人教A版選擇性必修532時(shí)函數(shù)的極值課件-4

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的極值新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值.3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系.1.了解函數(shù)的極值及相關(guān)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)在求極值中的應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值等相關(guān)的問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

基礎(chǔ)認(rèn)知·自主學(xué)習(xí)【導(dǎo)學(xué)素材】已知y=f(x)的圖象(如圖).【問題1】函數(shù)y=f(x)在b,c,d,e點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?【問題2】y=f(x)在b,c,d,e點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少?【問題3】在b,c,d,e點(diǎn)附近,y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律?

1.極值點(diǎn)與極值(1)極小值點(diǎn)與極小值定義:若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,就把__叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),____叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),上述定義等價(jià)于:若f'(a)=0,且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則a是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)是函數(shù)y=f(x)的極小值.af(a)(2)極大值點(diǎn)與極大值定義:若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,就把__叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),____叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),上述定義等價(jià)于:若f'(b)___,且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)___,右側(cè)f'(x)___,則b是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)是函數(shù)y=f(x)的極大值.2.極值點(diǎn)、極值的定義(1)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).(2)極小值、極大值統(tǒng)稱為極值.bf(b)=0>0<0【解透教材】1.對(duì)極值概念的理解(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念,是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值比較是最大的或是最小的.(2)在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)極大值或極小值并不唯一,也可能不存在,并且極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.2.極值與極值點(diǎn)辨析(1)極值點(diǎn)是指自變量x的值,即橫坐標(biāo),極值是指函數(shù)值y,即縱坐標(biāo).(2)極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部,端點(diǎn)不可能為極值點(diǎn).

【思考與交流】(1)函數(shù)y=|x|在x=0處是否取得極值?可導(dǎo)嗎?提示:由圖象易知,在x=0處,y=|x|取得極小值;x=0是一個(gè)“尖點(diǎn)”,不可導(dǎo).(2)函數(shù)的極小值唯一嗎?提示:不一定,有的函數(shù)無極小值,有的函數(shù)有唯一一個(gè)極小值,有的函數(shù)有多個(gè)極小值.(3)函數(shù)的極大值一定大于它的極小值嗎?提示:不一定.(4)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎?提示:不一定.例如對(duì)于函數(shù)f(x)=x3,雖有f'(0)=0,但x=0并不是f(x)=x3的極值點(diǎn),要使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)成為極值點(diǎn),還必須滿足其他條件.

2.(教材練習(xí)改編)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)(

)A.無極大值點(diǎn),有四個(gè)極小值點(diǎn)B.有三個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)C.有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)D.有四個(gè)極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn)

【解析】選C.由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系知,當(dāng)f'(x0)=0時(shí),在x0的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則f(x)在x=x0處取得極大值;若在x0的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則f(x)在x=x0處取得極小值,設(shè)y=f'(x)圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1,x2,x3,x4,則f(x)在x=x1,x=x3處取得極大值,在x=x2,x=x4處取得極小值.

4.已知函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù),下列命題中正確的是 (

)A.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.如果在x=x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值C.如果在x=x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極小值D.如果在x=x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極大值【解析】選B.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),還要滿足導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)值異號(hào),故A錯(cuò)誤;根據(jù)極值的概念,在x=x0附近的左側(cè)f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;在x=x0附近的右側(cè)f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,所以f(x0)為極大值,故B正確,C,D錯(cuò)誤.

能力形成·合作探究

4.函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)ex的極大值與極小值之和為 (

)A.e B.3 C.3-e D.3+e【解析】選D.根據(jù)題意得f'(x)=(x2-x)ex,令f'(x)=0,則x=0或1,當(dāng)x<0或x>1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,所以f(x)極小值=f(1)=e,f(x)極大值=f(0)=3,所以極大值與極小值之和為3+e.【解題策略】求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟(1)定義域:求函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo):求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)令f'(x)=0:求出方程f'(x)=0全部的根x0,即導(dǎo)函數(shù)f'(x)的零點(diǎn);(4)列表:方程的根x0將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間,把x,f'(x),f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格內(nèi);(5)結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)f'(x)在x0附近左正右負(fù),則函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;若左負(fù)右正,則函數(shù)f(x)取得極小值.【加固訓(xùn)練】當(dāng)x=1時(shí),三次函數(shù)有極大值4,當(dāng)x=3時(shí)有極小值0,且函數(shù)過原點(diǎn),則此函數(shù)是(

)A.y=x3+6x2+9x

B.y=x3-6x2+9x

C.y=x3-6x2-9x

D.y=x3+6x2-9x

2.函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的極小值點(diǎn)為________.

【解析】由f'(x)=3x2-6x=0,解得x=0或x=2.列表:所以當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極小值.答案:2x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

【解題策略】討論f(x)極值點(diǎn)的策略可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),一定是方程f'(x)=0的根(即導(dǎo)函數(shù)f'(x)的零點(diǎn)),反之不成立.對(duì)于導(dǎo)函數(shù)f'(x)的零點(diǎn),可采用f'(x)的圖象、解方程f'(x)=0、零點(diǎn)存在定理等方法尋找.

類型三

函數(shù)極值的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【典例】若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則a=________,b=________