2024年廣東省深圳市二模數(shù)學(xué)試卷含詳解

2024年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

2024.4

本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛

筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;

如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的

答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知〃為正整數(shù)，且1>2”,則（）

A.n—\B.zz=2C.n=3D.n>4

2.已知正方體ABC。-ABCiR,過(guò)點(diǎn)A且以。耳為法向量平面為a,則a截該正方體所得截面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.對(duì)于任意集合下列關(guān)系正確的是（）

A.MdMNN=MNB.瘠NWN）=（”（%））

CMNN=MND.瘠N"N）=Q（%〃）

4.已知a>0,且awl,則函數(shù)》=1。8。［》+'1］的圖象一定經(jīng)過(guò)（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

5.己知z=^-,其中i為虛數(shù)單位，則z.（z-1）=（）

1+i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

6.已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)

獲得的名次情況可能有（）

A.72種B.96種C.144種D.288種

v2y2

7.P是橢圓C：—+=1(a>6>0)上一點(diǎn)，耳、B是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，「耳二?！?0，點(diǎn)。在』可尸廠2

a

的平分線上，O為原點(diǎn)，。?！ㄊ?，且|OQ|=>.則。的離心率為()

號(hào)B.4TY

8.設(shè)函數(shù)/(%)=%+/,g(x)=x+lnx,若存在4，巧，使得/(石)=g(%)，則|周一引的最小值為()

1

A.-B.1C.2D.e

e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知〃z,w是異面直線，mua,nu。,那么()

A.當(dāng)根_L?,或■時(shí)，a工/3

B.當(dāng)機(jī)//，，且〃//a時(shí)，alI[3

C.當(dāng)(/_1_，時(shí)，m±j3,或〃J_c

D.當(dāng)戊，￡不平行時(shí)，機(jī)與夕不平行，且〃與戊不平行

10.已知函數(shù)/(x)=sin&u+acosaw(xeR,(y>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示，則()

B.函數(shù)/[x—為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實(shí)數(shù)。，存在且唯一

D.“X)是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

11.設(shè)函數(shù)/(X)=區(qū)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù),則在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/(x)的圖象與圓

(%-z)2+(j+z)2=2？a>o)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本毛，巧，W的平均數(shù)為2，方差為1,則了；,x；,X；的平均數(shù)為.

13.己知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為0,則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

14.已知AABC中，tanO=3tan￡,雙曲線E以B,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則E的兩條漸近線的夾角為

22

；tan一+tan—的取值范圍為

22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，三棱柱A5C-A4G中，側(cè)面3瓦。0，底面ABC,且=.

(1)證明：平面A3C；

⑵若A4,=3C=2,/B4c=90°,求平面ABC與平面夾角的余弦值.

16.已知函數(shù)/(%)=(◎+l)e"/'(%)是"％)的導(dǎo)函數(shù)，且/'(￡)—/(x)=2e*.

(1)若曲線y=/(x)在x=0處的切線為、=丘+人，求左，》的值；

(2)在(1)的條件下，證明：f(x)>kx+b.

17.某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過(guò)調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠

試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件混合放在

一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來(lái)自甲工廠的個(gè)數(shù)為X,求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為了爭(zhēng)取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件

下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給

甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件8="該大型企業(yè)把零件交給甲工廠

生產(chǎn)”、己知0<尸(3)<1,證明：P(A|B)>P(A|B).

18.設(shè)拋物線C：必=2py(夕>0),直線/：y=履+2交C于A,B兩點(diǎn).過(guò)原點(diǎn)。作/的垂線，交直線y=-2

于點(diǎn)對(duì)任意ZeR,直線AM,AB,8M的斜率成等差數(shù)列.

(1)求C的方程；

(2)若直線/'/〃，且/'與C相切于點(diǎn)M證明：的面積不小于2后.

19.無(wú)窮數(shù)列火,電，…，為，…的定義如下：如果〃是偶數(shù)，就對(duì)w盡可能多次地除以2,直到得出一個(gè)奇數(shù),

這個(gè)奇數(shù)就是勾；如果〃是奇數(shù)，就對(duì)3〃+1盡可能多次地除以2,直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是4.

(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；

(2)如果/=相且,求加，n值；

⑶記為=/⑺，〃eN*，求一個(gè)正整數(shù)，，滿足"小)</("叫<</(/(/(〃))).

