實驗數(shù)據(jù)誤差分析與數(shù)據(jù)處理

第一章實驗數(shù)據(jù)誤差分析與數(shù)據(jù)處理第一節(jié)實驗數(shù)據(jù)誤差分析一、概述由于實驗方法和實驗設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測量程序等限制，實驗測量值和真值之間，總是存在一定的差異，在數(shù)值上即表現(xiàn)為誤差。為了提高實驗的精度，縮小實驗觀測值和真值之間的差值，需要對實驗數(shù)據(jù)誤差進行分析和討論。實驗數(shù)據(jù)誤差分析并不是即成事實的消極措施，而是給研究人員提供參與科學實驗的積極武器，通過誤差分析，可以認清誤差的來源及影響，使我們有可能預先確定導致實驗總誤差的最大組成因素，并設(shè)法排除數(shù)據(jù)中所包含的無效成分，進一步改進實驗方案。實驗誤差分析也提醒我們注意主要誤差來源，精心操作，使研究的準確度得以提高。二、實驗誤差的來源實驗誤差從總體上講有實驗裝置（包括標準器具、儀器儀表等）、實驗方法、實驗環(huán)境、實驗人員和被測量五個來源。1.實驗裝置誤差測量裝置是標準器具、儀器儀表和輔助設(shè)備的總體。實驗裝置誤差是指由測量裝置產(chǎn)生的測量誤差。它來源于：（1）標準器具誤差標準器具是指用以復現(xiàn)量值的計量器具。由于加工的限制，標準器復現(xiàn)的量值單位是有誤差的。例如，標準刻線米尺的0刻線和1000mm刻線之間的實際長度與1000mm單位是有差異的。又如，標稱值為1kg的砝碼的實際質(zhì)量（真值）并不等于1kg等等。（2）儀器儀表誤差凡是用于被測量和復現(xiàn)計量單位的標準量進行比較的設(shè)備，稱為儀器或儀表．它們將被測量轉(zhuǎn)換成可直接觀察的指示值。例如，溫度計、電流表、壓力表、干涉儀、天平，等等。由于儀器儀表在加工、裝配和調(diào)試中，不可避免地存在誤差，以致儀器儀表的指示值不等于被測量的真值，造成測量誤差。例如，天平的兩臂不可能加工、調(diào)整到絕對相等，稱量時，按天平工作原理，天平平衡被認為兩邊的質(zhì)量相等。但是，由于天平的不等臂，雖然天平達到平衡，但兩邊的質(zhì)量并不等，即造成測量誤差。（3）附件誤差為測量創(chuàng)造必要條件或使測量方便地進行而采用的各種輔助設(shè)備或附件，均屬測量附件。如電測量中的轉(zhuǎn)換開關(guān)及移動測點、電源、熱源和連接導線等均為測量附件，且均產(chǎn)生測量誤差。又如，熱工計量用的水槽，作為溫度測量附件，提供測量水銀溫度計所需要的溫場，由于水槽內(nèi)各處溫度的不均勻，便引起測量誤差，等等。按裝置誤差具體形成原因，可分為結(jié)構(gòu)性的裝置誤差、調(diào)整性的裝置誤差和變化性的裝置誤差。結(jié)構(gòu)性的裝置誤差如：天平的不等臂，線紋尺刻線不均勻，量塊工作面的不平行性，光學零件的光學性能缺陷，等等。這些誤差大部分是由于制造工藝不完善和長期使用磨損引起的。調(diào)整性的裝置誤差如投影儀物鏡放大倍數(shù)調(diào)整不準確，水平儀的零位調(diào)整不準確，千分尺的零位調(diào)整不準確，等等。這些誤差是由于儀器儀表在使用時，未調(diào)整到理想狀態(tài)引起的。變化性的裝置誤差如：激光波長的長期不穩(wěn)定性，電阻等元器件的老化，晶體振蕩器頻率的長期漂移，等等。這些誤差是由于儀器儀表隨時間的不穩(wěn)定性和隨空間位置變化的不均勻性造成的。2.環(huán)境誤差環(huán)境誤差系指測量中由于各種環(huán)境因素造成的測量誤差。被測量在不同的環(huán)境中測量，其結(jié)果是不同的。這一客觀事實說明，環(huán)境對測量是有影響的，是測量的誤差來源之一。環(huán)境造成測量誤差的主要原因是測量裝置包括標準器具、儀器儀表、測量附件同被測對象隨著環(huán)境的變化而變化著。測量環(huán)境除了偏離標準環(huán)境產(chǎn)生測量誤差以外，從而引起測量環(huán)境微觀變化的測量誤差。3.方法誤差方法誤差系指由于測量方法（包括計算過程）不完善而引起的誤差。事實上，不存在不產(chǎn)生測量誤差的盡善盡美的測量方法。由測量方法引起的測量誤差主要有下列兩種情況：第一種情況：由于測量人員的知識不足或研究不充分以致操作不合理，或?qū)y量方法、測量程序進行錯誤的簡化等引起的方法誤差。第二種情況：分析處理數(shù)據(jù)時引起的方法誤差。例如，軸的周長可以通過測量軸的直徑d，然后由公式：L＝πd計算得到。