2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)11解三角形基礎(chǔ)題

單元復(fù)習(xí)11解三角形01正弦定理、余弦定理一、單選題1．在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別是，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理直接求解即可.【解析】因?yàn)椋?，所以由正弦定理得?故選：B.2．在中，若，則（

）A．25 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】利用余弦定理直接求解.【解析】在中，若，，，由余弦定理得.故選：B3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則必為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】由正弦定理得到，得出，進(jìn)而，即可求解.【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以為鈍角三角形.故選：A.4．如果銳角的外接圓圓心為，則點(diǎn)到三邊的距離之比為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)外接圓半徑，連接，設(shè)點(diǎn)到三邊的距離分別為，,再結(jié)合正弦定理可求得.【解析】如圖，設(shè)外接圓半徑，連接，在三角形中，的對角分別為，設(shè)點(diǎn)到三邊的距離分別為，由銳角知均為正數(shù)，由外接圓知，所以，同理:，，所以，由正弦定理得，所以，又，所以，所以.故選：B.5．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則的值是（

）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合題干條件可得到，再由余弦定理得，代入已知條件可得到最終結(jié)果.【解析】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得到：故得到再由余弦定理得到：代入，，得到.故選：A.6．在中，角A、、所對的邊分別為、、，且若，則的形狀是（

）A．等腰且非等邊三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化邊為角得，代入另一已知得，從而得三角形形狀．【解析】∵，所以，又，∴，∵，∴，，，∴，從而，為等邊三角形，故選：C．7．已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對邊分別為，若，且，則A=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由誘導(dǎo)公式根據(jù)正弦定理可得，從而可得，由余弦定理可得，從而可得結(jié)果.【解析】由得，由正弦定理得，，則，由余弦定理得，，由得，故選：A.8．已知銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡可得出，根據(jù)為銳角三角形可求得角的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡得出，求出的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【解析】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因?yàn)?，則，因?yàn)榇嬖谧畲笾担瑒t，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.二、多選題9．的內(nèi)角??的對邊分別為??，，，則可以為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】AB【分析】根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)正弦的范圍選擇即可【解析】在中，，，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)椋?，所以可以?，8故選：AB10．三角形中，角的對邊分別為，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用正余弦定理逐一判斷即可【解析】A：由可知，且，所以是銳角，故A不能判斷；B：由,得，則為鈍角，故B能判斷；C：由正弦定理，得，則，，故C能判斷；D：由正弦定理，條件等價(jià)于=，則，即，故，則，故D不能判斷.故選：BC11．不解三角形，則下列對三角形解的個(gè)數(shù)的判斷中正確的是（