202447

2024年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

2024.4

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知〃為正整數(shù)，且">2",則（）

A.n=lB.n=2C.n=3D.n>4

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列二，探討該數(shù)列單調(diào)性即得.

2

、19

【詳解】令4=全n，幾￡N*,顯然q=—,%=1,%=—，

28

%=5+1)2+2n+1n'+2n+1

當(dāng)八時(shí),—5——丁<-5----------<1即4+i<4<%=1，

冊(cè)2"n~+nn+3n

因此當(dāng)n上4時(shí)，"〈2"，

所以w為正整數(shù)，且"〉2"，有〃=3.

故選：C

2.已知正方體ABC。-A4C］。］,過(guò)點(diǎn)A且以。珞為法向量的平面為a,則a截該正方體所得截面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】A

【分析】作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理得到。用，平面AC，，故平面a即為平面AC。1，得到截面的

形狀.

【詳解】連接ACAR,。。/。，

因?yàn)?片，平面A3CD,ACu平面A3CD,

所以5用LAC,

又四邊形A3CD為正方形，所以J.AC,

又BB［CBD=B,平面BBQ,

所以AC，平面34。，

因?yàn)槎?。u平面35］。，

所以AC，4。，

同理可證明A，，4。，

因?yàn)锳D]AC=A,AZ)i，ACu平面ACD],

故與。，平面ACDi,

故平面々即為平面ACR,

則a截該正方體所得截面的形狀為三角形.

故選：A

3.對(duì)于任意集合下列關(guān)系正確的是（）

A.M用小=乂NB.瘠N(MN)=(MWM)(%WN)

C.M飛乂群=MND.瘠w(MN)=(乂M

【答案】B

【分析】利用韋恩圖進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果.

對(duì)于A：如圖所知，5NN為區(qū)域①，所以Mu與VNN=M,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：般w（"cN）為區(qū)域①和③；（&*"）為區(qū)域③，（樂(lè)."）為區(qū)域①，則（期非0。（—NN）也

為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故B正確;

對(duì)于C：（樂(lè)加"）為區(qū)域①，Me與DNN為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為McN）,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：礪口/MCN）為區(qū)域①和③；而國(guó)0）以）為區(qū)域③，（小小"）為區(qū)域①，所以

（魏NM）C（“mN）為空集，所以D錯(cuò)誤;

故選：B.

4.已知。＞0,且awl,則函數(shù)y=log“（x+:］的圖象一定經(jīng)過(guò)（

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

【答案】D

【分析】由函數(shù)y=log（x+￡|過(guò)（0,—1）點(diǎn)，分類可解.

【詳解】當(dāng)％=0時(shí)，y=loga-=-l,

a

則當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)二、三、四象限；

則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、三、四象限;

所以函數(shù)＞=1。8，%+：）的圖象一定經(jīng)過(guò)三、四象限.

故選：D

5.已知z=?-,其中i為虛數(shù)單位，則z?(z-1)=()

1+i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得z=l-i，進(jìn)而I=l+i，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算即可求解.

2

【詳解】由題意知,z=-----

1+i

所以z=l+i,

所以,2_1)=(1+0(1-1)=1.

故選：B

6.已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)

獲得的名次情況可能有（）

A.72種B.96種C.144種D.288種

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】由題意，丙可能是4,5,6名，有3種情況，

若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種，

若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種，

所以所有符合條件的可能是72+72=144種.

故選：C.

22

7.P是橢圓C：=+二=1（a>6>0）上一點(diǎn)，耳、工是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，。耳二質(zhì)=0，點(diǎn)。在/耳尸工

ab

的平分線上，0為原點(diǎn)，OQ〃P￡,且|。。|=從則。的離心率為（）

A.IB.BC.逅D.也

2332

【答案】C

【分析】設(shè)歸耳|=加，|桃|=〃，由題意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解

離心率即可.

【詳解】如圖，設(shè)|W|=加，］。閭=〃，延長(zhǎng)。。交P&于A,

由題意知。。〃尸耳，。為耳心的中點(diǎn)，故A為產(chǎn)區(qū)中點(diǎn)，

m-\-n=2a

m—n—2bm-a+b

故有《加2+幾2=4/,化簡(jiǎn)得＜c，即〈

m+n-2an-a-b

b7+—1n=-1m

22

代入加2+〃2=4°2得(a+Z?)2=4c2,

即。2+/=2。2,由入2=。2一。2所以2a2=3。2,

所以/=2,e=旦.

