2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何綜合題（解析版）

方法必備08幾何綜合題“不一樣的旋轉(zhuǎn)，不一樣的特征

題型一：旋轉(zhuǎn)之全等特性

題型二：旋轉(zhuǎn)之相似特性

題型三：旋轉(zhuǎn)之隱圓本性

題型一：旋轉(zhuǎn)之全等特性

旋轉(zhuǎn)是全等變換之一，其本質(zhì)特點即為旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，利用全等性質(zhì)解決有關(guān)線段與角的計算問題，

1.(2023?無錫)如圖，四邊形NBCO中，AD/IBC,ZABC=60°,AD=AB=2,BC=4,E為射線CB上的動

點，將線段AE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)120°得至I」AE'.設(shè)CE=x,KBEE'的面積為S.

(1)當(dāng)x=3時，求BE，的長；

(2)當(dāng)xw4時，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)求。E的最小值.

【分析】(1)過點D作。P//4B交3c于/，連接AF,可得四邊形NBED是菱形，則尸是等邊三角形，由x=3

得BE=1,則E是2尸的中點，可得NE18C,證明TUBE公ZUOE,可得BE=DE,即可求解；

(2)連接DE,作/歹1BE,可表示出AE2=EF2+AF2=0-x)2+3=x2-6x+12,從而得出

22

SMEE,=^(x-6x+12)=^-x-^-x+3yj3,可證得LADE=MBE',從而得出

SMBE'=SMDE=-AD-AF=-x2xy/3=43,可得出SMBE=-BE-AF=--(4-x),從而

S四邊牘s=SMBE+SMBE,=曰?(”x)+G,進(jìn)一步得出結(jié)果；

(3)將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。至AS,連接DS,可證得AAEB=△AE'S,從而得出AASE'=NABE=60°,可

得出NZMS=120。，AD=AB=AS=2,從而得出N/SO=N/Z>S=30°,從而NOSE=N/SD+=90。，故當(dāng)

點皮在S處時，DE最小，從而。S=G/D=2百，從而得出DE的最小值為：2vL

【解答】解：(1)如圖1,

作4尸//CD,交BC于F,

'：AD11BC,

四邊形AFCD是平行四邊形,

AF=CD=1,CF=AD=2,

:.BF=BC—CF=4—2=2,

.??ZU5廠是等邊三角形，BE=-BF=1,

2

/.ABAF=60°,/BAE=AFAE=-ABAF,

2

ABAE=30°,AE=—AB=4i,

2

'：AEAE'=nOQ,

ABAE'=90°,

1,2

BE'=4AB+AE=打+（西2=近；

（2）（方法一）如圖2,

連接/C,以Z為圓心，/C長為半徑畫弧交匿的延長線于尸，作EGICb,交的延長線于G,

AF=AC,

ZACB=AAFC,

?；AD=CD=2,

ZACD=ACAD,

,：ADIIBC,

AACB=ACAD,

/ACB=/ACD,

由（1）知：ZC=60°,

/./AFC=/ACB=30。，

:.ZCAF=120°,

ZCAF=ZEAE'=120°,

/./CAE=AFAE],

'：AE=AE',

:ZCE弟b4FE'（SAS）,

EfF=CE=x,AAFE'=/ACE=30°,

ABFE'=/AFC+ZAFE'=60°,

zrsV3,A/3

EG=——EF=——x,

22

ii/TR

:.S=-BE-E'G=-（4-X）X—X=--X2+技;

