27.3 位似 提升訓(xùn)練（解析版）

27.3位似提升訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心，將擴(kuò)大到原來的2倍，得到．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)以原點(diǎn)O為位似中心，將擴(kuò)大到原來的2倍，即可得出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)乘以，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】根據(jù)以原點(diǎn)O為位似中心的圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)得出，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)乘以，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查利用位似求坐標(biāo)．掌握位似比與相似比的關(guān)系以及位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與位似比的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心，把縮小為原來的，得到，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】以原點(diǎn)為位似中心，把縮小為原來的，即位似比是，根據(jù)位似的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，位似比是，且位似比是的三角形有兩個，，∴①乘以得，；②乘以得，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查位似的性質(zhì)，理解和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，.若與關(guān)于點(diǎn)O位似，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由與關(guān)于點(diǎn)O位似，且，得到與的相似比為1：2，由點(diǎn)E的坐標(biāo)為，即可得到答案．【詳解】解：∵與關(guān)于點(diǎn)O位似，且，∴與的相似比為1：2，∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了位似，根據(jù)位似得到與的相似比為1：2，是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊與等邊是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A、B、D在x軸上，若等邊的邊長為12，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________．【答案】【分析】作CF⊥AB于F，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到BC∥DE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OA、AB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：作CF⊥AB于F，∵等邊△ABC與等邊△BDE是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，∴BC∥DE，∴△OBC∽△ODE，∴，∵△ABC與△BDE的相似比為，等邊△BDE邊長為12，∴解得，BC=4，OB=6，∴OA=2，AB=BC=4，∵CA=CB，CF⊥AB，∴AF=2，由勾股定理得，∴OF=OA+AF=2+2=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、掌握位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形與矩形位似，矩形的邊在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，矩形的兩邊都在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則矩形與的位似中心的坐標(biāo)是___________．【答案】或【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)P為位似中心，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，然后分兩種情況進(jìn)行分析，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：連接交y軸于點(diǎn)P，∵B和F是對應(yīng)點(diǎn)，∴點(diǎn)P為位似中心，由題意得，，，，∵，∴∽，∴，即，解得：，∴，∴位似中心的坐標(biāo)是；連接，，并延長，交點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖所示：則點(diǎn)P為位似中心，由題意得：，，∵，∴∽，∴，即，∴，∴，∵點(diǎn)C為：，點(diǎn)E為：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)，，在x軸上，延長交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；延長，交射線與點(diǎn)，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則正方形的面積為_______．【答案】【分析】已知正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，可先證明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1B1C1A2的邊長1=20，正方形A2B2C2A3的邊長為21=2；同理可證明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的邊長為4=22......由此可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長為2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n=2021，將n的值代入2n－1即可求出該正方形的邊長，根據(jù)正方形面積公式，即可求出該正方形的面積．【詳解】解：∵正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，∴，∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴，∴△OA1B1∽△OA2B2，∴，∵，∴，∴，∴正方形A1B1C1A2的邊長1=20，∵△OA1B1∽△OA2B2，∴，∴，∴正方形A2B2C2A3的邊長為21=2；同理可證△OA2B2∽△OA3B3，∴，∵四邊形A2B2C2A3是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形A3B3C3A4的邊長為4=22，綜上，可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長為2n－1．∴正方形A2021B2021C2021A2022的邊長為：，∴正方形A2021B2021C2021A2022的面積為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和面積以及圖形類找規(guī)律，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB=a，BC=b，點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE，PF分別交BC，DC于點(diǎn)M，N，當(dāng)PM⊥BC，PN⊥CD時，

=（用含a，b的代數(shù)式表示）．（2）拓展探究在（1）中，固定點(diǎn)P，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，如圖2，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）問題解決如圖3，四邊形ABCD為正方形，AB=BC=a，點(diǎn)P在對角線AC上，M，N分別在BC，CD上，PM⊥PN，當(dāng)AP=nPC時，（n是正實(shí)數(shù)），直接寫出四邊形PMCN的面積是（用含n，a的代數(shù)式表示）【答案】(1);(2)見解析;(3)【詳解】分析：（1）先判斷出△PMC∽△ABC，得出，再判斷出四邊形CNPM是矩形，即可得出結(jié)論；（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計算即可；（3）先判定△PMC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解，再計算其面積；詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四邊形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴，故答案為；（2）如圖3，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴由PG∥AB，PH∥AD可得，,∵AB=a，BC=b∴，即,∴，故答案為；（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC∴△PMC∽△ABC∴當(dāng)AP=nPC時（n是正實(shí)數(shù)），∴PM=