專題1-4 正弦定理和余弦定理解三角形19類題型128題匯編（解析版）

專題1-4正弦定理和余弦定理解三角形19類題型128題匯編TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理模塊一正余弦定理的基本運(yùn)算【題型1】正弦定理及辨析【題型2】已知兩邊及其夾角（余弦定理）【題型3】已知兩邊及一邊的對(duì)角（正弦或余弦定理）【題型4】已知三邊或三邊的數(shù)量關(guān)系【題型5】已知一邊一角及另外兩邊的關(guān)系【題型6】已知兩角及一邊模塊二正余弦定理的應(yīng)用【題型7】外接圓半徑【題型8】余弦定理的應(yīng)用(求值)【題型9】正弦定理的應(yīng)用（邊角互化,拆角與合角）【題型10】三角形的面積的相關(guān)計(jì)算【題型11】三角形的周長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算【題型12】正余弦定理的綜合應(yīng)用模塊三解三角形綜合【題型13】三角形解的個(gè)數(shù)問題【題型14】判斷三角形的形狀【題型15】三角形性質(zhì)綜合判斷【題型16】已知三角形形狀，結(jié)合余弦定理求范圍【題型18】解三角形的實(shí)際應(yīng)用【題型19】結(jié)合恒等變換，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)解三角形知識(shí)點(diǎn)梳理1.正弦定理與余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則正弦定理余弦定理適用范圍(1)已知兩角及任意一邊.(2)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角.(1)已知兩邊和夾角或已知三邊．(2)已知兩邊和一邊的對(duì)角．公式變形與應(yīng)用(1)，，.(2)，，.(3)三角形的邊長(zhǎng)之比等于對(duì)應(yīng)角的正弦比，即.(4)，，(5)大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊(6)合分比：，，.，，

2.三角形內(nèi)角和及三角形常見重要關(guān)系(1)內(nèi)角和定理：（結(jié)合誘導(dǎo)公式），進(jìn)而有等式子(2)三角函數(shù)關(guān)系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，；；．(4)角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.即若AD為∠A的角平分線，則有比例關(guān)系：.3.三角形常用面積公式（后3個(gè)解答題中不能直接用）(1)(ha表示邊a上的高).(2).(3)（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r.）(4)海倫公式：，即，其中為△ABC的半周長(zhǎng).(5)向量式：其中3.正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：每一項(xiàng)中都有邊或sin角且次數(shù)一致，即可實(shí)現(xiàn)邊和對(duì)應(yīng)sin角的互化（1）整式齊次式①邊的齊次式：②sin角的齊次式：（2）分式齊次式：4.拆角與合角的技巧1、化簡(jiǎn)后的式子同時(shí)含有三個(gè)角時(shí)，解題思路是減少角的個(gè)數(shù)，方法主要有以下兩種①合角如：②拆角——拆單角（“單身狗角”）如：，，（2），5.常見等式的化簡(jiǎn)中：①②（舍去） ①②①②，則或6.恒等變換（1）二倍角公式：，（2）二倍角公式的擴(kuò)角降冪：.，忘記了可以用二倍角公式推導(dǎo):記，則故，（3）輔助角公式：注意：，且與在同一象限7.三角形解的個(gè)數(shù)已知三角形的邊角邊，求另兩邊和另一角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定．已知邊邊角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定．具體做法如下：策略一：由正弦定理得，①若，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為0，即無解．②若，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為1，即一解．③若，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為1或2.策略二：結(jié)合圖像A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解8.判斷三角形形狀的策略利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線1.先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.2.先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換(因式分解、配方等)，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系,統(tǒng)一成邊的關(guān)系.注意：等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解．余弦定理判斷三角形形狀：（1）△ABC為直角三角形?或或.常見條件：∠C為直角，（2）△ABC為銳角三角形?，且，且.常見條件：（3）△ABC為鈍角三角形?或或.其它常見條件：（4）若，則或.9.解三角形中的實(shí)際應(yīng)用問題(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(2)方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②).(3)方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③).北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角).坡度指坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度，i＝tanθ).坡度又稱為坡比.