2224

（方法二）如圖3,

連接,作/尸L8E,

BF=\,AF=6，

/.EF=2-x,

/.AE2=EF2+AF2=（3-x）2+3=x2-6x+12,

22x

/.SMEE,=-^-（x-6x+12）=-^-x-~~~+36,

,：ZDAB=ZEAE'=120°,

/DAE=/BAE,

'：AD=AB,AE=AE',

KADE^M.BE'（SAS）,

SMBE'=SMDE=^ADAF=^x2xy/3,

?=:8￡-4尸二木（4—%）,

百

,?S四邊形.EBE，—LABE+LABE'~~?（

(3)(方法一),如圖4,

由（2）知：ZCFE1=60°,

.?.點/在與過點F且與CF成60。的直線上I運(yùn)動,

作4匹1C少于沙，作。G1/于G,悴DHIII交BF千H,作“01/于°,當(dāng)點E在G處時，DE，最小,

/.DG=HQ,ZDHC=ZCFE'=60°,

,：AABC=60°,

ZABC=ZCFE',

由（2）知：CH=BH=2,

\'ZACF=ZAFC=30°,

CF=2CW=2xV3AW=6,

\:.FH=CF—CH=4,

DG=HQ=4-cosZAFC=4-cos30°=2后,

.?.Q制的最小值為：2V3,

（方法二）如圖5,

將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至AS,連接DS,

ABAS=AEAE'=120°,

AEAB=ZE'AS,

t：AE=AE,,AB=AS,

MEB?△AFS(SAS),

AASE'=NABE=60°,

,：ADAB=ABAS=120o,

ADAS=120°,

'：AD=AB=AS=2,

/.ZASD=/ADS=30°,

NDSE=ZASD+AASE'=90°,

當(dāng)點￡在8處時，W最小，

,.，DS=MAD=26

??.。制的最小值為：2百.

C_____旦_______________B

DA

圖3

圖2

【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識,

解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

2.（2023?鄱陽縣二模）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1,點。在等邊AA8C的邊8C上，連接ND,將AABD繞點4旋轉(zhuǎn),

使得旋轉(zhuǎn)后點B的對應(yīng)點為點C,得到ZUC。，連接“判斷AAD。的形狀，并說明理由;

【類比遷移】（2）如圖2,A48c是等邊三角形，點。在AABC外，2CDB=120°,AD=4,求AABC面積的最小

值;

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,AABC是等腰直角三角形，若CD1AD于點。，40=4收，CD=2,直接寫出的

長.

圖2

【分析】M8C是等邊三角形，ZBAC=NBAD+ZCAD,M3。勺ZL4C。，得出AD=/。，ABAD=ACAD',

ACAD'+ACAD=60°,可證乙位）。是等邊三角形;

(2)如圖1,延長D3到點。，使/3=/C,A1BC是等邊三角形，ABAC=60°,AB=AC,ZCD5=120°,根

據(jù)等量代換N4CD=AABD',MBD'占AACD,NDAD'=60°,

當(dāng)481。。時，48最小，此時面積最小，進(jìn)而求解;

（3）5C的長為2M或2回，

如圖2,延長。3至點，，使8。=CD,LABC是等腰直角三角形，根據(jù)等量代換Z.DCA=ZABD',XABD'勺M.CD,

ADAD'=9Q°,AZ）/。是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解，如圖3,在AD上取一點。，使AD，=C。，同

理可得8c.

【解答】解：（1）根加＞'是等邊三角形,

理由：是等邊三角形，

ABAC=/BAD+ACAD=60°,

依題意可知，&4BD些b4CD;

AD=AD',/BAD=/CAD,

ZCAD1+ACAD=60°,

/.MDD1是等邊三角形；

(2)如圖1,延長。8到點。，使BD=CD,

.「ZUBC是等邊三角形，

ABAC=60°,AB=AC,

..20)8=120。，

ZBAC+ZCDB=180°,

:.ZDBA+ZACD=180°,

'/ZDBA+ZABD1=180°,

ZACD=ZABD',

MBD1?/^ACD(SAS),

AD'=AD=4,ADAC=ABAD',

/DAD=60°,

當(dāng)481。。時，45最小，此時面積最小,

AB=AD-sin60°=4x—=2^/3,

2

此時A45C面積為：—BC-AB±-=36

22

.?.ZU5C面積的最小值為：30

(3)5C的長為2&U或2而，

如圖2,延長。5至點。，使BD=CD,

...MBC是等腰直角三角形,

/.ABAC=90°,AB=AC,

■:CD1BD,

ABAC+ACDB=1SO0,

:.ADBA+AACD=1SO0.

ZDCA=ZABD,

KABD'3KACD{SAS),

AD'=AD=472,ADAC=AD'AB,

/DAD=90°,

/.^DAD1是等腰直角三角形，

DD=8,

,:CD=2,

DB=8—2=6,

BC=V62+22=2V10,

如圖3,在2。上取一點。，使BD'=CD,

圖3

同理可得BC=V102+22=2726,

綜上所述，5c的長為2或2畫.

【點評】本題考查等邊三角形，等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)和最值等綜合問題，解題的關(guān)鍵是對問題的分類討論.

3.(2023?高新區(qū)校級四模)如圖，在M8C中，AB=AC,ABAC=90°,。為線段3C上一點，連接4D,將線

段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,作射線CE.