33

故選：C.

8.設(shè)函數(shù)/(%)=%+e*,g(x)=x+lnx,若存在J巧，使得/(%)=8(%2)，則|周一引的最小值為()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由條件可得/(玉)=/(111々)，即可得到%=ln%,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=lnx—%,求導(dǎo)得其最值，

即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得/(x)=g(%2)，即%+e*=工2+111工2，

所以玉+=e瓜電+Inx2,

又/'(x)=l+e、>0,所以/(%)在R上單調(diào)遞增，

即/(%)=/(ln%2)，所以西=lnx2,

r

且|石-x2|=|lnx2-e1|=|lnx2-x2|,

令/z(x)=lnx-x,xe(0,+co),

則“'(x)=1=^--,其中x>0,

XX

令"(x)=0,則x=l,

當(dāng)xe(0,1)時(shí),//(x)>0,則力⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，則人⑴單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=1時(shí)，人(力有極大值，即最大值，

所以Zz(x)W/z(l)=T，

所以歸fL=H=L

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)同構(gòu)問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題，結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可

得到結(jié)果.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知相，”是異面直線，mua,nu/3,那么（）

A.當(dāng)m_L/?,或“J_a時(shí)，a，/3

B.當(dāng)加//分，且〃//a時(shí)，alIP

C.當(dāng)時(shí)，ml。,或〃J_tz

D.當(dāng)a,￡不平行時(shí)，機(jī)與夕不平行，且〃與&不平行

【答案】AB

【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

【詳解】A：當(dāng)/_L〃，根ua時(shí)，aV/3-

當(dāng)〃J_a,〃u/7時(shí)，aY/3,故A正確;

B：當(dāng)機(jī)//，，〃//。時(shí)，又以7?為異面直線，所以a//￡,故B正確;

C：當(dāng)。_1_萬(wàn)時(shí)，由根ua,得加//，或機(jī)與夕相交;

當(dāng)時(shí)，由〃<=/,得〃//a或九與a相交，故c錯(cuò)誤;

D：當(dāng)名萬(wàn)不平行時(shí)，可能機(jī)//，或機(jī)與/相交，〃//a或九與戊相交，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

10.已知函數(shù)/（x）=sinaw+acos。％（xeR,。>0）的最大值為2,其部分圖象如圖所示，貝U（

B.函數(shù)/[%-巳）為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實(shí)數(shù)。，存在且唯一

D.八%）是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

【答案】ACD

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最大值及/(。)>。求出。，由/=i求出。的取值,

再根據(jù)周期確定力的值，即可得到函數(shù)解析式，即可判斷.

【詳解】因?yàn)?(x)=sins+acos5=A/?nsin(5+0)(其中sin0=,:+]、?！?他=丁次不)，

又/(x)max=+1=2'解得a-±y/3'

又/(0)=Q>0,所以Q=故A正確；

貝(J/(x)=sin(ux+百cos<ux=2sin69%+—,

JT/7)JT511

結(jié)合圖象可知一+-=—+2kii,k&Z,所以0=2+8仁左eZ,

436

rri2itn

又；7〉/，所以<-->一

(D2,解得0<GV4,所以①=2,故C正確;

24

g〉0

所以/(x)=2sin[2x+1J,則/卜—[J=2sin2卜—1)+三=2sin2x為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

了(%)是周期函數(shù)，且最小正周期7=苧=兀，故D正確.

故選：ACD

11.設(shè)函數(shù)/(尤)=[可的函數(shù)值表示不超過(guò)彳的最大整數(shù)，則在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/(x)的圖象與圓

(%-z)2+(j+z)2=2?(r>0)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可以是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】ABD

【分析】由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，易知該圓過(guò)原點(diǎn)，作出函數(shù)〃力在》6[-3,3)的圖象，結(jié)合圖形分析，即可

求解.