模塊一正余弦定理的基本運(yùn)算【題型1】正弦定理及辨析【例題講解】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理即得.【詳解】在中，由正弦定理，∴，，故ABD錯(cuò)誤，C正確.若在中，是的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】C【分析】在三角形中，結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：在三角形中，若，根據(jù)大角對(duì)大邊可得邊，由正弦定理，得．若，則正弦定理，得，根據(jù)大邊對(duì)大角，可知．所以，“”是“”的充要條件．【鞏固練習(xí)】在中，“”是“”的（

）．A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【詳解】由得，，，在中，所以，由正弦定理得，由大邊對(duì)大角的結(jié)論知，所以為充要條件．（多選）下列說法正確的有A．在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要條件D．在△ABC中，若sinA=，則A=【答案】AC【詳解】由正弦定理可得：即成立，故選項(xiàng)A正確；由可得或，即或，則是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在中，由正弦定理可得，則是的充要條件，故選項(xiàng)C正確；在△ABC中，若sinA=，則或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.（多選）在中，則下列條件是的充要條件的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】解：選項(xiàng)：利用正弦定理可得，故，等價(jià)于，而在中，等價(jià)于，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得，等價(jià)于，而在中，等價(jià)于，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，利用二倍角公式可得，所以，即，等價(jià)于，而在中，等價(jià)于，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)不能推出，如，時(shí)滿足，但由大角對(duì)大邊可得，故選項(xiàng)不正確．（多選）下列說法中正確的有（

）A．在中，B．在中，若，則C．在中，若，則；若，則D．在中，【答案】ACD【詳解】設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理得．對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，由二倍角公式得，則，即，整理得，即，則或，所以或，錯(cuò)誤；對(duì)于C，（大邊對(duì)大角），正確；對(duì)于D，，正確．故選：ACD.【題型2】已知兩邊及其夾角（余弦定理）【例題講解】三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為___________.【答案】【詳解】解：解方程可得此方程的根為2或，故夾角的余弦，由余弦定理可得三角形的另一邊長(zhǎng)為：．在中，若，則（

