2023-2024學年上海市高考數學5月模擬試題(二模)含解析

2023-2024學年上海市高考數學5月模擬試題（二模）

一、填空題

1.不等式log?x＜3的解集是.

【正確答案】（0,8）

【分析】由對數函數的單調性可出原不等式的解集.

【詳解】因為函數＞=皿2工在（0,+動上為增函數，由log2X＜3=log28可得0＜》＜8.

因此，不等式在2工＜3的解集為（0,8）.

故答案為.（0,8）

2.若復數z是Y+x+2=0的一個根，則忖=.

【正確答案】41

【分析】設設Z=a+6i,代入z2+z+2=0中，得到方程組，求出。力，求出

模長.

【詳解】由題意得z2+z+2=0,設z=a+6i,a,beR,b^0,

則a2+2abi—b~+a+6i+2=0,HPo2-b2+a+2+(2ab+b^i=0,

a—-b~+a+2=0

所以

2ab+b=0

iii7

因為6H0,所以a=—,故62=a?+a+2=----1-2=一,

2424

故也

3.（1-石）5的展開式中，/的系數為.（用數字作答）

【正確答案】5

【分析】利用二項展開式的通項公式可求得結果.

【詳解】（1-4尸的展開式的通項公式為&]=c（_?y=（_iyc&5"-二0423,4,5,

令;尸=2,得r=4,

所以/的系數為（-I），C；=5.

故5

4.在平面直角坐標系中，角a的終邊經過點尸（3,-4）,則sin2a=.

24

【正確答案】--/-0.96

【分析】利用三角函數的定義結合二倍角的正弦公式可求得sin2a的值.

【詳解】在平面直角坐標系中，角a的終邊經過點尸（3,-4）,

43

由三角函數定義可得sm￡Z=cosa=

因止匕，sin2a=2sinacosa=2x

故答案為.-五■

5.已知直線/的一個法向量為（百,1）,則直線/的傾斜角為.

【正確答案】120°

【分析】根據法向量求直線的方向向量，由方向向量即可求出傾斜角.

【詳解】因為直線/的一個法向量為（百,1）,

所以直線I的一個方向向量為（1,-V3）,

所以直線/的斜率為-6，

傾斜角為120°.

故120°

本題考查了求直線的方向向量、由方向向量求直線的傾斜角，考查了基本知識的掌握情況,

屬于基礎題.

6.等軸雙曲線&>0）的焦距為.

【正確答案】2&

【分析】根據等軸雙曲線定義得到/=02=1,進而求出°=應，得到焦距.

【詳解】由題意得，a2=b2=l,故C2=/+〃=2,故°=及，焦距為2c=2?.

故2夜

7.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙至少一人入選的概率為

9

【正確答案】—/0.9

【分析】把另3編號，用列舉法寫出從5人中任選3人的所有基本事件，可得出甲、乙至

少一人入選的基本事件，記數后由概率公式計算概率.

【詳解】另三名同學記為1,2,3,由從5人中選3名同學基本事件有：甲乙1,甲乙2,

甲乙3,甲12,甲13,甲23,乙12,乙13,乙23,123共10個，

其中甲、乙至少一人入選的基本事件有甲乙1,甲乙2,甲乙3,甲12,甲13,甲23,乙

12,乙13,乙23共9個，

所以所求概率為尸=\.

故2

^10,

8.已知/(x)=sins(o＞0),若在0,|上恰有兩個不相等的實數。滿足

/⑷+/僅)=2,則實數。的取值范圍是.

【正確答案】［5,9)

【分析】由OVxvg可得出分析可知函數f(x)在/鼻上恰有兩個最大值點,

可得出關于。的不等式，解之即可.

【詳解】因為OWxV：,所以OWsV理，

22

因為在0金上恰有兩個不相等的實數。、6滿足〃。)+/(6)=2,且/(工)=$吊8(0＞0),

所以，函數/'(x)在上恰有兩個最大值點，

Lr*r、t57rTLCO97r&力/口

所以，一＜——＜一,斛得54。＜9,

222

因此，實數。的取值范圍是［5,9).