【詳解】由(xT)2+(y+f)2=2嚴(yán)《>0),得該圓心為?,T),半徑為在，

易知該圓過(guò)原點(diǎn),由/(%)=[劃，當(dāng)xe[—3,3)時(shí),

—3,—3Wx<—2

-2,-2<x<-l

—1,—1<x<0

得/(x)=cc,，作出函數(shù)/（X）的圖象，如圖,

0,0<x<l

2,2<x<3

由圖可知，當(dāng)0</<1時(shí)，圓與函數(shù)/（幻的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

2

當(dāng)/=工時(shí)，圓與函數(shù)/（尤）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，

2

當(dāng);<區(qū)|時(shí)，圓與函數(shù)/（X）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

513

當(dāng)2<區(qū)萬(wàn)時(shí)，圓與函數(shù)/⑺的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

根據(jù)圓與函數(shù)/（x）的對(duì)稱性，后續(xù)交點(diǎn)情況類比即可.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于理解取整函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析圓與函數(shù)Ax）圖象交

點(diǎn)的個(gè)數(shù).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本與，巧，％的平均數(shù)為2，方差為1，則x；,X；,后的平均數(shù)為

【答案】5

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由題意知，=2,所以%+%+退=6，

由（3—2）2+（多；2）2+（三—2）2=],得町+君+后=15,

所以片+與+石=5.

3

故答案：5

13.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為0,則該圓錐的表面積為

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

【答案】87r

【分析】借助過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長(zhǎng)，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過(guò)圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設(shè)圓錐高為〃，母線長(zhǎng)為/,

則在三角形SOXB中有*+尸=/，即*+2=/2①，

又由SDOSC\B得&=吐其即/=&（〃一1）②，

rI

所以由①②得/=3虛,〃=4,

所以圓錐的表面積為S=5底+5=兀r2+兀力=2兀+6兀=8兀.

故答案為：87r.

14.已知△ABC中，tanO=3tan?,雙曲線E以B,C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則E的兩條漸近線的夾角為

22

AC

；tan—+tan—的取值范圍為

22

（G）

【答案】①.q②.￥，+s

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足M的位置，再由tanO=3tan￡得到雙曲線中仇c的關(guān)

22

系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)tan±=3tan2對(duì)所求式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)基本不等式求得范圍即可.

22

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c.

設(shè)，ABC的內(nèi)心為/,過(guò)點(diǎn)/向三邊作垂線，垂足分別為0.

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，IAP1=1ANI,I3尸|=|BM|,|CM\=\CN\,

又因?yàn)殡p曲線E以'C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4

所以MC-|叫|=2a,即||?UV|+|OV|-|AP|-IBP]=||OV|-|^||=||CA/|=2a,

因?yàn)閠an,0=3tanC,所以5>C,所以|AC|>|AB|,

22

所以點(diǎn)A在雙曲線的左支上，所以|CM|—|3M|=2a.

而|CM|+|5M|=2c,

所以|CM|=c+a,|BM\-c-a,

所以M為雙曲線的左頂點(diǎn).

,,BMICMlr

所cr以tan—=----,tan—=-----=------

2MBc-a2MCc+a

rrc

所以——=3——，即一=2,

c-ac+aa

所以2=百，漸近線的傾斜角為g,

a3

所以兩條漸近線的夾角為事.

1BC1個(gè)2c

1—tan—tan—1—3tan—

A7l-(B+C)122213C

又因?yàn)閠an—=tan------方—Ttan—,

B+CBC

22tan-----t-a-n——I-tan——4，tan—C4tan—042

22222

AC11C

tan——I-tan——H—tsn—

所以，

224“tan—c42

2

而tail'd0,

11C

+—tan——>

所以―C

4tan—42

2、

故答案為：—

7

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)和三角形的最值.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)tanO=3tanC作出三角形

22

的內(nèi)心，從而根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，三棱柱ABC-44cl中，側(cè)面3瓦CO,底面ABC,且A6=AC,AtBA,C.

(1)證明：平面A3C；

(2)若A4,=3c=2,/B4c=90°,求平面ABC與平面4BG夾角的余弦值?

【答案】(1)證明見解析;

⑵叵.

5

【分析】(1)取3C的中點(diǎn)M,連結(jié)MA、M\,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得平面A肱i，進(jìn)

而由AAB]B得B國(guó)人BC,再證明用5,平面ABC即可得證.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于48的垂面，從而得出二面角的平面角

再進(jìn)行求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

取BC的中點(diǎn)M,連結(jié)MA、MAX.

因?yàn)锳B=AC,AiB=AiC,所以3C_LAM,BC,

由于AM,AMu平面4M4,且AMcAA/=M,

因此平面AMA,

因?yàn)锳Au平面AM4,所以

又因AAB}B,所以用5人BC,

因?yàn)槠矫?片GC,平面ABC,平面BBGCl1平面A5C=5C,且與Bu平面54CC，所以耳3,平面ABC,

因?yàn)锳AB}B,所以明，平面ABC.

