2023-2024學年北京市高一年級下冊期中考試聯(lián)考數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年北京市高一下學期期中考試聯(lián)考數(shù)學

模擬試題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

.11兀

sin----

1.3的值為（）

_旦_V|VI

A.2B.2C.2D.2

2.下列函數(shù)中，最小正周期為兀且是偶函數(shù)的是（）

y=si.n（x+—兀）

A.1MB.尸tanx

Qj^=cos2xD＞=sin2x

3,設向量l=（3,4），B=（T，2）,則COS〈瓦B〉=（）

2V52V5_V|旦

A.5B.5C.5D.5

,1

4.在△/8C中，已知3,a=2,3,6=3,貝版二()

A.1B.6C.2D.3

5,函數(shù)/(x)=/sin3x+°)(其中/>0。＞0,°＜夕＜=）的圖像的一部分如圖所示，則此

函數(shù)的解析式是（）

/(x)=3sin]?x+3乃）

B.

f(x)=3sin^x+^713兀

/(x)=3sin-x-\-----

D.84

TTJT

f（x）=sin（2x+—xe[0,—]

6.函數(shù)62的最大值和最小值分別為（）

-----1

A.2B.C.2'D.I

7.已知向量原3/在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為i,則

(a+b)-c=()

A.2B.-2C.1D.-1

8.在。臺。中，已矢口〃3$8+6354=2℃05/,貝()

71717171

A.6B.4c.§D.2

f(x)=2sina)x+—3>o)則，J（x）在1'§」上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)，，

9.已知函數(shù)

是“。＞1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.如圖，正方形/BCD的邊長為2,尸為正方形四條邊上的一個動點，則西?麗的

取值范圍是（）

A.[T2]B.[°aC.[°川D.[一聞

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

11.已知圓的半徑為2,貝160。的圓心角的弧度數(shù)為；所對的弧長為

12.已知向量'=（一2,3）,"=0，-6）,若方“，則同=,x=.

71

13.若函數(shù)/（x）=/sinx-ecosx的一個零點為則/=.將函數(shù)“X）的圖象向

左至少平移個單位，得到函數(shù)>=2sinx的圖象.

14.設平面向量落分忑為非零向量，且&=（L°）.能夠說明“若小分=心,，則很=3”是假命題的

一組向量2己的坐標依次為.

“、C0S7IX

/（X）=7

15.已知函數(shù)年+1,給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)/（X）是奇函數(shù)；

②函數(shù)/（X）有無數(shù)個零點；

③函數(shù)/（X）的最大值為1；

④函數(shù)/（X）沒有最小值.

其中，所有正確結(jié)論的序號為.

三、解答題（本大題共6小題，共85分）

16.在平面直角坐標系x°y中，角夕以°、為始邊，終邊經(jīng)過點（一1「2）.

（1）求tan。，tan2。的值；

sin6,cos<9,cos|6）+—|

⑵求I4J的值.

17.已知平面向量”也同=2，W=3,"與B的夾角為60。，

（1）求矛，廬/不;

（2）求（2@-W?（萬+3坂）的值：

（3）當x為何值時，xl-B與1+3*垂直.

18.已知函數(shù)〃x）=sin2x+cos2x.

⑴求

（2）求函數(shù)，（x）的最小正周期及對稱軸方程；

（3）求函數(shù)A?的單調(diào)遞增區(qū)間.

19.在△"BC中，a=7,6=8,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.

⑴求力；

（2）求的面積.

cosB=——

條件①：c=3；條件②：7.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

/(x)=2COS2X+cos2x---1

20.已知函數(shù)I3>

71

⑴求的值;

⑵求函數(shù)/a）的在m兀］上單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）若函數(shù)/（、）在區(qū)間曲“］上有且只有兩個零點，求優(yōu)的取值范圍.

71

21.某地進行老舊小區(qū)改造，有半徑為60米，圓心角為§的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲

從中規(guī)劃出一塊三角形綠地尸2公，其中「在前上，PQ'AB,垂足為°,PRLAC,垂足

（1）求尸°,PR（用。表示）；

（2）當尸在8C上運動時，這塊三角形綠地的最大面積，以及取到最大面積時。的值.

1.A

【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值計算可得.

.11K.71V3

sin-=---sinf4K-y=-sin—=------

【詳解】332

故選：A

2.C

【分析】由三角函數(shù)的最小正周期公式和函數(shù)奇偶性對選項一一判斷即可得出答案.