故答案為.［5,9)

9.已知/'(x)=e-l,g(x)=lnx+l,請寫出與〃司和g(x)均相切的一條直線方程

.(只需寫一條)

【正確答案】J=ex-1(或了=無，只要答一個即可).

【分析】設函數y=/(x)圖象上的切點為(國,必)，函數夕=8*)圖象上切點為(%,%),求出

導函數，利用/'&)=g'(X2)=匕二2k列方程組求得再,馬后可得切線方程.

X]一％

【詳解】設函數y=/(x)圖象上的切點為(國,乂)，函數y=g(x)圖象上切點為(%，%)，

/'(x)=e*,g'(x)=-,乂=ef一1,%=也9+1,

由/'(再)=g\x)=1“得,，消去巧得(占-1)(9-1)=0,%=1或％=o,

2X.—X.

從而有＜]_或

又/⑴=e-l,/(0)=0,

所以切線方程為/一作一1)=6。.1)或了=工，即〉=5_1或了=尤,

故/=d-1(或y=x,只要答一個即可).

10.在48c中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,Z5=1,N8的平分線交NC于

D,若BD=追,貝!Ia+2c的最小值為___.

【正確答案】3+2V2/2V2+3

【分析】利用S皿cnS猾o+Sm,可得出工+1=1,然后將。+2c與工+工相乘，展開后利用

acac

基本不等式可求得a+2c的最小值.

【詳解】因為4=(,的平分線交/C于。，且BD=6

[.兀[.兀].71

由S=SABD+SCBD,即—acsin—=—c-BDsin——I■—a-BDsin—,

整理可得——ac=——(c+a),所以,

acac

因止匕，a+2c=(a+

ac=a+ca=y[2+1

當且僅當2c_a時，即當行時，等號成立，

一=-c=\+——

[。c[2

因此，Q+2C的最小值為3+2后.

故答案為.3+2萬

11.希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現:“平面內到兩個定點48

的距離之比為定值2(4Hl)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿

波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知動點尸(見")在圓O:f+V=i上，若點點

則2%+|PC|的最小值為

【正確答案】回

【分析】先利用阿氏圓定義設出川%%),由|尸叫=2|尸/|得到8(-2,0),利用

2網+|PC卜母|+因|邛C|,即可求出最小值.

【詳解】設尸(x,y),不妨取3u。,比),使得歸同=2歸/|,所以

22

(x-x0)+(y-y0)=4

整理得./++t3X+2+生.=NUT

333

‘4+2%―

2

解得：，丁，即8(—2,0).

此方程與/+/=1為同一方程，所以-^-=0

2

%2十,為2T1=]

3一

所以2|%+|PC卜附+因|邛C|(當且僅當尸、B、C三點共線時等號成立)

止匕時BC=^(-2-1)2+(0-1)2=V10.

所以2|P/|+|PC|的最小值為麗.

故答案為.麗

12.已知工為單位向量，向量滿足歸-2目=2,3@=3,則的取值范圍是

【正確答案】[-3,24]

【分析】建立平面直角坐標系，設。=(1,0)石=(蒼力2=(見力，確定點/,3的軌跡，從而

設/(2+2cosa,2sina),3(3+3cos〃,3sin0,求出￡片的表達式結合三角恒等變換化簡，再結

合二次函數性質即可求得答案.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，令。=(1,0),刀=饃,礪=石,

設Z(x,y),5(加,〃)貝！J由卜_24=2,0_3d=3可得(x—2)2+、2=4,(加_3『+〃2=9,

即點4軌跡為以。1(2,0)為圓心，半徑為2的圓，

點5軌跡為以Q(3,0)為圓心，半徑為3的圓，

則設A(2+2cosa,2sina),5(3+3cos夕,3sin/?),

則5=(2+2cosa)(3+3cos/?)+2sinaBsin°

=6+6cosa+6cos6+6cosacos夕+6sinasin夕

=6+6cos夕+6si叨sina+(6cos尸+6)cosa

=6+6cos/3+6^sin2>0+(1+cos/3)2sin(a+°),(。為輔助角)

