微專題03 妙用奔馳定理解決三角形面積比問題（四大題型）（原卷版）

微專題03妙用奔馳定理解決三角形面積比問題【題型歸納目錄】題型一：直接使用奔馳定理題型二：利用奔馳定理解決四心問題題型三：利用奔馳定理解決三角形面積比問題（1個(gè)奔馳中心點(diǎn)）題型四：利用奔馳定理解決三角形面積比問題（多個(gè)奔馳中心點(diǎn)）【方法技巧與總結(jié)】奔馳定理---解決面積比例問題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為.注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1，且分的三個(gè)三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故.【典型例題】題型一：直接使用奔馳定理【例1】（2024·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·重慶·高一校聯(lián)考期末）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【變式1-2】（多選題）（2024·高一單元測(cè)試）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立,此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理.由此判斷以下命題中，正確的有（

）A．若是的重心，則有B．若，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，且，則題型二：利用奔馳定理解決四心問題【例2】（2024·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┰诿嫔嫌屑皟?nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的心.【變式2-1】（2024·福建廈門·高一廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【變式2-2】（2024·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則必有（

）A．B．C．D．題型三：利用奔馳定理解決三角形面積比問題（1個(gè)奔馳中心點(diǎn)）【例3】（2024·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2024·河南鄭州·高一鄭州外國語中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【變式3-2】（2024·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考期末）已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B． C． D．題型四：利用奔馳定理解決三角形面積比問題（多個(gè)奔馳中心點(diǎn)）【例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)，，，，則等于（

）A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【變式4-1】（2024·新疆·高二階段練習(xí)）如圖，設(shè)P，Q為?ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則?ABP的面積與?ABQ的面積之比為（）A． B． C． D．【變式4-2】（2024·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，、為內(nèi)的兩點(diǎn)，且，＝，則的面積與的面積之比為A． B． C． D．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·湖北·高一校聯(lián)考期末）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（

）A． B． C． D．2．（2024·江西宜春·高一統(tǒng)考期末）已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積之比為3，則（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽宿州·高一階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B． C． D．4．（2024·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谀c(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．5．（2024·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，??均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足，若??分別表示??的面積，則為（

）A． B． C． D．6．（2024·湖南岳陽·岳陽一中?？家荒＃┰O(shè)點(diǎn)在的外部，且，則A． B． C． D．7．（2024·四川眉山·高一?？计谀┮阎c(diǎn)O是內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足，的面積為，的面積為，則（

）A． B． C． D．8．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且有，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，設(shè)與的面積分別為，則（

）A． B． C． D．9．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)、為內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．10．（2024·福建龍巖·高一階段練習(xí)）設(shè)，為三角形內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則（）A． B． C． D．11．（2024·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，過作直線分別交、(不與端點(diǎn)重合)于、，若，，若與的面積之比為，則（

）A． B． C． D．12．（2024·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)階段練習(xí)）設(shè)為等邊的重心，過作直線分別交（不與端點(diǎn)重合）于，若，，若與的面積之比為，則（

）A． B． C． D．13．（2024·江西南昌·高三南昌二中階段練習(xí)）已知點(diǎn)是的中位線上任意一點(diǎn)，且，實(shí)數(shù)滿足，設(shè)、、、的面積分別為、、、，記,,,則取最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．二、多選題14．（2024·山東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則15．（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谀氨捡Y定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則16．（2024·安徽·高一安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理．由此判斷以下命題中正確的有（

）A．若是等邊三角形，為內(nèi)任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離分別是，則有B．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的內(nèi)心C．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則D．若的垂心在內(nèi)，是的三條高，則17．（2024·廣東佛山·高一?？计谀氨捡Y定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足.則（

）A．O為的外心 B．C． D．18．（2024·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足.則（

）A．為的外心B．C．D．三、填空題19．（2024·山東棗莊·高三滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P是△所在平面上一點(diǎn)，若，則△與△的面積之比是.20．（2024·江蘇無錫·高三無錫市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為中線AD的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線與AB,AC分別交于點(diǎn)E,F,若與的面積之比為,則實(shí)數(shù)的值為.21．（2024·四川成都·校聯(lián)考一模）已知為△的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn).若,則當(dāng)與的面積之比為時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.22．（2024·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等邊的邊長為1，．則的面積為23．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)點(diǎn)O在的內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是24．（2024·四川成都·高一成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）已知