(1)求證：ABAD=ACAE,并求ZBCE的度數(shù)；

(2)若尸為中點，連接/尸，連接C尸并延長，交射線氏4于點G.當(dāng)BD=2,￡>C=1時，

①求/尸的長；

②直接寫出CG的長.

［分析］(1)利用SAS證明ABAD?KCAE,得/ABC=/ACE=45°,即可解決問題;

(2)①利用勾股定理求出的長，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案；

②利用等角對等邊說明點方為CG的中點，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答案.

【解答】(1)證明：7/氏4C=NZME=90。，

/./BAD=/CAE,

5U：AB=AC,AD=AE,

LBAD?ACAE(SAS).

又,［AB=AC,ABAC=90°,

/./ABC=ZACB=45。，

?；MAD"CAE,

/ABC=/ACE=45°,

/BCE=ZACB+ZACE=45°+45°=90°.

(2)①在RtADCE中，?「EC=BD=2,DC=1,

DE=V5,

又為?！曛悬c，

貝ljAF=-DE=—.

22

②在RtADCE中，尸為?！甑闹悬c，

:.CF=-DE=—,

22

/.CF=AF,

ZFAC=/FCA,

\'ZBAC=90°,

:.ZGAC=90°,

/FAG=/AGC,

...AF=GF,

CG=2AF=V5.

【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角

三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?甘孜州)如圖，在RtAABC中，AC=BC=3亞，點、D在AB邊上，連接CD,將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°

得到CE,連接BE,DE.

⑴求證：XCAD三XCBE;

(2)若40=2時，求CE的長；

(3)點。在上運(yùn)動時，試探究/獷+①？的值是否存在最小值，如果存在，求出這個最小值；如果不存在，請

說明理由.

【分析1(1)由4X4即可證明ACADMNCBE；

DE

(2)證明ACAD三ACBE(SAS),得至l|DE=BD2+BE2=2逐，在RtACDE中,=Vio；

CE=CD=正

(3)證明+8￡)2=2C￡)22x3,=18,即可求解.

【解答】(1)證明：由題意，可知乙4c2=NDCE=90。，CA=CB,CD=CE.

NACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即NACD=ZBCE.

在《CAD和kCBE中,

CA=CB

-AACD=ZCBE

CD=CE

&CAD=ACBE(SAS)；

(2)解：:在RtAABC中，AC=BC=3E,

NCAB=NCBA=45°,AB=41AC=6,

:.BD=AB-AD=6-2=4.

,:ACAD"CBE(SAS),

c

NABE=ZABC+NCBE=90°.

DE=yjBD2+BE1=2#>,

r）p.—

.?.在RtACDE中，CE=CD=-J=-=410；

(3)解：存在，理由:

由（2）可知，AD2+BD2=BE2+BD2=DE2=2CZ>2,

當(dāng)CD最小時，有/斤+BD2的值最小，此時CDLAB.

'：MBC為等腰直角三角形,

CD=-AB=-x6=3,

22

AD-+BD2=2CD22x32=18.

即AD-+BD-的最小值為18.

【點評】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理等知識，有一定的綜合性，難度適中.

5.(2023?攀枝花)如圖1,在A42C中，AB=BC=2AC=8,AA8C沿8c方向向左平移得到ADCE,N、C對

應(yīng)點分別是。、E.點尸是線段8E上的一個動點，連接/下，將線段/尸繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)至線段4G,使得

ABAD=NFAG,連接FG.

(1)當(dāng)點尸與點C重合時，求尸G的長;

(2)如圖2,連接BG、DF.在點尸的運(yùn)動過程中:

①8G和D尸是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由;

②當(dāng)BF的長為多少時，MBG能構(gòu)成等腰三角形?

[分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形4BCD、四邊形NCE。是平行四邊形，再由已知推導(dǎo)出是NC4G的平

分線，由等腰三角形的性質(zhì)可得1CG,過8點作比71/C交于〃點，求出38=2后，再由

9/7T-CG

sinZ^C=^—=^—,所以CGnf'GnZVl?；

84

(2)①證明LABG=LADF(SAS),貝I]DF=3G;

②過點/作《N1BC交于N,由等積法可得Ix4x2岳=1x8AN，求出/N=岳，分三種情況討論：當(dāng)NG=NB

時，AG=AF=8；當(dāng)/點與8點重合時，AF=8,止匕時3尸=0,當(dāng)8尸=28N時，AF=8,在RtZ\ABN中，BN=1,

可得8歹=14；當(dāng)/G=3G時，。尸=N/，過點F^FMLAD交于M,所以AM=FN=4,能求出CN=l,CF=3,

則8尸=11;當(dāng)=時，DC=DF,當(dāng)下點在BE上時，CD=DF,此時C點與廠點重合，此時BF=8C=8.