）A．25 B．5 C．4 D．【答案】B【詳解】在中，若，，，由余弦定理得.【鞏固練習(xí)】在中，角所對(duì)邊分別為．若，則______．【答案】【詳解】由余弦定理得，解得若中，，，，則______．【答案】或【詳解】因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，由余弦定理，因?yàn)?，，解得；?dāng)時(shí)，由余弦定理，因?yàn)?，，解?故答案為：或.【題型3】已知兩邊及一邊的對(duì)角（正弦或余弦定理）【例題講解】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，，，則______．【答案】【詳解】余弦定理：得即，解得（舍）正弦定理：，，再求出，比較麻煩在中，，則______.【答案】【詳解】根據(jù)正弦定理可知，代入題中數(shù)據(jù)，可知，所以【鞏固練習(xí)】在中，已知，，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【詳解】解：在中，因?yàn)椋?，，由余弦定理，即，解得或（舍去）在中，?nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，，，則的大小為（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【詳解】在中由正弦定理可得，即，解得，又因?yàn)?，所以在中，已知，，，b＝5，則c＝______．【答案】2【分析】由，得，再結(jié)合，得到角為鈍角，然后利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，b＝5，由，得，因?yàn)?，所以角為鈍角，則，由余弦定理得，即，解得或（舍去）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，則（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)，利用正弦定理求解.【詳解】解：在中，，由正弦定理得，所以，所以或已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及正弦定理可求得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t為銳角，且，因?yàn)?，由正弦定理可?【題型4】已知三邊或三邊的數(shù)量關(guān)系【例題講解】在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以由余弦定理得，又，則．【鞏固練習(xí)】在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【分析】由題意可設(shè)，再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋栽O(shè)，由余弦定理可得.在中，，則的最小角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根據(jù)條件給出的三邊確定的最小角為，直接利用余弦定理計(jì)算，即可完成求解.【詳解】由已知，在中，，因?yàn)?，所以的最小角為，所以，又因?yàn)?，所?在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由，得【題型5】已知一邊一角及另外兩邊的關(guān)系【例題講解】在中，已知，則____________．【答案】3或1【詳解】在中，，由余弦定理得，所以，得．由，得或，所以或1．【鞏固練習(xí)】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用余弦定理及完全平方公式計(jì)算可得.【詳解】解：由余弦定理可得，又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的值為___________.【答案】12【詳解】由余弦定理可得，即，解得，則，故．【題型6】已知兩角及一邊【例題講解】已知中，，則（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【詳解】因?yàn)樵谥?，，所以，所以，由正弦定理可得，故，故為銳角，所以，所以.【鞏固練習(xí)】在中，，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：.在中，若，，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)正弦定理有，結(jié)合，，，則．若，，，則等于（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【詳解】由題意因?yàn)椋?，由正弦定理可得，解得模塊二正余弦定理的應(yīng)用【題型7】外接圓半徑【例題講解】已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．若，則的外接圓半徑為____________．【答案】【詳解】根據(jù)余弦定理由，而，因此有，因?yàn)?，所以，由正弦定理可知的外接圓半徑為的外接圓半徑為3，則______．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)榈耐饨訄A半徑為3，由正弦定理可得：，則有，，所以，故答案為：.【鞏固練習(xí)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的外接圓半徑為______.【答案】【詳解】，則，由正弦定理，得故，展開化簡(jiǎn)得：，，，故，，即，∴外接圓直徑，故外接圓半徑為.在中,角，，所對(duì)的邊分別為，，，，則的外接圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用三角恒等變形化簡(jiǎn)，并利用同角三角函數(shù)公式求得，并利用正弦定理求外接圓半徑，即可求得三角形的面積.【詳解】由正弦定理可知,,即，因?yàn)?，，根據(jù)正弦定理可知，得，則的外接圓面積.在中,角，，所對(duì)的邊分別為，，，，則的外接圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正弦定理可知,,即，因?yàn)?，，根據(jù)正弦定理可知，得，則的外接圓面積.若的外接圓的半徑是3，且，，，則__________.【答案】5【詳解】，，,,【題型8】余弦定理的應(yīng)用(求值)【例題講解】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由余弦定理求出答案.【詳解】由得：，解得：在中，，則邊所對(duì)的角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，即，即，所?【鞏固練習(xí)】在中，角A，，的對(duì)邊分別為，，，且，則角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，∵，∴.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知及余弦定理知：，而，所以.已知中，，則角A等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由中，可得,由于,故在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因?yàn)?，所以或【題型9】正弦定理的應(yīng)用（邊角互化,拆角與合角）【例題講解】在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且，求角【答案】【詳解】由，得，∴，，，而，∴，即.在中，，求的值【答案】【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，求角B.【答案】【詳解】（1）∵，所以，，則，整理得，又，∴，而，∴記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，證明：；【詳解】（1）由題意：因?yàn)檎叶ɡ恚?，所以?duì)于，有，整理得：，所以，，因?yàn)锳，，為的三個(gè)角，所以，得.【鞏固練習(xí)】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.求B【答案】【詳解】由正弦定理及已知得，結(jié)合，得，因?yàn)?，所以，由，?的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，求角【答案】【詳解】由正弦定理可得：即：，由得：在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.求角.【答案】【詳解】由正弦定理知有，且，所以已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，滿足且．求角；【答案】【詳解】解：（1），由正弦定理得，即，又，所以，又，得的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足：.求【答案】；【分析】首先將已知等式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理將邊化角，即可求出結(jié)果；【詳解】（1），得，∴.在中，角A，，的對(duì)邊分別為，，，，求.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以或，?dāng)時(shí)，又，所以，當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足，綜上，.【題型10】三角形的面積的相關(guān)計(jì)算【例題講解】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，且.求角【答案】.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又，?已知中角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，求的面積．【答案】【分析】已知條件結(jié)合余弦定理求出，由公式求的面積．【詳解】由余弦定理，及，，得，即，又，得，所以．所以的面積【鞏固練習(xí)】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，若的面積為，求【答案】.【詳解】由，故的面積為得，解得或（舍），故.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，△ABC的面積為，，求a．【答案】，所以．由余弦定理可得，所以記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，當(dāng)時(shí)，求的面積S．【答案】【詳解】由題意可得：，，，，，，，，則【題型11】三角形的周長(zhǎng)的相關(guān)計(jì)算【例題講解】已知在中，角的對(duì)邊分別是，且，若，的面積為4，求的周長(zhǎng).【答案】【詳解】，，且的面積為，解得，所以，解得，故的周長(zhǎng)為.的角的對(duì)邊分別為的面積為，若，求的周長(zhǎng).【答案】【詳解】因?yàn)?，得①，又因?yàn)榈拿娣e為，所以有②，顯然，由①②得，所以，代入得，在中，因?yàn)椋?，得，所以的周長(zhǎng)為.