但是，在計算中只能取其近似值，因此，計算所得的L也只能是近似值，從而引起周長L的誤差。4.人員誤差人員誤差系指測量人員由于生理機能的限制，固有習慣性偏差以及疏忽等原因造成的測量誤差。由于測量人員在長時間的測量中，因疲勞或疏忽大意發(fā)生看錯、讀錯、聽錯、記錯等錯誤造成測量誤差，這類誤差往往相當大是測量所不容許的。為此，要求測量人員養(yǎng)成嚴格而謹慎的習慣，在測量中認真操作并集中精力，從制度上規(guī)定，對某些準確性較高而又重要的測量，由另一名測量人員進行復核測量。5.測量對象變化誤差被測對象在整個測量過程中處在不斷地變化中。由于測量對象自身的變化而引起的測量誤差稱為測量對象變化誤差。例如，被測溫度計的溫度，被測線紋尺的長度，被測量塊的尺寸等，在測量過程中均處于不停地變化中，由于它們的變化，使測量不準而帶來誤差。三、誤差的分類誤差是實驗測量值（包括間接測量值）與真值（客觀存在的準確值）之差別，誤差可以分為下面三類：1.系統(tǒng)誤差由某些固定不變的因素引起的。在相同條件下進行多次測量，其誤差的數(shù)值大小正負保持恒定，或誤差隨條件按一定規(guī)律變化。單純增加實驗次數(shù)是無法減少系統(tǒng)誤差的影響，因為它在反復測定的情況下常保持同一數(shù)值與同一符號，故也稱為常差。系統(tǒng)誤差有固定的偏向和確定的規(guī)律，可按原因采取相應的措施給予校正或用公式消除。2.隨機誤差（偶然誤差）由一些不易控制的因素引起，如測量值的波動，肉眼觀察誤差等等。隨機誤差與系統(tǒng)誤差不同，其誤差的數(shù)值和符號不確定，它不能從實驗中消除，但它服從統(tǒng)計規(guī)律，其誤差與測量次數(shù)有關(guān)。隨著測量次數(shù)的增加，出現(xiàn)的正負誤差可以相互抵消，故多次測量的算術(shù)平均值接近于真值。3.過失誤差由實驗人員粗心大意，如讀數(shù)錯誤，記錄錯誤或操作失誤引起。這類誤差與正常值相差較大，應在整理數(shù)據(jù)時加以剔除。四、實驗數(shù)據(jù)的真值與平均值1.真值真值是指某物理量客觀存在的確定值，它通常是未知的。雖然真值是一個理想的概念，但對某一物理量經(jīng)過無限多次的測量，出現(xiàn)的誤差有正、有負，而正負誤差出現(xiàn)的概率是相同的。因此，若不存在系統(tǒng)誤差，它們的平均值相當接近于這一物理量的真值。故真值等于測量次數(shù)無限多時得到的算術(shù)平均值。由于實驗工作中觀測的次數(shù)是有限的，由此得出的平均值只能近似于真值，故稱這個平均值為最佳值。2.平均值油氣儲運實驗中常用的平均值有：（1）算術(shù)平均值設(shè)x1,x2,.，xn為各次測量值，n為測量次數(shù)，則算術(shù)平均值為：注明坐標軸所代表物理量的符號和單位。坐標比例是指坐標軸上單位長度(通常為)所代表的物理量大小。坐標比例的選取應注意以下幾點：(1)原則上做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應是可靠的，即坐標軸上的最小分度()對應于實驗數(shù)據(jù)的最后一位準確數(shù)字。坐標比例選得過大會損害數(shù)據(jù)的準確度。(2)坐標比例的選取應以便于讀數(shù)為原則，常用的比例為“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”(包括“1∶0.1”、“1∶10”…)，即每厘米代表“1、2、5”倍率單位的物理量。切勿采用復雜的比例關(guān)系，如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等。這樣不但不易繪圖，而且讀數(shù)困難。坐標比例確定后，應對坐標軸進行標度，即在坐標軸上均勻地(一般每隔)標出所代表物理量的整齊數(shù)值，標記所用的有效數(shù)字位數(shù)應與實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。標度不一定從零開始，一般用小于實驗數(shù)據(jù)最小值的某一數(shù)作為坐標軸的起始點，用大于實驗數(shù)據(jù)最大值的某一數(shù)作為終點，這樣圖紙可以被充分利用。4.數(shù)據(jù)點的標出實驗數(shù)據(jù)點在圖紙上用“+”符號標出，符號的交叉點正是數(shù)據(jù)點的位置。若在同一張圖上作幾條實驗曲線，各條曲線的實驗數(shù)據(jù)點應該用不同符號(如×、⊙等)標出，以示區(qū)別。5.