）A．，有一解 B．，有兩解C．，有兩解 D．，無解【答案】AD【分析】應(yīng)用正弦定理結(jié)合各選項(xiàng)的條件求，由三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【解析】A：由正弦定理，又，故只有一個(gè)解，正確；B：由正弦定理，又，顯然只有一個(gè)解，錯(cuò)誤；C：由正弦定理，顯然無解，錯(cuò)誤；D：由正弦定理，顯然無解，正確；故選：AD12．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【分析】利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡，可判斷A;結(jié)合銳角，可判斷B;利用正弦定理邊化角結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判斷C;將化簡為，結(jié)合A的范圍，利用對勾函數(shù)單調(diào)性，可判斷D.【解析】由題意得在銳角中，，∴由正弦定理可得，又，故，即，，為銳角，，即，故選項(xiàng)A正確；在銳角中，，，故B正確；由，故C錯(cuò)誤；,又，，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在時(shí)單調(diào)遞增，，，故，故D正確．故選：．三、填空題13．已知在中，，則等于________.【答案】【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出【解析】因?yàn)樵谥校?，所以正弦定理可得，則令（），由余弦定理得，故答案為：14．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則角的大小為_________．【答案】##【分析】由正弦定理得，化簡得到，進(jìn)而求得的值，即可求解.【解析】因?yàn)?，可得的，由正弦定理得，因?yàn)?，化簡得，又因?yàn)?，可得，所以，又由，可?故答案為：.15．在中，設(shè)、、分別是三個(gè)內(nèi)角、、所對的邊，，，面積，則內(nèi)角的大小為__．【答案】或【分析】由三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【解析】∵的面積，∴，∵，∴或．故答案為：或.16．已知的面積為1，角的對邊分別為，若，，則___________【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，并利用余弦定理求出，再借助和角的余弦及三角形的面積公式求解作答.【解析】在中，由已知及正弦定理，得，即.由余弦定理，得，又，，因此，又，所以，由正弦定理，得，因?yàn)榈拿娣e為1，所以，解得，又，所以.故答案為：.四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，，求：(1)角B；(2)的面積S.【答案】(1)(2).【分析】(1)正弦定理求解；(2)根據(jù)面積公式求解.【解析】（1）由正弦定理，得，因?yàn)樵谥?，且，所?（2）因?yàn)?，所?所以.18．已知角所對的邊分別為,的周長為,且.(1)求邊的長;(2)若的面積為,求角的度數(shù).【答案】(1)2；(2).【分析】(1)根據(jù)正弦定理可將化簡為,再根據(jù)的周長即可求得;(2)根據(jù)三角形面積公式可得,根據(jù)(1)中的結(jié)論可得,再根據(jù)余弦定理即可求得角.【解析】（1）由題意得:，在中,將正弦定理代入可得，又,即，所以；（2）由(1)知,,所以，因?yàn)?，所?又有，所以，因?yàn)?，所?19．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)若b＝3，當(dāng)角A最大時(shí)，求的面積．【答案】(1)0(2)【分析】（1）已知等式由正弦定理邊化角，由，用兩角和的正弦公式展開后化簡，用商數(shù)關(guān)系弦化切即能得到結(jié)果；（2）由已知得C為鈍角，當(dāng)角A最大時(shí)，最大，由且，利用基本不等式求得最大值，解得，可求，解得，由面積公式求的面積．【解析】（1），由正弦定理得，所以，即，有，所以.（2）因?yàn)椋?，即C為鈍角，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，，，20．記的內(nèi)角的邊分別是,分別以為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為,已知,．(1)求的面積;(2)若,求邊的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)正三角形的面積寫出,代入進(jìn)行化簡可得,代入余弦定理中可得,即,根據(jù),求出代入,即可求得,根據(jù)面積公式即可求得;(2)由(1)知,對正弦定理變形可得到,將代入即可得.【解析】（1）由題意得,,,則,即,在中,由余弦定理,整理得,則,又,則,所以,則.（2）在中,由正弦定理得:,則,所以.21．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知______．(1)求角C的值；(2)若的面積，試判斷的形狀．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)鈍角三角形【分析】(1)方案一：選條選①，根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式得到，再利用誘導(dǎo)公式和三角形內(nèi)角和定理即可求解；方案二：選條選②，先利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和三角形內(nèi)角和定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求解；方案三：選條件③，利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式得出，然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論利用余弦定理和三角形面積可得，然后代入即可求解.【解析】（1）方案一：選條選①．由，得，得，即．∵，∴，∴，又，∴．方案二：選條件②．由，得，即，于是，因此，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，故．方案三：選條件③．由正弦定理，得，即，∴，又，∴，∴，即，∴．（2）在中，，由余弦定理得，又，∴，整理得，得，此時(shí)，∴，∴B為鈍角，故是鈍角三角形．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷三角形形狀的方法：（1）角化邊，通過正、余弦定理化角為邊，通過因式分解、配方等方法得出邊與邊之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷；（2）邊化角，通過正、余弦定理化邊為角，利用三角恒等變換、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式等推出角與角之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)、提取公因式，否則會(huì)有遺漏一種情況的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制．22．已知在中，角，，的對邊分別為．(1)若邊的中線長為3，對，且，恒成立，試判斷“”是否成立？(2)若為非直角三角形，且，其中．（ⅰ）證明：；（ⅱ）是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個(gè)滿足條件的，并證明之；若不存在，請給出一個(gè)理由．參考公式：【答案】(1)答案見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，證明見解析【分析】（1）依題意建立平面直角坐標(biāo)系，由恒成立得，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得；（2）（?。┯烧叶ɡ韺⑦吇?，利用和差化積、和差角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；（ⅱ）由（ⅰ）及，即可得到整理可得，從而得解；(1)解：法一：設(shè)P為邊AB上一點(diǎn)，則由對，且，恒成立得，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，設(shè)，（），，∴，，則由得，∴恒成立，∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，∴若則恒成立，∴恒成立，若則恒成立，∴恒成立，∴，∴，又為中點(diǎn)，∴．法二：設(shè)P為邊AB上一點(diǎn)，則由對，且，恒成立得，令，則∴若，則由得P在BD上，即，這與矛盾∴不成立若，則由得P在AD上，即，這與矛盾∴不成立若，則由得P在AB上，即，這與符合∴；(2)解：（?。┯杉罢叶ɡ淼?，所以，因?yàn)椋?，有，由兩角和、差的余弦公式可得，整理得，故．（ⅱ）∵又∵∴，展開整理得，∴，即，即，∴與作比較可知存在且．02解三角形的應(yīng)用一、單選題1．如圖，兩點(diǎn)在河的兩岸，在同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)，測得的距離，則兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理求解即可【解析】因?yàn)?，故，由正弦定理，，故m故選：D2．如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（