【鞏固練習(xí)】在△ABC中，已知，，，則△ABC周長(zhǎng)為______．【答案】12【分析】利用向量數(shù)量積的定義和余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，則△ABC周長(zhǎng)為.在中，所對(duì)的邊為，,，求的周長(zhǎng)．【答案】.【詳解】在中,∵,,∴,∴由正弦定理可得：,即，所以的周長(zhǎng)為.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面積為，求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周長(zhǎng)為.【題型12】正余弦定理的綜合應(yīng)用【例題講解】已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，即，所?（2）由題意可知，又，可得，所以，即為等腰三角形，由，解得或，因?yàn)椋?，所以，所?已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若，求sinA．【答案】或1．【詳解】方法一：因?yàn)?，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．因?yàn)椋瑒t，所以或，所以或，故或1．方法二：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫瑢⒋耄?）式得，整理得，因式分解得，解得或，①當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)?，所以，②?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以sinA的值為或1．【鞏固練習(xí)】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，求.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以所?在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，求.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所?（2023·深圳二模）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，證明:.【詳解】（1）由，得，則，由正弦定理和余弦定理得，化簡(jiǎn)得（2023·廣州一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，求.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所?在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且，求證：.【詳解】由題意得，即．所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，故，故，整理得．又為銳角三角形，則，，，所以，因此．模塊三解三角形綜合【題型13】三角形解的個(gè)數(shù)問題【例題講解】在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】方法1：A、B、C項(xiàng)通過解三角形來判斷其解的個(gè)數(shù)，D項(xiàng)通過大邊對(duì)大角與三角形的內(nèi)角和為可判斷其解的個(gè)數(shù).方法2：畫圖看三角形解的個(gè)數(shù).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得：∴a、c值唯一確定，∴只有一解.方法2：如圖所示，∴只有一解.

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解.方法2：如圖所示，∴只有一解.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，方法1：由正弦定理得：，解得：又∵

∴角B有兩個(gè)解.

方法2：如圖所示，∵，∴，∴角B有兩個(gè)解.

故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D項(xiàng)，方法1：∵，∴，又∵，∴，∴不存在這樣的三角形.方法2：如圖所示，∵，∴∴此時(shí)A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.中，已知，，.（1）若恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）若有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）若無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；【答案】（1）（2）（3）【解答】解：，，，由正弦定理得：，，若，即時(shí)，為直角，只有一解；若，即時(shí)，有兩種情況，三角形就有兩解；若，即時(shí)，只有一種情形，若，即，無解【鞏固練習(xí)】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（

）A．，，，有兩解 B．，，，有一解C．，，，有一解 D．，，，無解【答案】D【分析】已知，的前提下，利用直角構(gòu)造出關(guān)于的不等式，即可得出三角形的個(gè)數(shù)解.【詳解】因?yàn)?，，如圖于，由直角可得.當(dāng)或時(shí)，有一解；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有兩解.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，可知，選項(xiàng)A，B，C三項(xiàng)錯(cuò)誤.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，，則解此三角形的結(jié)果有（

