第二節(jié)2-5函數(shù)的微分

第二節(jié)2-5函數(shù)的微分★微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用2.5函數(shù)的微分★引言★微分的定義☆例☆例☆例☆例★函數(shù)可微的條件★微分的幾何意義★微分公式與微分運(yùn)算法則☆例☆例★微分的形式不變性☆例★內(nèi)容小結(jié)★思考題★練習(xí)題前面我們從變化率問題引出了導(dǎo)數(shù)概念，它是微分學(xué)的一個(gè)重要概念。返回在工程技術(shù)中，還會(huì)遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的另一類問題，這就是當(dāng)自變量有一個(gè)微小的增量時(shí)，要求計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的增量。一般來說，計(jì)算函數(shù)增量的準(zhǔn)確值是比較繁難的，所以需要考慮用簡便的計(jì)算方法來計(jì)算它的近似值。由此引出了微分學(xué)的另一個(gè)基本概念——微分。2.5.1微分的定義計(jì)算正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。返回實(shí)例1:實(shí)例2,既容易計(jì)算又是較好的近似值問題:這個(gè)△x的線性函數(shù)返回是否存在于所有函數(shù)的改變量中?(即函數(shù)改變量的主要部分)它是什么?如何得到?解：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,可表示為如果函數(shù)在點(diǎn)x0處的改變量

y=f(x0+

x)–f(x0)

y=A

x+o(

x),則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是可微的,返回微分的定義其中A是與

x無關(guān)的常數(shù),即且稱A

x為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的微分,記做dy,定義說明：(1)是自變量的改變量的線性函數(shù)；(2)(3)(4)返回

y=A

x+o(

x),(一次函數(shù))(一次主要部份)返回對(duì)比y=A

x+o(

x),2.5.2函數(shù)可微的條件定理返回返回返回返回2.5.3微分的幾何意義幾何意義:(如圖)MT）

PNQ返回法則:函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分。返回由于我們已經(jīng)掌握求導(dǎo)數(shù)的方法，因此，求微分的方法我們已經(jīng)基本掌握了。例

求函數(shù)y=f(x)=x

2當(dāng)x由2改變到2.02時(shí)的增量和微分。解：由已知條件得:x=2,返回dx=

x=0.02,

故函數(shù)的微分為dy=

f'(x)dx函數(shù)的增量為

當(dāng)

x=2,

x=0.02時(shí),

=2x

dx.例解：返回補(bǔ)例:解：返回2.5.4基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則返回將導(dǎo)數(shù)公式稍作變形，即得到微分公式。微分公式有其獨(dú)立的意義和作用。返回1.基本初等函數(shù)的微分公式(16+3)法則:函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分。2.微分的四則運(yùn)算法則(4)返回記憶方法：將導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則中，變量右上角的導(dǎo)數(shù)符號(hào)“'”改為變量前的“d”。注意：乘積關(guān)系中，微分部份居后。2.5.5復(fù)合函數(shù)的微分——微分形式的不變性則復(fù)合函數(shù)y=f

[u(x)]的微分是由于u

(x)dx=du,由此可見,無論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分是dy=f

(u)du.返回這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。

設(shè)y=f(u)對(duì)u

可導(dǎo),當(dāng)u是自變量時(shí)，設(shè)y=f(u)及u=u(x)均可導(dǎo),所以dy=f

(u)du.

dy=f

(u)u

(x)dx，微分形式dy=f

(u)du保持不變。返回微分方法總結(jié)1、求導(dǎo)法：(1)先求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),(2)寫出函數(shù)y=f(x)的微分dy=f'(x)dx。2、微分法：直接應(yīng)用微分公式。既可以用導(dǎo)數(shù)法求微分，也可以用微分法求導(dǎo)數(shù)?！莆樟宋⒎止街蟆＠夥ㄒ唬呵髮?dǎo)法返回解法二：微分法函數(shù)微分的兩種求法

即得到函數(shù)微分dy=f'(x)dx2、微分法：兩種方法可以靈活選擇。(3)復(fù)合函數(shù)的微分法則(1)基本初等函數(shù)的微分公式dy=f'(x)dx--16+3個(gè)公式(2)四則運(yùn)算函數(shù)的微分法則導(dǎo)數(shù)法則中后'改為前d--4個(gè)法則——必須記憶微分法則。1、求導(dǎo)法：先計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x),再將結(jié)果乘以自變量的微分dx，——不用記憶微分法則套用微分公式:例解法一：求導(dǎo)法返回解法二：微分法例解法一：等號(hào)兩邊同時(shí)求微分，返回要求對(duì)隱函數(shù)求微分、求導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用微分法得兩邊微分，有例解法二：應(yīng)用取對(duì)數(shù)法返回兩邊取對(duì)數(shù)得+微分法例解法三：等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得返回要求對(duì)隱函數(shù)求微分、求導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用求導(dǎo)法例解法四：應(yīng)用取對(duì)數(shù)法返回在等號(hào)兩端取對(duì)數(shù)，得+求導(dǎo)法，在等號(hào)兩端對(duì)x求導(dǎo)，得例2.5.6求dy解返回2.5.6微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用（不作要求）1.計(jì)算函數(shù)點(diǎn)值的近似值返回2.計(jì)算函數(shù)增量的近似值返回需要鍍上0.01cm厚的金屬漆,鍍一只這樣的金屬球大例

有一批半徑為10cm的金屬球,為了裝飾需要，

解:由于球體體積為分析：這是求球體V增量△V的近似值dV約需要多少體積的金屬漆？返回可知,鍍一只這樣的金屬球,大約需要12.56cm3金屬漆。例

利用微分求sin6030’的近似值解令f(x)=sinx,

則f'(x)=cosx,返回分析：這是求函數(shù)f(x)在x0+△x處的值f(x0+△x)的近似值例

證明：當(dāng)|x|很小時(shí)，ln(1+x)≈x證作輔助函數(shù)

f(x)=ln(1+x),由終值近似公式即

返回得(1)式成為當(dāng)|x|很小時(shí)，ln(1+x)≈x。3.常用近似公式（由