曲線的描繪由實驗數(shù)據(jù)點描繪出平滑的實驗曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等擬合。根據(jù)隨機誤差理論，實驗數(shù)據(jù)應均勻分布在曲線兩側(cè)，與曲線的距離盡可能小。個別偏離曲線較遠的點，應檢查標點是否錯誤，若無誤表明該點可能是錯誤數(shù)據(jù)，在連線時不予考慮。對于儀器儀表的校準曲線和定標曲線，連接時應將相鄰的兩點連成直線，整個曲線呈折線形狀。6.注解與說明在圖紙上要寫明圖線的名稱、坐標比例及必要的說明(主要指實驗條件)，并在恰當?shù)胤阶⒚髯髡咝彰?、日期等?.直線圖解法求待定常數(shù)直線圖解法首先是求出斜率和截距，進而得出完整的線性方程。其步驟如下：(1)選點。在直線上緊靠實驗數(shù)據(jù)兩個端點內(nèi)側(cè)取兩點、），并用不同于實驗數(shù)據(jù)的符號標明，在符號旁邊注明其坐標值(注意有效數(shù)字)。若選取的兩點距離較近，計算斜率時會減少有效數(shù)字的位數(shù)。這兩點既不能在實驗數(shù)據(jù)范圍以外取點，因為它已無實驗根據(jù)，也不能直接使用原始測量數(shù)據(jù)點計算斜率。(2)求斜率。設(shè)直線方程為，則斜率為(1-5-1)(3)求截距。截距的計算公式為(1-5-2)三、逐差法當兩個變量之間存在線性關(guān)系，且自變量為等差級數(shù)變化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)，既能充分利用實驗數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前后兩組，將對應項分別相減，然后再求平均值。例如，在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長量與所受的載荷(拉力)滿足線性關(guān)系實驗時等差地改變載荷，測得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：砝碼質(zhì)量/Kg1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000彈簧伸長位置/cm求每增加1Kg砝碼彈簧的平均伸長量。若不加思考進行逐項相減，很自然會采用下列公式計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)除和外，其它中間測量值都未用上，它與一次增加7個砝碼的單次測量等價。若用多項間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成前后兩組，前一組，后一組，然后對應項相減求平均，即這樣全部測量數(shù)據(jù)都用上，保持了多次測量的優(yōu)點，減少了隨機誤差，計算結(jié)果比前面的要準確些。逐差法計算簡便，特別是在檢查具有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)時，可隨時“逐差驗證”，及時發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律或錯誤數(shù)據(jù)。四、最小二乘法由一組實驗數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設(shè)物理量和之間的滿足線性關(guān)系，則函數(shù)形式為最小二乘法就是要用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)和，即直線的斜率和截距。++++++++++++圖1-5-2我們討論最簡單的情況，即每個測量值都是等精度的，且假定和值中只有有明顯的測量隨機誤差。如果和均有誤差，只要把誤差相對較小的變量作為即可。由實驗測量得到一組數(shù)據(jù)為，其中時對應的。由于測量總是有誤差的，我們將這些誤差歸結(jié)為的測量偏差，并記為，，…，，見圖1-5-2。這樣，將實驗數(shù)據(jù)代入方程后，得到我們要利用上述的方程組來確定和，那么和要滿足什么要求呢？顯然，比較合理的和是使，，…，數(shù)值上都比較小。但是，每次測量的誤差不會相同，反映在，，…，大小不一，而且符號也不盡相同。所以只能要求總的偏差最小，即令使為最小的條件是，，，由一階微商為零得解得(1-5-3)(1-5-4)令，，，，，則(1-5-5)(1-5-6)如果實驗是在已知和滿足線性關(guān)系下進行的，那么用上述最小二乘法線性擬合(又稱一元線性回歸)可解得