=6+6cos/3+6y]sin2+1+2cos[3+cos2/3sin(a+夕)

=6+6cos0+6,2+2cos°sin(a+9),

令,2+2cos/3=2,貝！J2+2cosp=A2,?.2cos/?=22-2,

則萬=6+3Z2-6+62sin(6z+(p)=322+62sinQ+°),

又一1Wsin(a+夕)W1,/.3儲-6A<a-b<322+62,

而一"cos/WL0V4V2,'322-62G[-3^,322+62G[Q2|,

故-34小否424,故五./的取值范圍是[-3,24],

故[-3,24]

本題是關于向量和三角函數的綜合性題目，綜合性較強，解答時要注意建立坐標系，利用向

量的坐標運算結合三角函數的恒等變換進行解答，難點在于化簡鼠6的表達式時，計算較為

復雜，要注意計算的準確性.

二、單選題

13.下列函數中，在定義域內不是奇函數的是()

A.y=lg(x+-而B.…(M)

【正確答案】A

【分析】求出各選項的函數定義域，再利用奇函數的定義判斷作答.

【詳解】對于A,令/(x)=lg(x+Jx?+10)，由Jx?+10>J?2-x，得/(x)的定義域為R,

”-x)+/(x)=lg[-x+?+10]+lg(x+AP+IO)=I，函數/(x)不是奇函數；

x

對于B,令g(x)=ln(1SQ」—x),由1仁f)—一〉0,得-10<x<10,即函數g(x)的定義域為(-1040),

10+x10+x

g(-X)+g(x)=In(學三)+In(法三)=0,函數g(x)是奇函數；

10-x10+x

對于C,令〃(x)="二1,顯然函數〃(X)的定義域為R,幽_助="上1=上任=_/心)，

10x+15+1l+10x

函數〃(x)是奇函數；

對于D,令0(x)=x-W,函數0(x)的定義域為{xeR|xwO},

X

夕(-x)=-x+竺=-p(x),函數0(x)是奇函數.

X

故選：A

14.下列關于統(tǒng)計概率知識的判斷，正確的是()

A.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數和樣本方差分別為1、E

和S；、S；,且已知X=E，則總體方差$2=，s：+s；)

B.在研究成對數據的相關關系時，相關關系越強，相關系數「越接近于1

C.若P(3|/)=0.3,P(S)=0.3,則事件A、B相互獨立

D.某醫(yī)院住院的8位新冠患者的潛伏天數分別為10、3、8、3、2、18、7、4,則該樣

本數據的第50百分位數為4

【正確答案】C

【分析】利用方差公式可判斷A選項；利用相關系數與線性相關關系可判斷B選項；利用

條件概率公式以及獨立事件的定義可判斷C選項；利用百分位數的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，設2層數據分別為為、。2、L、％,；4、白、L、

因為鼻=E,所以，總體平均數為1=加西+”電

m+n

所以,s：

Z=1Z=1Z=1Z=1

21

所以,總體方差為Y=之（4+￡（4-qmf2+

m+nZ=普1'）仁Z=1'）m+n

mn

s；2+—

m+nm+n

則

〃（一”）（；；）

m1n1mr-nm-25s—s

s2s：+S：

m+n2m+n2m+》m+ijm+

=gl：+s；），否則dwgll+s；）

所以，當機=〃或S；=S；時，52,A錯;

對于B選項,在研究成對數據的相關關系時，相關關系越強，相關系數〃的絕對值越接近于

1,B錯;

由條件概率公式可得尸（引/）=TT，所以，p（/8）=尸（⑷尸（司⑷,

對于C選項,

P（AB）

所以，尸（4）=人弱,

…⑶=宜…0.3

所以，事件A、3相互獨立，C對;

對于D選項，將樣本數據由小到大排列分別為2、3、3、4、7、8、10、18,

4+7

所以，該樣本數據的第50百分位數為=5.5,D錯.