712IT

y=smx+:T=——=2兀

【詳解】對于A,I”的最小正周期為：1，故A不正確；

T二二二兀

對于B,>=tanx的最小正周期為：1,

y=tanx的定義域為112J,關(guān)于原點對稱，令八xrtanx,

則/(f)=tan(f)=-tanx=./(x),所以ktanx為奇函數(shù)，故B不正確；

對于C,>=c°s2x的最小正周期為：2,

令g(x)=cos2x的定義域為R關(guān)于原點對稱，

則g(f)=cos(-2x)=cos2x=g(x),所以昨cos2x為偶函數(shù)，故c正確；

2兀

,cJ.——7T

對于D,>=sm2x的最小正周期為：2,

y=sin2x的定義域為R,關(guān)于原點對稱，令"x)=sin2x,

^A(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-A(x)(所以昨sin2x為奇函數(shù)，故D不正確.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角的坐標表示求解即得.

八a-b3x(-l)+4x245

_cos(a,b〉—----=,=—.=-=—

【詳解】向量"=('4)/=(T,2),則\a\\b\后+4?xJ(一I)?+2?5

故選：D

4.D

【分析】直接利用余弦定理求解即可

cosA=-[-

【詳解】因為在A4BC中，3,a=213,6=3,

所以由余弦定理得2bccosN,

,1

12=9+C2-6X-C,

3，得L-2C-3=0,

解得。=3,或，=一(舍去)，

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)圖象可以求出最大值，結(jié)合函數(shù)的零點，根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式,

結(jié)合特殊值法進行求解即可.

【詳解】由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最大值為3,所以4=3,

由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小正周期為4x(6-2)=16,

4x(6—2)=16==><y=—=3sin—x+(p

因為。>0,所以。8,所以(8九

由圖象可知：

(71\717171

3sin—+(p=3n——\-(p=2k7i+—(keZ)^>(p=2k71+—(A:Z)

"2)=3,即(4)42V4G\

因為°<。<萬，

7T71

cp=—/(x)=3sin—XH——

所以令左=°，所以4,因此84

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)給定條件，求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

X€[。與c??！肛?兀1-兀兀兀

E.[一,—J2x-\—=—x=-/'z\_1

【詳解】由2,得666,則當62,ip6時，"X)max=l

c兀7兀兀

2x+—=—x=—/("in=-1

當66,即2時,

1-1

所以所求最大值、最小值分別為‘2

故選：A

7.B

【分析】根據(jù)給定信息，利用向量數(shù)量的運算律，結(jié)合數(shù)量積的定義計算得解.

|a|=42,\b|=2,|c|=2,{a,b)=^,b1c,(a,d)=

【詳解】依題意,

a-c=|a||c|cos—=V2x2x(-^-)=-2

因此42，b-c=0,

^^(a+b)-c=a-c+b-c=-2

故選：B

8.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再逆用和角的正弦求出即得.

【詳解】在中，由acos8+6cos/=2ccos/及正弦定理，得

sin/cosB+sin3cos4=2sinCcos/,

則sin（/+5）=2sinCcos/,gpsinC=2sinCcosA,而sinC>0,

,1

cosA=—

因此2,而0</<兀，

A=-

所以3.

故選：C

9.B

711

COXHCD>一

【分析】以3為整體結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得2,進而根據(jù)充分、必要條件分析判

斷.

7T717171

XG0,—GX+—W一,一〃？+一

【詳解】因為L3」且。>0,則3333

若/（X）在1°'3」上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù),

7171711

—CD+—>—a)>—

則332解得2,

又因為（1，+0°）口〔5'+0°

所以"/a）在L'§」上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“①>1”的必要不充分條件.

故選：B.

10.D

【分析】建立平面直角坐標系，分點P在CD上，點P在8c上，點尸在上，點尸在4D

上，利用數(shù)量積的坐標運算求解.