【小問(wèn)2詳解】

法一：因?yàn)?B4C=90°,且BC=2,所以43=4。=行?

以AB,AC,AA]所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-召z,

則A(0,0,2),B(V2,o,o),C(O,V2,O),q(0,72,2).

所以”=("0,-2),4。=(0,6—2),后=(0，W

m-A^B=0yjlxi-2zj=0

設(shè)平面ABC的法向量為加=(%,%,zj,貝|卜可得《

m-A^C=0yflyi-2z1=0

令4=1,則m=(0,0,1),

/、\n-A}B=0{42x?-2z?=0

設(shè)平面43cl的法向量為〃=(W，%,Z,),貝叫，可得|,

n-A.C^O［岳2=0

令Z2=l,貝!|“=(0,0,1),

\m-n\3=A

設(shè)平面ABC與平面48cl夾角為e,則cos6=^^

\m\\n\A/?X石—5

所以平面AXBC與平面43G夾角的余弦值為半

法二：將直三棱柱ABC-A[3]G補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABDC—442G.

連接G。，過(guò)點(diǎn)C作CP，G。，垂足為P,再過(guò)尸作PQ,45,垂足為。連接C。

因?yàn)?0工平面CDRG,且CPU平面CDDG,

所以BQLCP,

又因?yàn)镃P，G。，由于8。，C]Du平面AB￡)G，且3。C1D=D,

所以CP,平面ABDG，則.CPQ為直角三角形，

由于ABu平面ABOG，所以A]B，CP,

因?yàn)镃P，PQu平面CP。，且"PQ=P,所以A5J_平面CPQ,

因?yàn)镃Qu平面CPQ,所以CQ^AB,

則/C。尸為平面\BC與平面43cl的夾角或補(bǔ)角，

在ABC中，由等面積法可得CQ=粵，

因?yàn)镻Q=4G=后，所以cos/CQP=母=半，

因此平面A,BC與平面\BCX夾角的余弦值為半.

16.已知函數(shù)/(%)=(◎+l)e"/'(%)是"％)導(dǎo)函數(shù)，且/'(%)—/(x)=2e1

⑴若曲線y=/(x)在尤=0處的切線為丫=履+方，求鼠b的值；

(2)在⑴的條件下，證明：f(x)>kx+b.

【答案】(1)k=3,Z?=l；

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得。的值，再由導(dǎo)數(shù)意義可求切線，得到答案；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e*—3x—1,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性從而求出最小值大于0,可得證.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=(av+l)e",所以/'(X)=(tzx+a+l)e”,

因?yàn)閞(x)—/(x)=2e"所以a=2.

則曲線y=/(x)在點(diǎn)x=0處的切線斜率為/(0)=3.

又因?yàn)?(0)=1，

所以曲線>=/(尤)在點(diǎn)x=0處的切線方程為丁=3x+1,

即得左=3,b=l.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+l)e*—3x—l,xeR,

貝i]g<x)=(2x+3)e、-3,

設(shè)/z(x)=g，(x),貝！]"(x)=e'(2x+5),

所以，當(dāng)x〉—g時(shí)，/z'(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間'(O)=O,

所以，x>0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

—g<x<0時(shí)，g'(%)<0,g(x)單調(diào)遞減.

又當(dāng)時(shí)，g,(x)=(2x+3)ev-3<0,

綜上g(x)在(-^,0)上單調(diào)遞減，在(0,+“)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e*-3x-1N0,

所以，當(dāng)xeR時(shí)，/(x"3x+L

17.某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過(guò)調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠

試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件混合放在

一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來(lái)自甲工廠的個(gè)數(shù)為X,求X的

分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)為了爭(zhēng)取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件

下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給

甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件3="該大型企業(yè)把零件交給甲工廠

生產(chǎn)”、已知0<尸(6)<1,證明：P(A|B)>P(A|B).

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析.

【分析】(1)設(shè)出甲乙兩廠的零件數(shù)，表示事件發(fā)生的概率，由題意知X服從二項(xiàng)分布，寫出分布列和期望即可.