2

故選：C.

15.《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉腌”，在長方體

/BCD-44GA中，鱉席的個數為（）

A.48B.36C.24D.12

【正確答案】C

【分析】每個頂點對應6個鱉席，所以8個頂點對應48個鱉席.但每個鱉席都重復一次，再

除2,即可得解.

【詳解】在正方體N8CO-跖中，當頂點為A時，三棱錐Z-E/7G、A—EFG、A-DCG、

A-DHG、A-BCG、/-3尸G均為鱉腌.

所以8個頂點為8x6=48個.但每個鱉席都重復一次,

所以,鱉席的個數為了=2"

故選：B.

16.已知｛%｝是等差數列，4=sin(%),且存在正整數乙使得對任意的正整數"都有

bn+t=b?.若集合S=｛x|x=6","eN*｝中只含有4個元素，貝"的取值不可能是()

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】B

【分析】根據｛%｝為等差數列，寫出通項，根據題意列出之間的關系，進而找到兩個

數列基本量之間的關系，分別就f=4,"5,=6,"7四種情況討論，選出符合題意的值，進而

判斷選項即可.

【詳解】解：設等差數列｛%｝首項為％,公差為d,則%=%+(〃T)d,”=sin(a3

由題知，存在正整數乙使得4+,="，〃eN*,

若集合｛x|x=6",〃wN*｝有4個不同元素，貝心24,

當1=4時,%4=4，即sin(a,+4)=，sin(aj,即sin(%+4")=sin(a*；+2后qZ,

所以Q〃+4d=〃〃+2hr,或%+4d+a〃+2E=兀,后eZ,

因為｛6｝是等差數列，各項均唯一，所以%+4d+a“+2析=無,后eZ舍去，

故解得"=^#eZ,取左=1時，d=~,

此時在單位圓上的4等分點可取到4個不同的正弦值，

即集合5=卜卜=6",〃€江｝可取4個元素，

當"5時，"+5=4，即sin(%+5)=sin(a")，即sin(a,+5")=sin(%+2")?eZ,

所以a〃+5d=%+2hr,或%+5d+%+2hi=兀，后EZ,（舍）,

故解得"=專，左eZ,此時在單位圓上的5等分點,

取到的?，?，自，?，竽，不可能取到4個不同的正弦值，故不成立，

同理可得當t=6j=7時，集合5=卜卜=6",〃€江｝可取4個元素.

故選：B

思路點睛：該題考查集合間的基本關系，屬于難題，關于新定義集合的思路有:

(1)根據題意，先寫出幾項，找出規(guī)律；

(2)找到新集合和舊集合之間的關系；

(3)分情況討論，結合題意，找出適合的答案即可.

三、解答題

17.如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面/8CD為正方形，P/工平面/8CD,M,N分別

為梭PD,的中點，PA=AB=2.

⑴求證：1W〃平面P/8；

(2)求直線與平面尸CD所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

回

10

【分析】(1)由線面平行的判定定理即可證明；

(2)以點A為坐標原點，AB、AD、/P分別為X、V、z軸，如圖建立空間直角坐標系.

求出直線的方向向量和平面PBO的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.

【詳解】(1)證明：在四棱錐中，

取尸/的中點E,連接E8、EM,

因為“是的中點，所以EM//AD,且

又因為底面/BCD是正方形，N是8c的中點，

所以BN//AD,且BN=LAD,所以EM"BN,EM=BN.

2

所以四邊形跖VSE是平行四邊形，所以MN//EB.

由于E2u平面P48,M/U平面P48,所以〃平面尸45.

(2)因為底面/BCD是正方形，所以AB_LAD.又因為P/_L平面48cD.

所以以點A為坐標原點，48、AD、/P分別為X、了、z軸，如圖建立空間直角坐標系.

4(0,0,0),C(2,2,0),1)(0,2,0),尸(0,0,2),M(0,1,1),N(2,l,0).