【解答】(1)當(dāng)歹點與C點重合時，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD//AB,

，四邊形48CD、四邊形/CEO是平行四邊形，

AD=BC,AD/IBC,

,；NBAD=NFAG,

NDAF=ZFAG,

,:AB=BC,

ABAC=ZACB,

'：ZDAC=ZACB,

ADAC=ABAC=ABAG,

N8是NC4G的平分線，

'：AC=AG,

ABLCG,

如圖1,過B點作881/C交于8點，

:AB=BC=2AC=8,

AH=2,

BH=2V15,

l

./…2A2rr

sinZ.BAC=-------=-------,

84

:.CG=FG=2V15；

(2)①DF=BG,理由如下：

如圖2,7/6=/產(chǎn)，NDAF=NBAG,AB=AD,

KABG=KADF{SAS),

DF=BG;

②如圖2,過點4作4NIBC交于N,

由①可知;x4x2岳=；x84N,

AN=y/15,

當(dāng)=時，

\'AB=BC=8,

:.AG=8,

'：AG=AF,

AF=8,

當(dāng)尸點與5點重合時，AF=S,此時昉=0,

當(dāng)5尸=25N時，AF=8,在RtAABN中，BN=V64-15=7,

/.Bb=14；

當(dāng)ZG=8G時，AF=BG,

,[DF=BG,

DF=AF,

過點尸作枚14。交于M,

AM=DM=4,

'：FM1AD,ANIBC,

AM=FN=4,

,：BN=7,

/.CN=T,

CF=3,

：.BF=n；

當(dāng)氏4=5G時，

'：DF=BG,

AB=DF,

,；AB=CD=BC=AD,

DC=DF,

當(dāng)尸點在班上時，CD=DF,此時。點與尸點重合，

/.BF=BC=8;

綜上所述：昉的長為14或11或8或0.

【點評】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?重慶）如圖，在等邊ZUBC中，4D13C于點。，E為線段4D上一動點（不與/,。重合），連接BE,

CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CF,連接AF.

（1）如圖1,求證：ACBE=NCAF；

（2）如圖2,連接3/交/C于點G,連接。G,EF,昉與。G所在直線交于點〃，求證：EH=FH；

（3）如圖3,連接AF交/C于點G，連接OG,EG，將A4EG沿/G所在直線翻折至A48c所在平面內(nèi)，得到A4PG,

將AZ5EG沿DG所在直線翻折至ZUBC所在平面內(nèi)，得到ADQG,連接尸。，QF.若42=4,直接寫出P0+。/

圖2圖3

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CE=CF,ZECF=60°,進(jìn)而證明ABCE三AACF(SAS),即可得證;

（2）過點尸作展//4D,交點的延長線于點K,連接EK,FD,證明四邊形及是平行四邊形，即可得

證;

（3）如圖所示,延長/9,DQ交于點R，由（2）可知ADCG是等邊三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NP/G=NE4G=30。，

ZQDG=ZEDG=30°,進(jìn)而得出MDR是等邊三角形，由（2）可得RtACED勺RtACFG,得出四邊形GDQF是平

行四邊形，則=OC=；/C=2,進(jìn)而得出/26。=360。一2446。=120。，則PQ=V§PG=GG。，當(dāng)G0取得

最小值時，即GQLOR時，尸。取得最小值，即可求解.

