

JNBDE=NC￡尸，

在△BDE與/中，

rZDBE=ZECF

<NBDE=NCEF，

DE=EF

:?△BDE9ACEF(AAS),

:?CE=BD,

：.CG=CE=BD,

,:BD〃CG,

???四邊形DBCG是平行四邊形；

(2)???四邊形O3CG是平行四邊形，

：.BC=DG,NOGC=NB=60°,

*：BC=AB,AB=^J'2DEf

：,DG=42DE,

,:DE=EF,NOE尸=60°,

尸是等邊三角形，

:?DE=DF,

?:點E,點G關于4C對稱，

:.EF=GF,4FEC=ZFGC,

:?DF=GF,

：.DG=^[2DF=^2GF,

在△Z)FG中，DG2=DF2+GF2.

/.ZDFG=90°,

?:DF=GF,

；?NFDG=NFGD=45°,

???NCGF=ZCGD-NFGD=150,

???NBDE=NCEF=NCGF=15°.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，解決本題的

關鍵是得到△BDEg△CEF.

25.(7分)閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點A(xi,0)、BCn,0)的距

離記作AB=\XI-X2\,如果A(xi,yi).B(%2,*)是平面上任意兩點，我們可以通過

構造直角三角形來求48間的距離.如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AM

和6M2、BN2,垂足分別是MI、M、M2、N2,直線AM交6何2于點。，在RtAABQ中，

z1122

AQ=\x\-X2\t8Q=lyi-”|,：.AB=AQ+BQ=\x\-x2^+\y\-)2|=(xi-X2)+(ji-

”)2.

-5-

備用圖

（1）由此得到平面直角坐標系內任意兩點A（XI,#）、B（X2,）2）間的距離公式為：

AB=—4（4-乂2）2+6]-y2盧一

（2）直接應用平面內兩點間距離公式計算點A（1,-2）,8（?2,2）之間的距離為

5_.利用上面公式解決下列問題：

（3）在平面直角坐標系中的兩點A（?1,3）,8（4,1）,P為x軸上任一點，求秒1+P8

的最小值；

（4）應用平面內兩點間的距離公式，求代數(shù)式式2+（廠2）2+，（乂-3）2+（丫-1）2的

最小值（直接寫出答案）.

【分析】（1）（2）直接利用兩點之間距離公式直接求出即可；

（3）利用軸對稱求最短路線方法得出尸點位置，進而求出必+PB的最小值；

（4）根據(jù)原式表示的幾何意義是點（x,y）到點（-2,-4）和（3,1）的距離之和，

當點（x,y）在以（-2,-4）和（3,1）為端點的線段上時其距離之和最小，進而求

出即可.

22

【解答】解：（1）閱讀材料，^=J（X1-x2）+（y1-y2）-

2+2,

故答案為：^（x1-x2）（y1-y2）

（2）???平面直角坐標系內任意兩點A（xi,yi）,B（月，”）間的距離公式為：

《2+仇_%）2.

22=5

，A（1,-2）,B（-2,2）之間的距離為：（-2）]+（-2-2）J

故答案為：5；

（3）作點8關于x軸對稱的點8,，連接A8',直線A8'于x軸的交點即為所求的點

P,RHP8的最小值就是線段4"的長度，然后根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結論.

?.?8（4,1）,

二夕（4,-1）,

VA（1,3）,

：.PA+PB=PA+PB,=ABf=7（1-4）2+（3-1）2=V13>

即為PA+PB的最小值為W百.

（4）原式=Yx2+（y-2）2+J（x-3）2+（y-l）2,

故原式表示點（-y）到（0,2）和（3,1）的距離之和.由兩點之間線段最短，點（x,

y）在以（0,2）和（3,1）為端點的線段上時，原式值最小.利用公式，原式記.

yM

5-

4-

-3

-4

-5

【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點之間距離公式，正確轉化代數(shù)

式為兩點之間距離問題是解題關鍵.

四、第二部分

26.（3分）我國三國時期的杰出數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時，巧妙地運用弦圖證明

了勾股定理.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正

方形.若圖中的直角三角形的兩條直角邊分別是2和4,則中間小E方形的面積占大正方

形面積的_工_

5

【分析】首先利用勾股定理求得大正方形的面積，然后利用分割法求得中間小正方形的

面積，則易得答案.

【解答】解：如圖，4=2,b=4.

由勾股定理知，?=?2+/>2=22+42=20.

所以大正方形的面積為20.

所以中間小正方形的面積為：20-4X-1-X2X4=4-

所以一￡=工

205

所以中間小正方形的面積占大正方形面積的工.

5

故答案為：A.

5

【點評】本題主要考查了勾股定理的證明，解題的關鍵是掌握正方形的面積公式，直角

三角形的面積公式.

27.（3分）使用手機支付寶付款時，常常需要用到密碼.嘉淇學完二次根式后，突發(fā)奇想,

決定用“二次根式法”來產(chǎn)生密碼.如，對于二次根式J演，計算結果為13,中間加

一個大寫字母X,就得到一個六位密碼“