定=(2,2,—2),CD=(-2,0,0),

—/、m-PC=0,\x+y—z=0,

設平面尸CD的法向量為加=x,y,z.有：_'即八’令y=l,則z=l,

m-CD=0,［尤=0,

所以碗=(0,1,1).加=(2,0,-1).設直線AGV與平面尸5。所成角為夕

阿甸|0x2+lx0+lx(-l)|_VW

有.sin。=|cos〈MN,加1=

M-|w|V5xV210

所以直線MN與平面尸CD所成角的正弦值為巫.

10

18.已知數列｛%｝的前n項和為S.，%=2,對任意的正整數"，點(。角,切)均在函數/(x)=x

圖像上.

(1)證明：數列電,｝是等比數列;

(2)證明：｛%｝中任何不同三項不構成等差數歹

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)確定0=%=%「S”得到<=2尺,得到證明.

(2)確定數列的通項公式，假設存在2<他使得冊,?！?與成等差數列，得到

2"+~，句+2…，根據奇偶性得到矛盾，得到證明.

【詳解】⑴點(%+”$“)均在函數/㈤.圖像上,則S"=%=S"「S",故S"+i=2S",

岳=%=2/0,故母｝是首項為2,公比為2的等比數列.

f2,n=1zX

(2)S“=2",故與=2"-、>2，%=02,且從第二項起｛%｝嚴格增，

假設存在2<m<n<p使得am,an,ap成等差數列，則2.2"一=2小+2小，

即2"+5=1+2廣"，等式左邊為偶數，右邊為奇數，故假設不成立.

故｛凡｝中任何不同三項不構成等差數列.

19.一場始于煙火，歸于真誠的邂逅，讓無數人赴山趕?！斑M淄趕烤”，淄博某燒烤店趁機推

出15。元燒烤套餐.某同學調研發(fā)現，燒烤店成本y(單位：千元，包含人工成本、原料成

本、場地成本、設備損耗等各類成本)與每天賣出套餐數x(單位：份)的關系如下：

Xi3467

y56.577.58

了與X可用回歸方程j=Algx+A(其中為常數)進行模擬.參考數據與公式：設/=lgx,

）（乂-刃

則線性回歸直線S=￡+/中，----------S=y-at.

i=l

55

ty￡日-7)(％-刃

j=li=l

0.546.81.530.45

⑴試預測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元.（利潤=售價-成本，結果精確到I元）

（2）據統(tǒng)計，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為淄博

配送的箱數的頻率分布直方圖，用這16天的情況來估計相應的概率.供貨商擬購置"輛小

貨車專門運輸該品牌飲料，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該

飲料，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則每輛車每趟可獲利500元；若未發(fā)車，則每輛車

每天平均虧損200元.若”=3或4,請從每天的利潤期望角度給出你的建議.

【正確答案】（1）3236元

（2）答案見解析

【分析】（1）根據所給數據求出3、務，即可求出回歸方程，再代入x=100求出預測值，即

可得到利潤；

（2）根據頻率分布直方圖，得到送貨箱數的概率分布表，設該運輸戶購3輛車和購4輛車

時每天的利潤分別為乂、乃元，求出分布列，計算出期望，即可判斷.

5

―5）

【詳解】（1）根據題意，?=上二----------=3.4,

X（T>045

Z=1

所以務=歹一-7=6.8-3.4x0.54=4.964,

所以j=3.4/+4.964,

又/=lgx,所以j=3.41gx+4.964,

所以x=100時，y=3.41g100+4.964=6.8+4.964=11.764（千元），

即賣出100份的成本為11764元，故利潤15000-11764=3236（元）.

(2)根據頻率分布直方圖，可知送貨箱數的概率分布表為:

箱數[40,80)[80,120)[120,160)[160,200]

1_1_

P

84~28

設該運輸戶購3輛車和購4輛車時每天的利潤分別為乂、A元,

則匕的可能取值為1500,800,100,其分布列為：

1500800100

511

P

848

故磯耳)=-xl500+-x800+-x100=1150,

848

則丫2的可能取值為2000,1300,600,-100,其分布列為

20001300600-1000

]_￡]_

P

8~248

故E億)=：x2000+gxl300+；x600+：x(-100)=1037.5,

因為E化)<￡化)，即購置3輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車.