）A．無解 B．一解 C．兩解 D．一解或兩解【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，推得，從而得到圓與射線有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得到滿足題意的三角形有兩個(gè)，由此得解.【詳解】依題意，作出，，落在射線上，過作于，如圖，則在中，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，故以為圓心，半徑為的圓與射線相交，即有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然，這個(gè)兩交點(diǎn)都可以作為點(diǎn)，與構(gòu)造，且，所以滿足題意的三角形有兩個(gè)，即解此三角形的結(jié)果有兩解.故選：C..中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，，若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是________【答案】【分析】根據(jù)求解即可得答案.【詳解】因?yàn)檫@個(gè)三角形有兩解，故滿足，即，解得.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，當(dāng)有兩解時(shí)，的取值范圍是A． B． C． D．，【答案】A【解答】解：當(dāng)有兩解時(shí)，，又，故，所以．在中，，，若當(dāng)時(shí)的有兩解，則的取值范圍是 ．【答案】，【解答】解：，由正弦定理可得：，，，．．當(dāng)時(shí)的有兩解，，解得，則的取值范圍是，在解三角形中，已知、、，給出下列說法：①若，且，則此三角形不存在；②若，則此三角形最多有一解；③當(dāng)，，則三角形不一定存在；④若，且，則此三角形為直角三角形，且；⑤當(dāng)，且，則三角形有兩解.其中正確的說法有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由已知的、、，根據(jù)正弦定理表示出，根據(jù)大邊對(duì)大角和大角對(duì)大邊與三角形的內(nèi)角和定理即可判斷①②③④；對(duì)于⑤，取一個(gè)特例時(shí)，，由為銳角，得到也為銳角，由此可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)正弦定理得：，對(duì)于①若，且，根據(jù)大邊對(duì)大角有，與內(nèi)角和定理矛盾，則此三角形不存在，故①對(duì)；②若，則為直角或鈍角，則一定為銳角，即此三角形最多有一解，故②對(duì)；③當(dāng)，，根據(jù)大邊對(duì)大角有，與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，則三角形一定不存在，故③錯(cuò)；④若，且，則，則，故④對(duì)；⑤當(dāng)時(shí)，，此三角形為等腰三角形，只有一解，當(dāng)，且時(shí)，三角形不一定有兩解，故⑤錯(cuò)；則其中正確說法的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：C．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若，且有唯一解，則的取值范圍是___________.【答案】或【分析】由正弦定理得，對(duì)分類討論，即可判斷【詳解】由正弦定理得，因?yàn)橛形ㄒ唤猓?dāng)時(shí)，即，唯一，符合題意，得；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值，不唯一，不合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，唯一，符合題意，得.所以的取值范圍為或.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．有無數(shù)解【答案】C【分析】利用正弦定理可得，由的取值范圍可求得的范圍，結(jié)合大邊對(duì)大角可知為銳角的一個(gè)，由此可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，則，，，，只能為銳角的一個(gè)值，只有一個(gè)解.【題型14】判斷三角形的形狀【例題講解】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【詳解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，則的形狀為等腰三角形.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【詳解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.【鞏固練習(xí)】在中，若，則的形狀是________．【答案】等腰三角形【分析】首先根據(jù)正弦定理角化邊公式得到，即可得到答案.【詳解】由題知：，則為等腰三角形.若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足，則△ABC是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】解：由正弦定理可得，令，為最長(zhǎng)的邊，角最大由余弦定理可得，所以角為直角，故是直角三角形．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，則是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【詳解】解：由及正弦定理得，即①，又，即②，將②代入①可得即③，將③代入①得，所以，從而為等邊三角形在中，（分別為角的對(duì)邊），則一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】∵，∴，即，根據(jù)余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，為直角三角形.