【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標系:

則，(0,2),3(2,2),

當點P在CD上時，設尸(乂°)(°-%-2),

則成l=(x,-2),由=(x_2-2),

所以包?甫=x(x-2)+4=(x-1)2+3e[3,4]

當點尸在8c上時，設尸(2乃(°-y-2),

則南=(2/_2),屈=(0/_2),

所以瓦歷=(.2)2e[0,4]

當點尸在上時，設尸(乂2)(°-%-2),

則南=(x,。),無=(x-2,0),

所以南無=>(，-2)=。-1)2-14-1,01

當點尸在AD上時，設"(Q")(°-7-2),

則應=(O,y_2),月=(-2/_2),

所以灰占,一了邛山；

綜上：刀?方的取值范圍是[T4]

故選：D

7i1242

一—71------71

11.3##33##3

【分析】利用度與弧度的互化關(guān)系，弧長計算公式求解即可.

60x-=2E2x-=—

【詳解】60。的圓心角的弧度數(shù)為1803；所對的弧長為33.

712兀

故答案為：3.3

12.屈4

【分析】利用坐標法求出向量的模，再根據(jù)向量共線的坐標表示求出x.

【詳解】因為向量l=(々3),所以同=，2)2+32=屈,

又3=(工,-6)且山區(qū),

所以3x=-2x(-6),解得x=4.

故答案為：屈；4.

兀1

———71

13.13##3

【分析】利用零點的意義求出A；利用輔助角公式化簡函數(shù)"X),再借助平衡變換求解即得.

.石—^sin--A/3COS—=0

【詳解】函數(shù)/。)=恁1皿-138$了的一個零點為3,得33，解得/=1；

f(x)=sinx-6cosx=2sin(x--)/(x+—)=2sin[(x+-)--]=2sinx

則3,顯然333,

71

所以/(X)的圖象向左至少平移3個單位，得到函數(shù)y=2situ的圖象.

71

故答案為：1；3

14.(0,1),(0,T)(答案不唯一)

【分析】令向量瓦0與向量Z都垂直，且1*3即可得解.

[詳解]令I(lǐng)=(°J)，c=(°，T),顯然.=0=小君,而小干,

因此B=(0，1)，c=(0,T)能說明“若,Z=03,貝藤=3，，是假命題，

所以向量2己的坐標依次為(°，1)，(°，T).

故答案為：QD(QT)

15.②③

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷①，令/6）二°求出函數(shù)的零點，即可判斷②，求出函數(shù)的

最大值即可判斷③，根據(jù)函數(shù)值的特征判斷④.

、COS7LX

/(X)=-9

【詳解】函數(shù)X+1的定義域為R,

//、COS(一兀X)COSTLY//、〃/、C0S7LX

f(-x)=--=^—=/W/(x)=

又(-%)-+!式+1，所以<J/+1為偶函數(shù)，故①錯誤;

r,、C0S7DC__,?！?1―

/(X)=-......=0=cos7tr=O=>7Lr=^7r+—(A:GZ)=>X=A:+—(ATGZ)

令/+122

所以函數(shù)/（x）有無數(shù)個零點，故②正確;

因為|cos詞VI,當亦=加（丘Z）,即x=L（左eZ）時取等號，

,0<-;—<1

又因為X+121,當且僅當x=0時取等號，所以有X2+1,當且僅當x=0時取等號，

|cos利V]f（x}=COS7VC<1

所以有f+l一,當且僅當X=0時取等號，因此有-/+]—,即/（￡Lx=/（°）=l,

故③正確；

ZCOS7LX

因為為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于了軸對稱，只需研究函數(shù)在（°，+00）上的情況即可,

當Xf+00時—+1,又一14cos71X41,所以當時JUJfU,

又/G)max=/(0)=1,

當“2時COS7LT>0,X2+1>0,所以

]_3

當2X2時一14cos7U<0,x2+1>0,所以/(“)<。，

當x>l時f+i>2,0<|COS7LX|<1所以>⑸<2,

又，0-。,O,且/(X)為連續(xù)函數(shù),所以/(X)存在最小值,

事實上/（X）的圖象如下所示：由圖可知/（X）存在最小值，故④錯誤.

故答案為：②③

【分析】（1）由三角函數(shù)的定義求出tan。，再由二倍角正切公式求出tan2。；

（2）由三角函數(shù)的定義求出sin。，cos。，再由兩角和的余弦公式計算可得.

