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文檔簡介

北京專家高三下學期一??荚囆赂呖紨?shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲2.在直角坐標系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則正實數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.3.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.4.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時,表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時,表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設勞倫茨曲線對應的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④5.盒子中有編號為1,2,3,4,5,6,7的7個相同的球,從中任取3個編號不同的球,則取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.6.為計算,設計了如圖所示的程序框圖,則空白框中應填入()A. B. C. D.7.已知點是拋物線:的焦點,點為拋物線的對稱軸與其準線的交點,過作拋物線的切線,切點為,若點恰好在以,為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.過點的直線與曲線交于兩點,若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或9.已知函數(shù)在上有兩個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.用一個平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形11.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.12.拋物線的準線方程是,則實數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.14.已知盒中有2個紅球,2個黃球,且每種顏色的兩個球均按,編號,現(xiàn)從中摸出2個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好同時包含字母,的概率為________.15.在中,已知是的中點,且,點滿足,則的取值范圍是_______.16.己知函數(shù),若關(guān)于的不等式對任意的恒成立,則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:過點,過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點.(1)證明:當取得最小值時,橢圓的離心率為.(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.18.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.19.(12分)已知橢圓,點為半圓上一動點,若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.(1)求證:;(2)當時,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線的切線方程為,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)已知在處的切線與軸垂直,若方程有三個實數(shù)解、、(),求證:.22.(10分)已知函數(shù),.(1)若對于任意實數(shù),恒成立,求實數(shù)的范圍;(2)當時,是否存在實數(shù),使曲線:在點處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析,由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項,甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項錯誤.對于B選項,甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項錯誤.對于C選項,乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項錯誤.對于D選項,甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項正確.故選:D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎題.2、D【解析】

設點,由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實數(shù)m的取值范圍,即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設點.,即,整理得,則,解得或..故選:.【點睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點間距離公式,屬于中檔題.3、B【解析】

直接利用向量的坐標運算得到向量的坐標,利用求得參數(shù)m,再用計算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點睛】本題考查向量的坐標運算、向量數(shù)量積的應用,考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.4、A【解析】

對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯誤.對于③,因為,所以,所以③錯誤.對于④,因為,所以,所以④正確.故選A.5、B【解析】

由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應用,考查了學生綜合分析,概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應填入的內(nèi)容.【詳解】由程序框圖的運行,可得:S=0,i=0滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=1,S=1,i=1滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…觀察規(guī)律可知:滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此時,應該不滿足判斷框內(nèi)的條件,退出循環(huán),輸出S的值,所以判斷框中的條件應是i<1.故選:A.【點睛】本題考查了當型循環(huán)結(jié)構(gòu),當型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行,滿足條件執(zhí)行循環(huán),不滿足條件時算法結(jié)束,屬于基礎題.7、D【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì),設出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于中檔題.8、A【解析】

利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設與曲線相切于點,則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.9、C【解析】

對函數(shù)求導,對a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點處的函數(shù)值進行判斷求解.【詳解】∵,.當時,,在上單調(diào)遞增,不合題意.當時,,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當時,則時,,在上單調(diào)遞減,時,,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個零點,只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)解決函數(shù)零點的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.10、C【解析】試題分析:畫出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點:平面的基本性質(zhì)及推論.11、C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達,利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵點.本題屬中檔題.12、C【解析】

根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長故答案為:【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎題.14、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù),讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況,其中有種情況是兩個球顏色不相同;故其概率是故答案為:.【點睛】本題主要考查了求事件概率,解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎知識和組合數(shù)計算公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.15、【解析】

由中點公式的向量形式可得,即有,設,有,再分別討論三點共線和不共線時的情況,找到的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.【詳解】是的中點,∴,即設,于是(1)當共線時,因為,①若點在之間,則,此時,;②若點在的延長線上,則,此時,.(2)當不共線時,根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點睛】本題主要考查學中點公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應用,以及余弦定理的應用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應用,解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,屬于中檔題.16、【解析】

首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞增,由此不等式對任意的恒成立,可轉(zhuǎn)化為在上恒成立,進而建立不等式組,解出即可得到答案.【詳解】解:函數(shù)的定義域為,且,函數(shù)為奇函數(shù),當時,函數(shù),顯然此時函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)為定義在上的增函數(shù),不等式即為,在上恒成立,,解得.故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運用,考查不等式的恒成立問題,屬于常規(guī)題目.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)存在,【解析】

(1)將點代入橢圓方程得到,結(jié)合基本不等式,求得取得最小值時,進而證得橢圓的離心率為.(2)當直線的斜率不存在時,根據(jù)橢圓的對稱性,求得到直線的距離.當直線的斜率存在時,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,利用,則列方程,求得的關(guān)系式,進而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在,進而求得定圓的方程.【詳解】(1)證明:∵橢圓經(jīng)過點,∴,∴,當且僅當,即時,等號成立,此時橢圓的離心率.(2)解:∵橢圓的焦距為2,∴,又,∴,.當直線的斜率不存在時,由對稱性,設,.∵,在橢圓上,∴,∴,∴到直線的距離.當直線的斜率存在時,設的方程為.由,得,.設,,則,.∵,∴,∴,∴,即,∴到直線的距離.綜上,到直線的距離為定值,且定值為,故存在定圓:,使得圓與直線總相切.【點睛】本小題主要考查點和橢圓的位置關(guān)系,考查基本不等式求最值,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查點到直線的距離公式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】

(1),對函數(shù)求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;(2)對求導,分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.(2)因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解析】

(1)分兩種情況討論:①兩切線、中有一條切線斜率不存在時,求出兩切線的方程,驗證結(jié)論成立;②兩切線、的斜率都存在,可設切線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由可得出關(guān)于的二次方程,利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為,進而可得出結(jié)論;(2)求出點、的坐標,利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理得出,換元,可得出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點在半圓上,則.①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時,可求得兩切線方程為,或,,此時;②當兩切線、的斜率都存在時,設切線的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據(jù)題意得、,,令,則,所以,當時,,當時,.因此,的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明,同時也考查了弦長的取值范圍的計算,考查計算能力,屬于中等題.20、(1);(2)或【解析】

(1)根據(jù)解析式求得導函數(shù),設切點坐標為,結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得方程,構(gòu)造函數(shù),并求得,由導函數(shù)求得有最小值,進而可知由唯一零點,即可代入求得的值;(2)將解析式代入,結(jié)合零點定義化簡并分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個交點;求得并令求得極值點,列出表格判斷的單調(diào)性與極值,即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】(1)依題意,,,設切點為,,故,故,則;令,,故當時,,當時,,故當時,函數(shù)有最小值,由于,故有唯一實數(shù)根0,即,則;(2)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”;由于.由,解得,.當變化時,與的變化情況如下表所示:30+0極小值極大值所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因為,,,,故當或時,直線與曲線在上有兩個交點,即當或時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義應用,由切線方程求參數(shù)值,構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,函數(shù)零點的意義及綜合應用,屬于難題.21、(1)①當時,在單調(diào)遞增,②當時,單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【解析】

(1)先求解導函數(shù),然后對參數(shù)分類討論,分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)根據(jù)條件先求解出的值,然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,由此證明出.【詳解】(1),①當時,恒成立,則在單調(diào)遞增②當時,令得,解得,又,∴∴當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)

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