湖南省兩校聯(lián)考高三第五次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

湖南省兩校聯(lián)考高三第五次模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（）．A．1 B． C．2 D．32．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．， B．存在點(diǎn)，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值3．黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．4．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．5．已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．6．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．7．用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形8．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件9．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎(jiǎng)，現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張，則至少有一張有獎(jiǎng)的概率為()A． B． C． D．10．若復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，，則A． B．C． D．12．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則____.14．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人．15．已知數(shù)列與均為等差數(shù)列（），且，則______．16．經(jīng)過(guò)橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn).設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.則的值是________________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國(guó)有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷，且利潤(rùn)分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級(jí)不能外銷，利潤(rùn)記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元，求X的分布列與期望.18．（12分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.19．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）已知函數(shù)u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且滿足1e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）求x1?x2的最大值．21．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線x＝1于M，N兩點(diǎn).（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q，點(diǎn)G為PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線OG斜率的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為.（1）通過(guò)計(jì)算，，，猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的離心率為2，則，，漸近線方程為，求出交點(diǎn)，，，則；選C考點(diǎn)：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；2、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A中，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，故B錯(cuò)誤；在C中，由平面幾何得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.3、D【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．4、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，又的實(shí)部與虛部相等，，解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.5、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù)．【詳解】畫出函數(shù)令有兩解，則分別有3個(gè)，2個(gè)解，故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用，分類思想的運(yùn)用，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．6、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7、C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．8、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．9、C【解析】

先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出兩張都沒(méi)獲獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒(méi)有獎(jiǎng)的概率，由對(duì)立事件的概率關(guān)系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張，共有種情況，2張均沒(méi)有獎(jiǎng)的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對(duì)立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由可得，所以，故選B．12、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.14、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、20【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因?yàn)?所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng);考查運(yùn)算求解能力;等差中項(xiàng)的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)，則、，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得出，利用斜率公式得出，進(jìn)而可得出，可得出，由此可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則、，設(shè)點(diǎn)，則，兩式相減得，即，即，由斜率公式得，，，故，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）①2②期望值為X900600300100P【解析】

（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則,.由得，所以當(dāng)時(shí)，，即，由得，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，所以X的分布列為X900600300100P則期望為.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式，即可求得，進(jìn)而求得的值；（2）根據(jù)正弦定理將邊化為角，結(jié)合（1）中的值，即可將表達(dá)式化為的三角函數(shù)式；結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求得和，進(jìn)而由正弦定理確定，代入整式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得，所以.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋杂烧叶ɡ泶牖?jiǎn)可得，由（1），代入可得，展開(kāi)化簡(jiǎn)可得，根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?，所以，所以，所以為等腰三角形，且，所?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦和角公式及輔助角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、見(jiàn)解析【解析】

（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，所以．?）若B為直角，則，，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時(shí)平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角．20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）【解析】

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)h（x），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出（2）函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消參數(shù)m化簡(jiǎn)整理可得ln（x1x2）＝ln?，設(shè)t，構(gòu)造函數(shù)g（t）＝（）lnt，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值．【詳解】（1）令m＝2，函數(shù)h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)不等正根，∴l(xiāng)nx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，兩式相減可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），兩式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴∴l(xiāng)n（x1x2）＝ln?，設(shè)t，∵1e，∴1＜t≤e，設(shè)g（t）＝（）lnt，∴g′（t），令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，∴p（t）在（1，e]單調(diào)遞增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，∴φ（t）在（1，e]單調(diào)遞增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，∴g（t）在（1，e]單調(diào)遞增，∴g（t）max＝g（e），∴l(xiāng)n（x1x2），∴x1x2故x1?x2的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值，考查了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題21、（1）.（2）【解析】

（1）設(shè)A的坐標(biāo)為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線x＝1的距離.由半個(gè)弦長(zhǎng)，圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與