(2)因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指

標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，即P(冏A)>尸(3區(qū))，化簡(jiǎn)變形即可證得.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有機(jī)件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有W件，

事件M="混合放在一起零件來(lái)自甲工廠"，事件N="混合放在一起零件來(lái)自乙工廠"，事件C="混合放在一起

的某一零件是合格品”，

則P(N)=-^—,

m+nm+n

P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)

rnn

=94%x------+98%x-------=97%,

m+nm+n

計(jì)算得3加二口.

所以=工.

m+n4

X的可能取值為0,1,2,3,

13

E(X)=3x-=-,

V'44

p(x=o)=4m?p(x=i)=cm)Y,

P(X=2)=C；HJt，P(x=3)=C；m$.

所以，x的分布列為：

X0123

272791

p

64646464

【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠

不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，

所以網(wǎng)5|力＞網(wǎng)司可.

尸（煙尸（四

尸（A）P（A）

因?yàn)槭ˋ）＞0,P（A）＞0,

所以P（AB）P（A）＞P西P（A）.

因?yàn)镻（可=1—P（A）,P（AB）=P（B）-P（AB）,

所以P（AB.l-P（A））＞（P（B）-尸（AB））P（A）.

即得尸（AB）＞尸（A）尸（B）,

所以尸（AB）-尸（AB）尸（3）＞尸（A）尸（3）-尸（AB）尸（3）.

即P（AB）（1-P（B））＞P（B）（P（A）-P（AB））.

又因?yàn)?-P（3）=P⑻，P（A）-P（AB）=P（AB）,

所以P（AB）P（可＞P（B）P（AB）.

因?yàn)?＜尸（5）＜1,O＜P（B）＜1,

P（AB）

所以P（A方B}〉

即得證P（A|B）＞P（山豆）.

18.設(shè)拋物線C：x2=2py（。＞0）,直線/：y=Ax+2交C于A,B兩點(diǎn).過(guò)原點(diǎn)。作/的垂線，交直線,=一2

于點(diǎn)M.對(duì)任意人eR,直線AM,AB,8M的斜率成等差數(shù)列.

（1）求C的方程；

（2）若直線/'/〃，且/'與C相切于點(diǎn)N,證明：的面積不小于2行.

【答案】（1）為2=4y；

（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)題意，分左=0與左W0代入計(jì)算，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，再由等差中

項(xiàng)的定義列出方程，即可得到結(jié)果；

（2）方法一：聯(lián)立直線/'與拋物線的方程，表示出A3中點(diǎn)E的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線可得△AMN面積

為—面積的;，結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，即可證明；方法二聯(lián)立直線/,與拋物線的方程，再由A=。,

得72=-公，點(diǎn)N（2匕左2）,即可得到直線MN與無(wú)軸垂直，再由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可證明.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)點(diǎn)4(%,%),8(尤2,%)，

由題可知，當(dāng)左=0時(shí)，顯然有仁w+&M=0；

當(dāng)左W0時(shí)，直線OM的方程為'=—!》，點(diǎn)"（2匕一2）.

k

聯(lián)立直線A3與C的方程得Y-2夕去一4P=0,A=4p2k2+16p〉0,

所以玉+/=2pk,玉％=—4p,

因?yàn)橹本€AM,AB,5M的斜率成等差數(shù)列,

—+4+>+4=2k的+4)(%-21)+?+4)&-2>)=2k

x「2kx2-2k，&-24)(%2一24)

化簡(jiǎn)得2(左~+2)(尤］+%—4k)=0.

將％+x2=22上代入上式得2(左？+2)(2p左一4左)=0,

則p=2,

所以曲線C的方程為_?=4y.

（法一）設(shè)直線/'：y=kx+n,聯(lián)立C的方程，得4依一4〃=0.

由A=0,得〃=一產(chǎn)，點(diǎn)N（2匕左2）,

設(shè)AB的中點(diǎn)為E,

因?yàn)槭苌现?2左，生4=史匚山+3=2左2+2,則點(diǎn)E（2左,2左2+2

222、

因?yàn)橹?2一2=公,

2

所以點(diǎn)M,N,E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)N為ME的中點(diǎn),

所以面積為面積的’.

4

記△AM/V的面積為S,點(diǎn)A/（2左,一2）到直線48：fcv—y+2=0的距皆d=/=,

42+1

11I/：（2K+4）/\2,—

V72

所以S=jA3|xd=w，l+/x?。ò?々）~—4%尤2x^2=（F+2）>2V2,

當(dāng)左=0