在中，，且，是______三角形．【答案】等邊三角形【分析】先利用余弦定理求得，再利用兩角和與差的余弦公式求得，進(jìn)而求得，由此求得，據(jù)此得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，又，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，故，即，又因?yàn)?，所以，又，所以是等邊三角?在中，若，，則一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．無法確定【答案】A【分析】由，利用余弦定理可求，再利用三角形內(nèi)角的關(guān)系結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)可求，進(jìn)而可得三角形的形狀.【詳解】解：由，根據(jù)余弦定理，故，所以，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，從?所以三角形為等邊三角形在中，已知，則該三角形的形狀為A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解答】解：，根據(jù)正弦定理得，，，，且，，為鈍角，為鈍角三角形．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的形狀為A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由正弦定理知，，，，即，又，或0（舍，．，，即，為等腰直角三角形．在，其內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的形狀是A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解答】解：由正弦定理知，，，，或，或，或，即為直角三角形或等腰三角形．（多選）已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形【答案】ACD【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式以及，，為的內(nèi)角可判斷A；由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式可判斷B；由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷C；利用正弦定理化邊為角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，為的?nèi)角，所以，，都是銳角，所以是銳角三角形，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)；對(duì)于C：由及正弦定理化邊為角，可知，即，因?yàn)椋瑸榈膬?nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由和正弦定理化邊為角，易知，所以，因?yàn)椋?，為的?nèi)角，所以，所以是等邊三角形，故選項(xiàng)D正確（多選）在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，以下能獨(dú)立說明為等腰三角形的是A． B． C． D．【答案】AC【解答】解：根據(jù)正弦定理，由，得，所以為等腰三角形，選項(xiàng)正確；由，得或，所以或，因此為等腰三角形或直角三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，則，即，所以，即，為等腰三角形，選項(xiàng)正確；對(duì)于任意的三角形均滿足正弦定理，因此不能證明為等腰三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤（多選）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，以下結(jié)論中正確的有A．若，則 B．若，則一定為等腰三角形 C．若，則為直角三角形 D．若為銳角三角形，則【解答】解：對(duì)于，若成立，由正弦定理可得，所以，故正確；對(duì)于，由，得到或，可得或，則為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，可得若，整理可得：，可得．可得為直角三角形，故正確對(duì)于，若是銳角三角形，則，，，、、均是銳角，由正弦函數(shù)在單調(diào)遞增，所以：，故錯(cuò)誤．故選：．【題型15】三角形性質(zhì)綜合判斷【例題講解】（多選）下列結(jié)論正確的是A．在三角形中，若，則 B．在銳角三角形中，不等式恒成立 C．若，則三角形為等腰三角形 D．在銳角三角形中，【答案】【解答】解：三角形中，若，則，，即，正確；由為銳角可得，，即恒成立，正確；若，則或，三角形為等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；銳角三角形中，，所以，所以，同理，所以，正確．故選：．（多選）在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，則下列結(jié)論正確的是A．若，，，則三角形有一解 B． C．若，則一定為等腰三角形 D．若，，則面積的最大值為【解答】解：，三角形有兩解，錯(cuò)誤；，正確；由，得或，所以為等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；由題意可得，又，所以，所以，正確．故選：．【鞏固練習(xí)】（多選）在中，如下判斷正確的是A．若，則為等腰三角形 B．若，則 C．若為銳角三角形，則 D．若，則【答案】【解答】解：，，，或，或，則為等腰或直角三角形．故錯(cuò)誤．，，，，故正確．為銳角三角形，為銳角，，，，，故正確．，，，，故正確．（多選）在中，角所對(duì)的邊分別為，下列命題正確的是（

