四川省成都經濟技術開發(fā)區(qū)實驗中學校2025屆高一數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

四川省成都經濟技術開發(fā)區(qū)實驗中學校2025屆高一數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在各項均為正數的等比數列中，公比.若，，，數列的前n項和為，則當取最大值時，n的值為（）A．8 B．9 C．8或9 D．172．設為等比數列，給出四個數列：①，②，③，④.其中一定為等比數列的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①②3．已知{an}是等差數列，且a2+a5+a8+a11=48，則a6+a7=()A．12 B．16 C．20 D．244．在中，內角所對的邊分別為，且，，，則()A． B． C． D．5．在中，三個內角成等差數列是的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件6．已知等差數列an的前n項和為Sn，若S1=1，A．32 B．54 C．7．若變量，滿足條件，則的最大值是（）A．-4 B．-2 C．0 D．28．某社區(qū)義工隊有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號為1至24號，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6人組成一個工作小組，則這個小組年齡不超過55歲的人數為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．49．設是等比數列，則“”是“數列是遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知在中，兩直角邊，，是內一點，且，設，則（）A． B． C．3 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的內角的對邊分別為，若，，，則的面積為__________.12．已知一扇形的半徑為，弧長為，則該扇形的圓心角大小為______.13．若三角形ABC的三個角A，B，C成等差數列，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，三角形ABC的面積，則b的最小值是________．14．已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為__________．15．定義運算，如果，并且不等式對任意實數x恒成立，則實數m的范圍是______.16．有6根細木棒，其中較長的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線所成的角的余弦值為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列，，，且.(1)設，證明數列是等比數列，并求數列的通項；(2)若，并且數列的前項和為，不等式對任意正整數恒成立，求正整數的最小值.(注:當時，則)18．不等式的解集為______.19．如圖，三棱柱的側面是邊長為的菱形，，且.(1)求證:；(2)若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.20．直線經過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.21．如圖，三棱錐中，，、、、分別是、、、的中點.（1）證明：平面；（2）證明：四邊形是菱形

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】∵為等比數列，公比為，且∴∴，則∴∴∴，∴數列是以4為首項，公差為的等差數列∴數列的前項和為令當時，∴當或9時，取最大值.故選C點睛：（1）在解決等差數列、等比數列的運算問題時，有兩個處理思路：一是利用基本量將多元問題簡化為一元問題；二是利用等差數列、等比數列的性質，性質是兩種數列基本規(guī)律的深刻體現，是解決等差數列、等比數列問題的快捷方便的工具；（2）求等差數列的前項和最值的兩種方法：①函數法：利用等差數列前項和的函數表達式，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解；②鄰項變號法：當時，滿足的項數使得取得最大值為；當時，滿足的項數使得取得最小值為.2、D【解析】

設，再利用等比數列的定義和性質逐一分析判斷每一個選項得解.【詳解】設，①,,所以數列是等比數列；②，，所以數列是等比數列；③，不是一個常數，所以數列不是等比數列；④，不是一個常數，所以數列不是等比數列.故選D【點睛】本題主要考查等比數列的判定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】由等差數列的性質可得，則，故選D.4、C【解析】

直接利用余弦定理得到答案.【詳解】故答案選C【點睛】本題考查了余弦定理，意在考查學生計算能力.5、B【解析】

根據充分條件和必要條件的定義結合等差數列的性質進行求解即可．【詳解】在△ABC中，三個內角成等差數列，可能是A，C，B成等差數列，則A+B＝2C，則C＝60°，不一定滿足反之若B＝60°，則A+C＝120°＝2B，則A、B、C成等差數列，∴三個內角成等差數列是的必要非充分條件，故選：B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了等差中項的應用，屬于基礎題．6、C【解析】

利用前n項和Sn的性質可求S【詳解】設Sna+b=116a+4b=16a+8b，故a=1b=0，故S6【點睛】一般地，如果an為等差數列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn7、D【解析】

由約束條件畫出可行域，將問題轉化為在軸截距最小，通過平移可知當過時，取最大值，代入可得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：當取最大值時，在軸截距最小平移直線可知，當過時，在軸截距最小又本題正確選項：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中的最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過直線平移來進行求解，屬于?？碱}型.8、B【解析】