【解答】（1）證明：為等邊三角形，

二.ZACB=60°,AC=BC,

:將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CF,

CE=CF,ZECF=60°,

是等邊三角形，

ABCA=ZECF,

/BCE=ZACF,

,ABCE?MCF(SAS),

ACBE=ZCAF；

(2)證明：如圖所示，過點F作FK//4D,交?！c的延長線于點K,連接￡K,FD,

.「ZUBC是等邊三角形，

AB=AC—BC,

'：AD1BC,

:.BD=CD,

/.4。垂直平分BC,

EB=EC,

文：/\BCE卷&4CF,

AF=BE,CF=CE,

AF=CF,

廠.尸在4c的垂直平分線上，

'：AB=BC,

.?.5在4c的垂直平分線上，

/.8尸垂直平分ZC,

:.ACIBF,AG=CG=-AC,

2

:.ZAGF=90°,

^：DG=-AC=CG,ZACD=60°,

2

/.A^CG是等邊三角形，

/.ZCGD=4CDG=60°,

AAGH=ZDGC=60°,

4KGF=/AGF-/AGH=90°-60°=30°,

X'/AADK=ZADC-AGDC=90°-60=30°,KF/1AD,

ZHKF=NADK=30°,

AFKG=ZKGF=30。，

FG=FK,

在RtACED與RtACGF中，

jCF=CE

[CD=CG'

RtACED三RtACFG,

GF=ED,

ED=FK,

/.四邊形EDFK是平行四邊形，

EH=HF；

解法二：連接C〃，證明NCHE=90。，可得結(jié)論.

(3)解：依題意，如圖所示，延長4P,DQ交于點R,

BDC

由(2)可知ADCG是等邊三角形，

/.4EDG=30°,

...將AAEG沿ZG所在直線翻折至A4BC所在平面內(nèi)，得到AAPG,將AZ)￡G沿。G所在直線翻折至A45C所在平

面內(nèi)，得到ADQG,

/PAG=4EAG=30°,AQDG=4EDG=30°,

APAE=AQDE=60°,

/.A4OR是等邊三角形，

AQDC=/ADC-ZADQ=9(F-6(F=3(F,

由(2)可得RtACED?RtACFG,

DE=GF,

DE=DQ,

GF=DQ,

,:NGBC=NQDC=30。，

GF//DQ,

四邊形GDQF是平行四邊形，

.-.QF=DG=^AC=2,

由（2）可知G是/C的中點，則GZ=GD,

AGAD=AGDA=30°,

:.AAGD=nO°,

二折疊，

NAGP+ADGQ=AAGE+NDGE=ZAGD=12cp,

APGQ=360°-2ZAGD=120°,

又PG=GE=G。,

PQ=CPG=GG0,

.?.當(dāng)G。取得最小值時，即G。！DR時，P。取得最小值，此時如圖所示,

圖3

GQ=^GC=^DC=1,

尸。=百，

PQ+QF=43+2.

解法二：由兩次翻折，推得4?3。=360。-240。=120。，則尸0=6PG=6EG,

圖3

由勿=DG=2,推出P01+。尸的最小值，只需要求出EG的最小值,

當(dāng)EG14D時，EG的值最小，最小值為1,

,-,PQ+QF的最小值為V3+2.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等

三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?永川區(qū)一模)在AA8C中，ABAC=90°,N3=/C,點。為邊上一動點，連接4D,將4D繞著。點

逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到DE,連接AE.

(1)如圖1,18C,點。恰好為C8中點，/E與3C交于點G,若48=4,求ZE的長度；

(2)如圖2,OE與交于點尸，連接3E,在A4延長線上有一點P,NPC4=,求證：AB=AP+4^BD；

(3)如圖3,DE與AB交于點尸，且A8平分，點M為線段4F上一點，點N為線段4D上一點，連接DW,

MN,點、K為DM延長線上一點,將獨DK沿直線BK翻折至2DK所在平面內(nèi)得到^BQK,連接。。，在“，N

運(yùn)動過程中，當(dāng)。取得最小值，且4DKQ=45。時，請直接寫出也的值.

圖3

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZADE=90°,即

可求解;

(2)由“S/S”可證,可得=NDBE=NDHA=135°,由“N&4”可得AB/EMMCP,

可得/尸=2E,可得結(jié)論;

(3)先證明當(dāng)點"，點斤，點。三點共線，且ZW1/E時，OM+MN有最小值，再證明點。，點B,點。三

點共線，由等腰直角三角形和折疊的性質(zhì)可求解.