22

20.已知橢圓r：[+方=1(°>6>0)的左焦點為尸，左、右頂點分別為A,B,上頂點

為P.

(1)若△尸網為直角三角形，求「的離心率；

(2)若。=2,6=1,點。，。'是橢圓r上不同兩點，試判斷“戶。|=|p。『，是“。，。'關于了軸

對稱”的什么條件？并說明理由；

(3)若。=2,6=6，點7為直線x=4上的動點，直線以，75分別交橢圓「于C,。兩點，

試問尸CD的周長是否為定值？請說明理由.

【正確答案】⑴正二)

2

(2)必要不充分條件，理由見解析

(3)是，理由見解析

【分析】(1)利用△PF5為直角三角形得到而.麗=0,轉化為℃=62=/一C?即可得

cV5-1

?-.------.

a2

(2)根據橢圓的對稱性可證必要性，又反例可知不滿足充分性.

(3)先證直線CD過橢圓的右焦點，可得尸CD的周長為4a=8

如圖尸(-c,0),尸(0,6),5(?,0),

PF=(-c,-b),PB=(a「b),

由題意麗.麗=0，BPac=b2=a2-c2,故e=1e2,

解得離心率e=1二

2

(2)必要不充分條件.

必要性：根據橢圓的對稱性可知，當。，。關于y軸對稱時，|尸。|=歸。#成立;

充分性：橢圓方程為匕+/=1,設。(XJ),

4-

|PQ|2=x2+(y-1)2=-3/-2y+5,在上不單調,

2

所以可舉反例：分別取必=0,%=一屋

即。(2,0),。'(孚,一§

使得|尸。|=|尸。#=百,但。,。'不關于了軸對稱.

43

設7（4,。，則直線47的斜率為匚[]=、，方程為：y=；（x+2），

聯立橢圓方程得（27+t2-）x2+4rx+4/2-108=0,

4r_54-2”代入/*2）得▼裊,

X+X=----7

A'Cc27+〃—27+7

54-2產18?

所以C（一

27+產27+產

同理直線37的方程為：y=j（x-2）,

聯立橢圓方程得(3+t2)x2-4t2x+4尸T2=0,

At2,,2t2-6

馬+“評’故~=『代入了=；（工一2）得力=蕓,

所以。（之二?,工），

3+/3+產

18Z—6/

27+/3+/2書(7+9)_6t

所以e0=

54-2/2/-64(81—7)一9一產

27+/3+/

6t2r-6

直線方程為y-O

3+〃9-t2

令y=0,可得X=l,即直線co恒過橢圓的右焦點.

所以尸CD的周長為定值4a=8.

方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設直線方程，設交點坐標為（占,弘）,（9,力）;

（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x（或V）的一元二次方程，必要時計算A；

（3）列出韋達定理;

（4）將所求問題或題中的關系轉化為%+%、玉尤2（或%+%、%%）的形式;

（5）代入韋達定理求解.

21.已知函數/(尤Xd+bf+cx。ceR),其導函數為/'(x),

⑴若函數/(x)有三個零點再、聲、4，且為+/+鼻=3丙％=-9,試比較/(3)-/(0)與3/(2)

的大小.

⑵若/'⑴=-2,試判斷〃x)在區(qū)間(0,2)上是否存在極值點，并說明理由.

⑶在(1)的條件下，對任意的也"eR,總存在xe［0,3］使得|/(x)+加x+成立，求實數

，的最大值.

【正確答案］⑴"3)-40)=3廣⑵

(2)存在，理由見解析

(3)2

【分析】(1)根據分析得到％=0,否是方程/+法+,=()的兩根，由韋達定理得

b=-3,c=-9,計算出〃3)-/(0)=3/(2)；

(2)由導函數為二次函數，開口向上，結