橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程高二數(shù)學(xué)理科選修系列完整教學(xué)課件2

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第二課時(shí))有關(guān)橢圓的軌跡返回目錄1.

在例題和習(xí)題中,滿足什么樣條件的一些點(diǎn)的軌跡是橢圓?2.

如何用橢圓的定義確定點(diǎn)的軌跡方程?學(xué)習(xí)要點(diǎn)

例2.

如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x

軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M

的軌跡是什么?為什么?DMxyoP·分析:點(diǎn)M

被圓上的點(diǎn)P

帶動(dòng),假設(shè)能求出點(diǎn)M的軌跡方程,即可知道點(diǎn)M

的軌跡是什么.即可請(qǐng)點(diǎn)P

的坐標(biāo)將點(diǎn)M

的坐標(biāo)代入圓的方程,就可得到點(diǎn)M

的軌跡方程.

例2.

如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x

軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M

的軌跡是什么?為什么?DMxyoP·解:點(diǎn)P

的坐標(biāo)為(x0,y0),那么有x02+y02=4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M

的坐標(biāo)為(x,y),∵PD⊥x

軸,且M是PD的中點(diǎn),∴x=x0,得x0=x,y0=2y,①將②代入①得x2+(2y)2=4,整理得∴點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.②(請(qǐng)看軌跡的動(dòng)畫效果)請(qǐng)稍候

例2.

如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x

軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M

的軌跡是什么?為什么?DMxyoP·

例2.

如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x

軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M

的軌跡是什么?為什么?DMxyoP·這是將圓壓縮后得到的橢圓.當(dāng)壓縮為時(shí),橢圓的方程又是怎樣?當(dāng)PD

垂直y

軸時(shí),橢圓的方程又是怎樣?請(qǐng)同學(xué)們想想,做做:

例2.

如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x

軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M

的軌跡是什么?為什么?當(dāng)時(shí),DMxyoP·x0=x,代入圓的方程得整理得同樣是橢圓.

例2.

如圖,在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x

軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M

的軌跡是什么?為什么?xyoDMP·x0=2x,y0=y.代入圓的方程得整理得焦點(diǎn)在y

軸上的橢圓.當(dāng)PD⊥y

軸,M

為PD的中點(diǎn)時(shí),(2x)2+y2=4,b=2>a=1,

例3.

如圖,設(shè)點(diǎn)A、B

的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM、BM

相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是求點(diǎn)M

的軌跡方程.BMxyoA解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)得即整理得4x2+9y2-100=0,此方程可化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式:

例3.

如圖,設(shè)點(diǎn)A、B

的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM、BM

相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是求點(diǎn)M

的軌跡方程.BMxyoA解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)得即整理得4x2+9y2-100=0,此方程可化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式:當(dāng)M

在A、B

處時(shí),有一直線的斜率為0,不滿足題設(shè)條件.∴方程中需去掉y=0的點(diǎn).(y≠0).假設(shè)斜率之積為正數(shù)時(shí),曲線是橢圓嗎?練習(xí):(課本42頁)第4題.習(xí)題A組第1題.練習(xí):(課本42頁)

4.

點(diǎn)A,B

的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點(diǎn)M的軌跡是什么?為什么?BMxyoA解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)得即化簡得x=-3,當(dāng)M

在x

軸上時(shí),兩直線的斜率為0,不能做-3∴點(diǎn)M

的軌跡是去掉與x

軸交點(diǎn)的直線.除數(shù),習(xí)題A組1.

如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中,總滿足關(guān)系式點(diǎn)M

的軌跡是什么曲線?為什么?寫出它的方程.解:關(guān)系式表示點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F1(0,-3)與點(diǎn)F2(0,3)的距離之和等于10.∴點(diǎn)M

的軌跡是以F1,F2

為焦點(diǎn)的橢圓,2a=10,c=3,那么b2=a2-c2=16,由F1,F2

的位置知,焦點(diǎn)在y

軸上,∴方程為【課時(shí)小結(jié)】將圓壓縮所得曲線是一個(gè)橢圓.例2是對(duì)這一結(jié)論的一個(gè)證明.證明方法就是求出它的方程,其方程是一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例3證明了分別過兩定點(diǎn)的直線的斜率之積為一個(gè)負(fù)數(shù)(-1除外)時(shí),兩直線交點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓.熟悉橢圓的定義很重要.

習(xí)題的第一題,由定義判斷曲線,讓人豁然開朗,有走出大山進(jìn)平川的感覺.習(xí)題A組第7題.B組第1、2、3題.

7.

如圖,圓O的半徑為定長r,A

是圓O

內(nèi)一定點(diǎn),P

是圓上任意一點(diǎn).線段AP

的垂直平分線l和半徑OP

相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P

在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是什么?為什么?AOQPl解:∵l

是線段AP

的垂直平分線,∴|AQ|=|PQ|,那么|AQ|+|OQ|=|OP|=r,而O、A

是定點(diǎn),r

是定長,∴點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓,橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于圓的半徑.B組1.

如圖,DP⊥x

軸,點(diǎn)M

在DP

的延長線上,且當(dāng)點(diǎn)P

在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡的形狀,與例2相比,你有什么發(fā)現(xiàn)?DMxyoP解:點(diǎn)P

的坐標(biāo)為(x0,y0),那么有x02+y02=4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M

的坐標(biāo)為(x,y),∴x0=x,①整理得這是焦點(diǎn)在y

軸上∵PD⊥x

軸,且代入①得的橢圓.B組1.

如圖,DP⊥x

軸,點(diǎn)M

在DP

的延長線上,且當(dāng)點(diǎn)P

在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡的形狀,與例2相比,你有什么發(fā)現(xiàn)?DMxyoPDMxyoP·例2的點(diǎn)M在DP上,此題的點(diǎn)M在DP的延長線上,橢圓在圓內(nèi)與圓相切,橢圓在圓外與圓相切.焦點(diǎn)的x

軸上.焦點(diǎn)的y

軸上.

2.

一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么曲線.解:圓C1:x2+y2+6x+5=0的圓心為C1(-3,0),半徑圓C2:x2+y2-6x-91=0的圓心為C2(3,0),半徑(如圖)C1C2·xyO3M設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為r,那么

2.

一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程,并說明它是什么曲線.解:圓C1:x2+y2+6x+5=0的圓心為C1(-3,0),半徑圓C2:x2+y2-6