）A．若，的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍B．若，則一定為直角三角形C．若，則外接圓半徑為D．若，則一定是等邊三角形【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，，由正弦定理得，，，由于，所以，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，，，設(shè)三角形外接圓半徑為，則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，，故，同理可得，要使，則需，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確.（多選）在中，，，則A．當(dāng)時(shí)， B．不可能是直角三角形 C．的最大值為 D．面積的最大值為【答案】【解答】解：，，則，，中，，時(shí)，由余弦定理可得：，即，解得：，即，所以正確；中，若為直角三角形，則或?yàn)橹苯?，所以不正確；中，由余弦定理可得，所以的最小值為，所以的最大值為，所以不正確；中，以所在的直線為軸，以的中垂線為軸建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，由，即可得，，整理可得：，整理可得：，所以的軌跡是以，為圓心，以為半徑的圓，到軸的距離即到的最大距離為，所以，所以三角形長(zhǎng)度面積的最大值為，故正確（多選）在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則以下四個(gè)結(jié)論正確的有A．不可能是直角三角形 B．有可能是等邊三角形 C．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為15 D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】【解答】解：，，即，若為直角，由，可得，滿足條件的可能是直角三角形，故錯(cuò)誤；由于，故不可能是等邊三角形，故錯(cuò)誤；等時(shí)，，可得，可得的周長(zhǎng)為，故正確；當(dāng)時(shí)，，，由余弦定理可得，解得，，可得的面積為，故正確．（多選）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列說法中正確的是A． B．若，則為等腰三角形 C．若，則 D．若，則為銳角三角形【答案】【解答】解：對(duì)，，所以正確；對(duì)，，即，的內(nèi)角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)，由正弦定理得：，得：，整理得：，，或，故錯(cuò)誤；對(duì)：由題意知：、、中是最大的正數(shù)，由變形得：，，為銳角，又知為最大角，為銳角三角形，故正確（多選）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，的面積為，下列與有關(guān)的結(jié)論，正確的是A．若為銳角三角形，則 B．若，則 C．若，則一定是等腰三角形 D．若為非直角三角形，則【答案】【解答】解：對(duì)于：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，，，可得成立，故正確．對(duì)于，由于，可得，由正弦定理可得，故正確；對(duì)于，若，則由正弦定理得，即，則或，即或，則為等腰三角形或直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于為非直角三角形，所以，整理得，故正確（多選）下列命題中，正確的是A．在中，，則 B．在銳角中，不等式恒成立 C．在中，若，則必是等腰直角三角形 D．在中，若，，則必是等邊三角形【答案】【解答】解：對(duì)于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對(duì)于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確對(duì)于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯(cuò)誤．對(duì)于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確．（多選）已知中，角、、所對(duì)的邊分別是、、且，，有以下四個(gè)命題其中正確命題有A．滿足條件的可能是銳角三角形 B．滿足條件的不可能是直角三角形 C．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為15 D．當(dāng)時(shí)，若為的內(nèi)心，則的面積為【答案】【解答】解：對(duì)于，由于，，利用正弦定理可得，設(shè)，，由，可得，所以滿足條件的可能是銳角三角形，故正確；對(duì)于，由于，，利用正弦定理可得，設(shè)，，由，可得，滿足條件的可能是直角三角形，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，可得，由正弦定理可得，可得，由，可得，由，可得：，解得：，或（舍去），，可得，可得，可得：，，則，故正確；對(duì)于，，，，可得，由正弦定理可得，可得，由，可得，由，可得：，解得：，或（舍去），，可得，可得，可得：，，可得．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，．故正確．【題型16】已知三角形形狀，結(jié)合余弦定理求范圍【例題講解】若銳角三角形三邊長(zhǎng)分別為，則的范圍是________．【答案】【詳解】因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角，則設(shè)邊對(duì)的銳角為角，根據(jù)余弦定理得，解得；設(shè)邊對(duì)的銳角為，根據(jù)余弦定理得，解得，設(shè)邊對(duì)的銳角為角,根據(jù)余弦定理得恒成立;所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.已知中，，且，則的最大值為______.【答案】【分析】利用基本不等式結(jié)合余弦定理可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，進(jìn)而可求得的最大值.【詳解】由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，因?yàn)?，則，故.即的最大值為.【鞏固練習(xí)】在鈍角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則最大邊的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大邊的取值范圍是：.已知，，是一個(gè)鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，則的取值范圍是______.【答案】（0，2）【詳解】解：因?yàn)椋源巳切蔚淖畲筮厼?，設(shè)此邊所對(duì)應(yīng)的角為，則為鈍角，由余弦定理可得，即有，整理得，解得，又因?yàn)?，即，所以的取值范圍為?在鈍角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則最大邊的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大邊的取值范圍是：.在中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最小值是___________.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理以及基本不等式可求得答案.【詳解】解：由余弦定理得，又，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最小值是【題型18】解三角形的實(shí)際應(yīng)用類型1距離問題一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達(dá)處，這時(shí)塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為______.【答案】【解析】如圖，在中，由題意可知，，可得.在中，，，，∴，∴.在中，，∴.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為______米.【答案】【解析】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.如圖，為了測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，選取同一平面上的，兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：，，，，且四點(diǎn)共圓，則的長(zhǎng)為_________.【答案】7【解析】∵四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，測(cè)得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為______．【答案】【解析