）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上【答案】D【分析】根據(jù)題意求出各角的度數(shù)，確定，故燈塔A在燈塔B的南偏西方向上.【解析】由條件及題圖可知，為等腰三角形，所以，又，所以，所以，因此燈塔A在燈塔B的南偏西方向上．故選：D．3．小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測角儀和校園旗桿的拉繩測量校園旗桿的高度，如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等，小明先將PB拉到的位置，測得（為水平線），測角儀的高度為1米，則旗桿的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】由題設(shè)可得，即可得結(jié)果.【解析】由題設(shè)，，而，所以，可得米.故選：C4．魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，若，，，，則海島的高（

）A．20 B．16 C．27 D．9【答案】A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)即可解出．【解析】由平面相似知識(shí)可知，，，所以，解得，從而．故選：A．5．一艘海輪從海島A出發(fā)，沿北偏東的方向航行nmile后到達(dá)海島B，然后從海島B出發(fā)，沿北偏東方向航行60nmile后到達(dá)海島C，則海島A與海島C之間的距離為（

）A．150nmile B．140nmile C．130nmile D．120nmile【答案】B【分析】利用余弦定理即得.【解析】由題意知，在中，，，，根據(jù)余弦定理，得，所以(nmile)．故選：B.6．如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東北方，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個(gè)出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等變換得到，進(jìn)而求得AB的最短距離.【解析】在中，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，設(shè)，則，又到的距離為20千米，所以，，故（時(shí)取等號），所以，得，故選：D二、多選題7．為了測量B，C之間的距離，在河的南岸A，C處測量（測量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學(xué)所測得的數(shù)據(jù)記錄，你認(rèn)為不合理的有（

）A．與 B．與 C．，與 D．，與【答案】ABC【分析】由A，C在河的同一側(cè)，故可以測量，與，由此即可得答案【解析】因?yàn)锳，C在河的同一側(cè)，所以可以測量，與，故選：ABC8．某同學(xué)為測量數(shù)學(xué)樓的高度，先在地面選擇一點(diǎn)C，測量出對教學(xué)樓AB的仰角，再分別執(zhí)行如下四種測量方案，則利用測量數(shù)據(jù)可表示出教學(xué)樓高度的方案有（