【解答】(1)解：,.?4/C=90。，AB=AC=4,

BC=472,

?「AH1BC,AB=AC,

BH=CH=2V2=AH,

???點、D為CH中點，

DH=CD=亞,

AD=ylAH2+DH2=V8+2=V10,

...將/。繞著。點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到?；?，

AD=DE,ZADE=90°,

二.AE=亞AD=2V5;

(2)證明：如圖2,過點。作。交45于點

圖2

,：ABAC=90°,AB=AC,

??./ABC=NACB=45。,BC=42AC,

?；DH1BC,

4BHD=ZDBH=45°,ABDH=90°,

BD=DH,乙4HD=135。，

BH=41BD,

...將4D繞著。點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到小，

AD=DE,AADE=90°=ABDH,

ZADH=4EDB,

KADH3l^EDB{SAS),

AH=BE,/DBE=ZDHA=135°,

/./ABE=90°=/CAP,

yL'：AB=AC,ABAE=ZACP,

:.ABAE二AACP(ASA),

AP=BE,

AP=BE=AH,

AB=AP+41BD；

(3)解：如圖3,在ZE上截取=連接W,

圖3

:AB平分/EAD,

/DAB=/BAE=22.5°,

又二AM=AM,

l^AMN?KAMN'(SAS),

:.MN=MN',

/.DM+MN=DM+MN',

???當(dāng)點M,點N二點。三點共線，且ZW14￡時，OM+MN有最小值,

圖4

,：DMVAE,DE=AD,

ZADM=ZEDM=45°,

7折疊，

z.DQLBK,4BKD=ZBKQ,

,：ZDKQ=45°,

NBKD=ABKQ=22.5°,

'：AAMK=ZADM+/BAD=4BKD+AKBA,

4KBA=AADM=45°,

ZKBD=AABK+/ABC=90°,

KB1BD,

丈：DQ1BK,

.?.點B,點。，點。三點共線，

二折疊，

DQ=2BD,

■:NBAD=22.5。,

ACAD=67.5°,AADC=AABC+ABAD=67.5°,

NCAD=AADC,

:.AC=DC,

:.BD=BC-CD=y[iAC-AC,

DQ=2BD=2島C-2AC,

DQ2也AC-24C”百

"BC~41AC-

【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定

理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?鄒城市校級二模)LABC和KDEC是等腰直角三角形，乙4cB=ADCE=90°,AC=BC,CD=CE.

［觀察猜想］當(dāng)MBC和IXDEC按如圖1所示的位置擺放，連接BD、AE,延長BD交AE于點F,猜想線段BD和

/E有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

【探究證明】如圖2,將ADCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度a(0。<a<90°),線段和線段AE的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.

【拓展應(yīng)用】如圖3,在A4C。中，AADC=45°,CD=也，AD=4,將/C繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。至3C,連

接BD,求2。的長.

【分析】【觀察猜想】根據(jù)&4s推出MCEvABCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出=,根據(jù)

NACB=ZDCE=90°求出ZCAE+NAEC=90°，求出ZDBC+NBEF=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出4BFE=90°

即可；

［探究證明】根據(jù)S4s推出MCE合ABCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NCAE=ZCBD,根據(jù)AACB=90°求出

/CBD+/CGB=9U。，求出NG4E+N4Gb=90。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N3E4=90。即可；

【拓展應(yīng)用】在CD的左側(cè)以。為直角頂點作等腰直角ACQE,連接4E,則NQCE=90。，CE=CD=42,

ZCDE=45°,可得ZADE=ZADC+ZCDE=45°+45°=90°,由勾股定理可得DE=^CD2+CE2=2,

AE=ylDE2+AD2=A/22+42=275,由旋轉(zhuǎn)得乙4c3=90。，AC=BC,由【探究證明】知8。=4E1,即可得

的長.

【解答】解：【觀察猜想】4E15。，AE=BD,

證明：在MCE和A5C。中，

AC=BC

</ACE=/BCD,

CE=CD

MCEwMCD(SAS),

AE=BD,/CAE=4CBD,

..ZCB=/QCE=90。,

:.ZCAE+ZAEC=90°,

,：ACAE=ACBD,ZAEC=4BEF,

NDBC+ABEF=90°,

Z5FE=180°-90°=90°,

AEIBD；

［探究證明】線段BD和線段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系仍然成立，

證明：,.ZCB=4DCE=9G。,

/ACB+/ACD=ZDCE+ZACD,

即/ACE=/BCD,

在A4CE和ABC。中，

AC=BC

</ACE=/BCD,

CE=CD

:.&4CE短MCD(SAS),

AE=BD,/CAE=ZCBD,

\'ZACB=90°,

4CBD+/CGB=90°,

■:NCAE=NCBD,ZAGF=ZCGB,

ACAE+AAGF=9Q°,

.?.Z5K4=180o-90o=90°,

AELBD；

［拓展應(yīng)用】如圖，在CO的左側(cè)以C為直角頂點作等腰直角XCDE,連接NE,

Z.DCE=90°,CE=CD=42,Z.CDE=45°,

DE=yJCD2+CE2=2,

'：ZADC=45°,

NADE=AADC+ACDE=45°+45°=90°,

AE=yjDE2+AD2=@+42=275,

二將/C繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。至3c,

ZACB=90°,AC=BC,

由【探究證明】知AD=/E,

BD=2V5.