求出樣本間隔，結合莖葉圖求出年齡不超過55歲的有8人，然后進行計算即可．【詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過55歲的有8人，則這個小組中年齡不超過55歲的人數為人．故選：．【點睛】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應用，求出樣本間隔是解決本題的關鍵，屬于基礎題．9、B【解析】

由，可得，解得或，根據等比數列的單調性的判定方法，結合充分、必要條件的判定方法，即可求解，得到答案.【詳解】設等比數列的公比為，則，可得，解得或，此時數列不一定是遞增數列；若數列為遞增數列，可得或，所以“”是“數列為遞增數列”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式與單調性，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記等比數列的單調性的判定方法是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、A【解析】分析：建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），由平面向量坐標表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，2），因為∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點睛：本題主要考察平面向量的坐標表示，根據條件建立平面直角坐標系，分別寫出各點坐標，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知及正弦定理可得：，進而利用余弦定理即可求得a的值，進而可求c，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】，由正弦定理可得：，，由余弦定理，可得，整理可得：或（舍去），，，故答案為：.【點睛】本題注意考查余弦定理與正弦定理的應用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.12、【解析】

利用扇形的弧長除以半徑可得出該扇形圓心角的弧度數.【詳解】由扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關系可知，該扇形的圓心角大小為.故答案為：.【點睛】本題考查扇形圓心角的計算，解題時要熟悉扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

先求出，再根據面積得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【詳解】由題得,所以.由余弦定理得，當且僅當時取等.所以b的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、2【解析】

將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【點睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡單題.15、【解析】

先由題意得到，根據題意求出的最大值，即可得出結果.【詳解】由題意得到，其中，因為，所以，又不等式對任意實數x恒成立，所以.故答案【點睛】本題主要考查由不等式恒成立求參數的問題，熟記三角函數的性質即可，屬于常考題型.16、【解析】

分較長的兩條棱所在直線相交，和較長的兩條棱所在直線異面兩種情況討論，結合三棱錐的結構特征，即可求出結果.【詳解】當較長的兩條棱所在直線相交時，如圖所示：不妨設，，，所以較長的兩條棱所在直線所成角為，由勾股定理可得：，所以，所以此時較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為；當較長的兩條棱所在直線異面時，不妨設，，則，取CD的中點為O，連接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以OA+OB<AB，不能構成三角形。所以此情況不存在。故答案為：.【點睛】本題主要考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角的概念，以及三棱錐的結構特征即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析，(2)10【解析】

（1）根據等比數列的定義，結合題中條件，計算，，即可證明數列是等比數列，求出；再根據累加法，即可求出數列的通項；（2）根據題意，得到，分別求出，當，用放縮法得，根據裂項相消法求，進而可求出結果.【詳解】(1)證明：，而∴是以4為首項2為公比的等比數列，，∴即，，所以，，......，，以上各式相加得：；∴；(2)由（1）得：，，，，，由已知條件知當時，，即∴，而綜上所述得最小值為10.【點睛】本題主要考查證明數列為等比數列，求數列的通項公式，以及數列的應用，熟記等比數列的概念，累加法求數列的通項公式，以及裂項相消法求數列的和等即可，屬于?？碱}型.18、【解析】

根據一元二次不等式的解法直接求解即可.【詳解】因為方程的根為：，，所以不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，考查對基礎知識和基本技能的掌握，屬于基礎題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用直線與平面垂直的判定，結合三角形全等判定，得到，再次結合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐標系，分別計算的法向量，結合兩向量夾角為直角，計算出的值，然后結合，即可．法二：設出OA=x,用x分別表示AB,BD,AD，結合，建立方程，計算x，結合，即可．【詳解】（1）連結，交于點，連結，因為側面是菱形，所以，又因為，，所以平面，而平面，所以，因為，所以，而，所以，.（2）因為，，所以，（法一）以為坐標原點，所以直線為軸，所以直線為軸，所以直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以令，則，，取，設平面的法向量，所以令，則，，取，依題意得，解得.所以.（法二）過作，連結，由（1）知，所以且，所以是二面角的平面角，依題意得，，所以，設，則，，又由，，所以由，解得，所以.【點睛】本道題考查了直線與平面垂直判定，考查了利用空間向量解決二面角問題，難度較難．20、或【解析】

直線截圓得的弦長為，結合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點斜式可得結果.【詳解】設直線的方程為，即，因為圓的半徑為5，截得的弦長為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【點睛】本題主要考查點到直線距離公式以及圓的弦長的求法，求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式，結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