）A．從點(diǎn)C向教學(xué)樓前進(jìn)a米到達(dá)點(diǎn)D，測量出角；B．在地面上另選點(diǎn)D，測量出角，，米；C．在地面上另選點(diǎn)D，測量出角，米；D．從過點(diǎn)C的直線上（不過點(diǎn)B）另選點(diǎn)D、E，測量出米，，．【答案】ABD【分析】在中用正弦定理求出邊AC，再在中計(jì)算判斷A，B；由解三角形的條件判斷C；用AB長表示BC，BD，BE，再利用余弦定理推理判斷D作答.【解析】對于A，在中，，由正弦定理得，在中，，A滿足；對于B，在中，，由正弦定理得，在中，，B滿足；對于C，在中，已知一邊無法解三角形，在中，已知一邊一角也無法解三角形，不能求出BC，AC，C不滿足；對于D，設(shè)，則有，在與中，由余弦定理得：，即，因此，，即，解此方程即得h，D滿足.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及仰角、俯角問題，構(gòu)造仰角、俯角的直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形作答.三、填空題9．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于2km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為_______km.【答案】6【分析】由題意，根據(jù)余弦定理即可求解.【解析】解：由題意，，，由余弦定理可得，所以燈塔A與燈塔B的距離為6km.故答案為：6.10．甲、乙兩艘漁船從點(diǎn)A處同時(shí)出海去捕魚，乙漁船往正東方向航行，速度為15公里每小時(shí)，甲漁船往北偏東30°方向航行，速度為20公里每小時(shí)，兩小時(shí)后，甲漁船出現(xiàn)故障停在了B處，乙漁船接到消息后，立刻從所在地C處開往B處進(jìn)行救援，則乙漁船到達(dá)甲漁船所在位置至少需要______小時(shí).（參考數(shù)據(jù)：?。敬鸢浮?.4【分析】根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可.【解析】由題可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°由余弦定理，得，得，乙漁船到達(dá)甲漁船所在位置需要的時(shí)間為小時(shí).故答案為：2.4四、解答題11．如圖，一條東西流向的筆直河流，現(xiàn)利用監(jiān)控船D監(jiān)控河流南岸的A、B兩處（A在B的正西側(cè)）.監(jiān)控中心C在河流北岸，測得，，，監(jiān)控過程中，保證監(jiān)控船D觀測A和監(jiān)控中心C的視角為.A，B，C，D視為在同一個(gè)平面上，記的面積為S，.（1）求的長度；（2）試用表示S，并求S的最大值.【答案】（1）240m；（2），.【分析】（1）在中，利用正弦定理解三角形即可得.（2）由（1）知的長度，利用正弦定理求的長度，結(jié)合，利用面積公式即可.【解析】（1）在中，，，所以.因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以；?）在中，設(shè)，則，由正弦定理得.所以.所以.因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，S取到最大值.答：的長度為，，S取到最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.12．為了迎接亞運(yùn)會(huì)，濱江區(qū)決定改造一個(gè)公園，準(zhǔn)備在道路AB的一側(cè)建一個(gè)四邊形花圃種薰衣草（如圖）.已知道路AB長為4km，四邊形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)C，D設(shè)計(jì)在以AB為直徑的半圓上.記.(1)為了觀賞效果，需要保證，若薰衣草的種植面積不能少于km2，則應(yīng)設(shè)計(jì)在什么范圍內(nèi)?(2)若BC=AD，求當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的周長最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)，10km【分析】（1）由，利用三角形面積公式得到求解；（2）由BC=AD得到，進(jìn)而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【解析】（1）解：，，由題意，，，因?yàn)?，所以，解得；?）由BC=AD可知，，故，，從而四邊形ABCD周長最大值是10km，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到.03平面向量與解三角形一、解答題1．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若的面積為，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理及向量數(shù)量積的定義列出方程即可求解；（2）由三角形的面積公式及余弦定理求解.【解析】（1）∵，∴，∴，由，∴.（2）由（1）及已知可得，解得，由余弦定理得，∴.2．已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足．(1)求角C的值；(2)若，，且，求的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理即可得，從而可得角C的值；（2）根據(jù)向量共線定理可得，利用向量的模長運(yùn)算即可得的長度．【解析】（1）解：由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，即又由余弦定理得，則化簡得，又，所以.（2）解：由可得所以，∴，即的長度為.3．中，D為邊AC上一點(diǎn)，，.若，(1)求線段BD的長；(2)求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由向量基本定理得到，從而利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則和題干條件得到，得到；（2）在（1）基礎(chǔ)上求出，記，，則，由求出及，得到，求出的面積，相加得到答案.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，解得，?（2）由（1）可知，則，故，不妨記，，則，因?yàn)?，所以，解得，則，因?yàn)?，所以，所?.4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)已知，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在線段AC上且，點(diǎn)P為AM與BN的交點(diǎn)，求的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角并化簡得，根據(jù)角的范圍，則可求出其大小；（2）由向量運(yùn)算得，展開代入數(shù)據(jù)即可得到其值，再分別計(jì)算出和，利用向量夾角公式即可.【解析】（1）則由正弦定理得化簡得：，,，則，，，即.（2），點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，，，，.即的余弦值為.5．已知兩個(gè)不共線的向量滿足.(1)若與垂直，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，若存在兩個(gè)不同的，使得成立，求正數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求出，再展開求解.(2)根據(jù)，平方后化簡，整理成，數(shù)形結(jié)合求解.【解析】（1）由條件