【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，證明ZUCE勺A3CO是本題的關(guān)鍵.

9.（2023?隨州）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點4,B,C,

求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被

稱為“費(fèi)馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形

的某個頂點）

當(dāng)AABC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將AAPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C,連接PP1,

由PC=P'C,ZFCP'=60°,可知APCP為等邊三角形，故PP'=PC,又P'A'=PA,故

PA+PB+PC^P'A'+PB+PP'A'B,

由可知，當(dāng)2,P,P',H在同一條直線上時，P/+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時的尸

點為該三角形的“費(fèi)馬點”，

且有ZAPC=NBPC=ZAPB=；

已知當(dāng)A48c有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費(fèi)馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NB4c120°,則該三

角形的“費(fèi)馬點”為點.

（2）如圖4,在A4BC中，三個內(nèi)角均小于120。，且NC=3,BC=4,AACB=30°,已知點尸為ZU2C的“費(fèi)馬

點”，求尸/+P3+PC的值；

（圖1）（圖2）

（圖4）

（3）如圖5,設(shè)村莊/,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知4岫，BC=2y/3km,ZACB=60°.現(xiàn)欲建

一中轉(zhuǎn)站P沿直線向/,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊/,B,C的鋪設(shè)成本分別為。元//加，

a元Jkm,伍元/加，選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果用含°的式子表示）

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點之間線段最短進(jìn)行推理分析后即可得出結(jié)論，然后填空即可；

（2）根據(jù)（1）的方法將MPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4PC,即可得出可知當(dāng)8、P、P、4在同一條直

線上時，尸/+尸3+PC取最小值，最小值為N2,再根據(jù)N/C3=30?？勺C明4c才=90。，根據(jù)勾股定理即可求出

A'B；

（3）根據(jù)總鋪設(shè)成本=a（PA+PB+TIPC）,將ZUPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△,得到等腰直角△PP'C,

推出=即可得出當(dāng)2、P、P、4'在同一條直線上時，P4+P2+PP取最小值，即尸N+PB+JIPC

取最小值為A'B的長，然后根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A'B即可.

【解答】解：（1）7PC=PC,ZPCF'=60°,

AFCP為等邊三角形，

PP'=PC,NP'PC=NPP'C=60°,

又"4=PA,

:.PA+PB+PC=PA+PB+PP'A'B,

根據(jù)兩點之間線段最短可知，當(dāng)B、P、P、H在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，最小值為

此時的尸點為該三角形的“費(fèi)馬點”，

ZBPC+ZP'PC=1SO°,ZA'PV+ZPP'C=180°,

Z.BPC=120°,ZA'P'C=120°,

二,將MPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得至!J△A'P'C,

AAPC合4APC,

ZAPC=ZAP'C=120°,

ZAPB=360°-120°-120°=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°,

'.'ABAC120°,

/.BC>AC,BC>AB,

BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

.?.三個頂點中頂點A到另外兩個頂點的距離和最小，

又「已知當(dāng)ZU8C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費(fèi)馬點”為該三角形的某個頂點，

二.該三角形的“費(fèi)馬點”為點N.

故答案為：等邊；兩點之間線段最短；120。；A；

(2)如圖4,將MPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C,連接PP',

（圖4）

由（1）可知當(dāng)2、P、P、H在同一條直線上時，P/+P8+PC取最小值，最小值為42,

'：ZACP=ZA'CP',

NACP+NBCP=NHCP+NBCP=ZACB=30°,

又,「NPC尸'=60°,

Z.BCA'=90°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=A'C=3,

=AAP+32=5,

即PA+PB+PC的最小值為5;

(3)7總鋪設(shè)成本=P/xa+P3xa+PCx后=a(P/+P8+岳C),

當(dāng)尸N+P3+0PC最小時，總鋪設(shè)成本最低，

將LAPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C,連接PP',A'B,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,ZPCP,=AACA'=90°,P'A'=PA,AC=AC=Ahn,