【詳解】（1）因為角夕以為始邊，終邊經(jīng)過點（T，＜）,

tan<9=—=2tan26*=—tan2x24

所以-1，則l-tan?。1-223

（2）因為角6以公為始邊，終邊經(jīng)過點（T，一2）,

sin*,一2=*cos”丁T=總

所以7(-1)2+(-2)25,[(-1丫+(-2)2

cos0+—=coscos——sinsin—

所以l44

音x交/2]苕二叵

5215J210

17.(1)4,9,3；

⑵一4；

30

x二一

⑶13

【分析】（1）利用數(shù)量積的定義計算即得.

（2）利用數(shù)量積的運算律計算即得.

（3）利用垂直關(guān)系的向量表示，數(shù)量積的運算律求解即得.

【詳解】（1）向量”也同=2，忖=3為與B的夾角為60。，

所以不=|a|2=4,62=|b|2=9,a-b=|31|K|cos60°=3

（2）依題意，（2萬一B）?（5+3B）=2a2-3b2+53-6=2x22-3x32+5x3=-4

（3）由（x）—B）,（5+3B）=0,^xa2-3b2+（3x-l）a-b=4x-27+3（3%-1）=13%-30=0解

30

x=一

得13,

30

x——

所以當13時,xa-b與G+3b垂直

18.(1)1；

71ku

x=--\--左--wZ

⑵兀，82

3兀7兀7

----------------Fkit.—Fku/eZ)

88

(3)

【分析】（1）代入計算求出函數(shù)值.

（2）（3）利用輔助角公式化簡函數(shù)/（X）,再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即得.

【詳解】(1)函數(shù)/(X)=sin2x+cos2x,所以7(0)=sinO+cosO=1

/(x)=V2sin(2x+—)T=—=n

(2)函數(shù)4,所以函數(shù)A?的最小正周期2.

2x+—=—+kit,k&Zx=—+—,keZ

由42，解得82,

_TIkTi

X=---1----￡Z

所以函數(shù)/(x)圖象的對稱軸方程為82

--+2kn<2x+—<—+2kit,keZ--+ATI<x<—+lat,keZ

(3)由242，得88

3兀7兀77、

-------1■仇一+EGZJ

所以函數(shù)八幻的單調(diào)遞增區(qū)間是L88」

19.⑴選①②答案相同，3；

⑵選①②答案相同，08C的面積為66.

【分析】（1）選①，用余弦定理得到cos/,從而得到答案；選②：先用余弦定理求出。=3,

_sinA.=—

再用余弦定理求出cos/,得到答案；（2）選①，先求出2,使用面積公式即可;

選②：先用sinC=sin（4+2）求出sinC,再使用面積公式即可.

【詳解】（1）選條件①：。=3.

在△NBC中，因為。=7,6=8,c=3,

cosA==64+9-49=工

由余弦定理，得2bc-2x8x3-2.

因為/e（O,兀），

ZA=-

所以3；

cosB=--

選條件②：7

2222

Da+c-b49+C-641

COSD—__________—___________----

由余弦定理得：2ac14c7,解得：c=3或-5（舍去）由余弦定

cos/=-2=竺止絲」

理，得26c2x8x32.

因為北（0,兀），

Z/A/=—兀

所以3.

（2）選條件①：c=3

sinA=——

由(1)可得2.

S=-!-Z>csin^=—x8x3x—=6\/3

所以O8C的面積222.

cosB=--

選條件②：7.

,1

cosA--

由⑴可得2.

因為sinC=sin[K一(/+5)]

=sin(4+B)

=sinAcosB+cosAsinB

V3.1.1473

=x()H——x----

2727

373

F,

_1,?_1,Q3A/3_/r

,八cSc=—absinC=-x/x8x----=673

所以"BC的面積2214

3

20.(1)2

兀7兀

⑵另五一

5兀4兀

⑶[653

【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化簡函數(shù)解析式，再代入計算可得;

2x+——<2x+—<—

（2）由x的取值范圍求出'3的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到2一'3-2,解得

即可；

c兀

2xH—

（3）由％的取值范圍求出3的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

f(x)=2COS2X+cos2x~~-1

【詳解】(1)因為I3>

=cos2x+cos2xcos—+sin2xsin—

33

30e「

=—cos2xH---sm2x

22

=V3^cos2x+|sin2x=^sin^x+|

?兀兀gn空=3

sin2x—i—

I63

所以32

_71717K

r-i2x+—G

(2)當xe［n。，兀］時3J'T

兀，c兀,3兀

—<2x+—<——A<X<ZZE

令232,解得1212

717兀

所以函數(shù)"x）的在［°，兀］