經(jīng)濟數(shù)學微積分 第4版 課件 4-2 多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)微分學的學習要點1、多元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)與一元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)的類似之處2、多元函數(shù)的偏導、可微與一元函數(shù)的可導、可微的區(qū)別之處3、多元復合函數(shù)偏導數(shù)、隱函數(shù)的偏導數(shù)的求法4、多元微分學的實際應用5、本章的學習方法：與一元函數(shù)微分學類比經(jīng)濟數(shù)學——微積分三、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的概念四、多元函數(shù)的連續(xù)性4.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的相關(guān)概念五、小結(jié)經(jīng)濟數(shù)學——微積分1.鄰域

一、平面區(qū)域的相關(guān)概念2.內(nèi)點、邊界點、外點如果點P的某個鄰域U(P)∩E=,則稱P為E的外點.舉例E的邊界點的全體稱為E的邊界.3.開集、開區(qū)域與閉區(qū)域如果對于E內(nèi)任意兩點都可用折線連結(jié)起來，且折線上的點都屬于E，則稱點集E是連通的.連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域，開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.例如，例如，為開區(qū)域.為閉區(qū)域.4.有界區(qū)域與無界區(qū)域?qū)τ趨^(qū)域E,如果存在某一正數(shù)r，使得EU(O,r),O是坐標原點,則E為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域.為有界閉區(qū)域為有界開區(qū)域為無界開區(qū)域為無界閉區(qū)域E二、多元函數(shù)的概念類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．定義設D是平面上的一個非空點集，如果對于D內(nèi)任一點(x,y)，按照一定的法則f,都有唯一確定的實數(shù)z與之對應，則稱是變量z為x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y).當n≥2時，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的圖形通常是一張空間曲面.二元函數(shù)的圖形例如,例如,上半球面:下半球面:約定,凡用算式表達的多元函數(shù),除另有說明外,其定義域是指的自然定義域．與一元函數(shù)類似，當我們用某個算式表達多元函數(shù)時，凡是使算式有意義的自變量所組成的點集稱為這個多元函數(shù)的自然定義域．一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定義仍然適用.例1

求的定義域．解所求定義域為三、多元函數(shù)的極限定義說明：（1）定義中的方式是任意的，（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．例2

求解當

時為有界量例3

求極限解例4

求極限解例5考察

在(0,0)點

的極限.取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．沿x軸趨近沿y軸趨近例6

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．不存在.觀察播放確定極限不存在的方法：四、多元函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù).如果z=f(x,y)在點P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱是函數(shù)的間斷點.如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每一點連續(xù)，那么稱函數(shù)z=f(x,y)在點D內(nèi)連續(xù)，或稱z=f(x,y)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).定義

例7討論函數(shù)的連續(xù)性.它的間斷點在圓周上函數(shù)在圓周上無定義例8討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．

多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構(gòu)成的可用一個式子表示的函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．例9解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值．（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理

有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)是D上的有界函數(shù)．

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于最大值、最小值之間的任意數(shù)值.（3）介值定理2.多元函數(shù)極限的概念及極限不存在的判定3.多元函數(shù)連續(xù)的概念4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)1.區(qū)域、多元