PP'=亞PC,

PA+PB+41PC=P'A'+PB+PP',

當(dāng)2、P、P、H在同一條直線上時，P4+P3+PP取最小值，

即PA+PB+亞PC取最小值為A'B,

過點4作/歸1BC于H,

:NACB=6Q°,ZACA'=90°,

ZA'CIf=30°,

：.A'H=-A'C=2km,

2

HC=yjA'C2-A'H2="2-2?=2瓜km),

:.BH=BC+CH=202m=4也(Jan),

A'B=y/A'H2+BH2=7(4^3)2+22=2屈位m),

即PA+PB+MPC的最小值為25km,

總鋪設(shè)成本為：總鋪設(shè)成本=。(尸/+可+收％)=2疝(元).

故答案為：.

【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短以及等邊三

角形的性質(zhì)，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵.

10.(2023?貴州)如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形N8C

中，CA=CB,ZC=90°,過點3作射線3D1N3,垂足為8,點尸在C2上.

(1)［動手操作1

如圖②，若點尸在線段C3上，畫出射線尸/,并將射線PN繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。與BD交于點E,根據(jù)題意在圖

中畫出圖形，圖中ZPBE的度數(shù)為135度；

(2)【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段加與尸￡的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)［拓展延伸】

如圖③，若點尸在射線CB上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點E,探究線段BA,BP,BE之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，由。=。2,ZC=90°,得AABC=45°,而3。1N3,即得

4PBE=AABC+NABD=135°;

(2)過產(chǎn)作PM///8交NC于M,證明"CM是等腰直角三角形，得CP=CM,APMC=45°,即可證

M.PM=APEB(4SA),故PA=PE；

(3)當(dāng)P在線段上時，過尸作PW//48交/C于"，結(jié)合(2)可得=+;當(dāng)尸在線段C2的延

長線上時，過尸作PN13c交于N,證明l\BPN是等腰直角三角形，可得NABP=135°,BP=NP,BN=?BP,

NPNB=45°,即可證/XEPN=AAPB(ASA),EN=BA,根據(jù)BE=EN+BN,即得BE=BA+叵BP.

ZABC=45°,

：BD1AB,

NABD=90°,

NPBE=Z.ABC+NABD=45°+90°=135°;

故答案為：135；

(2)PA=PE,理由如下：

過P作PM//Z8交/C于M,如圖:

4Mpe=NABC=45°,

APCM是等腰直角三角形，

CP=CM,ZPMC=45°,

CA-CM=CB-CP,BPAM=BP,NAMP=135°=NPBE,

'：ZAPE=90°,

ZEPB=90°-AAPC=APAC,

M.PM=△尸,

PA=PE■,

(3)當(dāng)P在線段BC上時，過尸作PM///8交NC于M,如圖:

由(2)可知，BE=PM,BP=AM,

'：AB=42{AM+CM),

AB=?BP+?CM,

'：PM=41CM,

AB=0BP+BE；

當(dāng)尸在線段C2的延長線上時，過P作PN1BC交BE于N,如圖:

ZPBN=180°-AABC-AABD=45°,

.?.ABPN是等腰直角三角形，乙4BP=135。,

BP=NP,BN=五BP,ZPNB=45°,

NPNE=135°=ZABP,

'：ZAPE=90°,

ZEPN=90°-AAPN=NAPB,

&EPN=KAPB^ASA),

EN=BA,

'：BE=EN+BN,

BE=BA+41BP;

綜上所述，當(dāng)尸在線段BC上時，AB=y/2BP+BE;當(dāng)尸在線段C2的延長線上時，BE=BA+47.BP.

【點評】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

11.（2023?遼寧）AASC是等邊三角形，點E是射線3C上的一點（不與點2,C重合），連接/E,在/￡的左側(cè)

作等邊三角形AED,將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段EF,連接BF,交DE于點M.

（1）如圖1,當(dāng)點E為8C中點時，請直接寫出線段。河與EN的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點￡在線段8C的延長線上時，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不

成立，請說明理由；

（3）當(dāng)BC=6,CE=2時，請直接寫出的長.

圖1圖2備用圖？

【分析】（1）可證得ZBAD=NBAE=30°,進(jìn)一步得出結(jié)果；

（2）連接8。，可證明勺AC/E,從而乙42。=N/CE=120。，BD=CE,進(jìn)而得出NDAE=60。，從而得出

ZDBE+ZBEF=60°+120°