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專題06函數(shù)的概念【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、函數(shù)的概念(1)一般地,給定非空數(shù)集,,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則,使得中任意元素,都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng),那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng),叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù).記作:,.集合叫做函數(shù)的定義域,記為,集合,叫做值域,記為.(2)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.(3)函數(shù)表示法:函數(shù)書寫方式為,(4)函數(shù)三要素:定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.(5)同一函數(shù):兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí),兩個(gè)函數(shù)才相同.2、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意:(1)分式的分母不為零;(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零:(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1;(4)零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零;(5)三角函數(shù)中的正切的定義域是且;(6)已知的定義域求解的定義域,或已知的定義域求的定義域,遵循兩點(diǎn):①定義域是指自變量的取值范圍;=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下,括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同;(7)對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域,還需根據(jù)實(shí)際意義再限制,從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域.3、基本初等函數(shù)的值域(1)的值域是.(2)的值域是:當(dāng)時(shí),值域?yàn)?;?dāng)時(shí),值域?yàn)椋?)的值域是.(4)且的值域是.(5)且的值域是.4、分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問(wèn)題往往需要進(jìn)行分類討論,根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同,然后分別解決,即分段函數(shù)問(wèn)題,分段解決.【題型歸納目錄】題型一:函數(shù)的概念題型二:同一函數(shù)的判斷題型三:給出函數(shù)解析式求解定義域題型四:抽象函數(shù)定義域題型五:函數(shù)定義域的應(yīng)用題型六:函數(shù)解析式的求法1、待定系數(shù)法(函數(shù)類型確定)2、換元法或配湊法(適用于了型)3、方程組法題型七:函數(shù)值域的求解1、觀察法2、配方法3、圖像法4、基本不等式法5、換元法6、分離常數(shù)法7、判別式法題型八:分段函數(shù)的應(yīng)用【典例例題】題型一:函數(shù)的概念例1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,可以表示函數(shù)的圖象的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的定義,對(duì)于一個(gè),只能有唯一的與之對(duì)應(yīng),只有D滿足要求故選:D例2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列函數(shù)中,不滿足:的是A. B. C. D.【答案】C【解析】A中,B中,C中,D中例3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列變量與的關(guān)系式中,不能構(gòu)成是的函數(shù)關(guān)系的是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)A,由得是函數(shù)關(guān)系;對(duì)B,由,得是函數(shù)關(guān)系;對(duì)C,由,得,此時(shí)值不唯一,不是函數(shù)關(guān)系;對(duì)D,由,得是函數(shù)關(guān)系,故選:C變式1.(2023春·福建龍巖·高三??茧A段練習(xí))函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(
)A.至少1個(gè) B.至多1個(gè) C.僅有1個(gè) D.有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)【答案】B【解析】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),y=f(x)的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn),若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),y=f(x)的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn),故選:B.變式2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列四個(gè)圖像中,是函數(shù)圖像的是(
)A.(1)(2) B.(1)(2)(3) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義,一個(gè)自變量值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值,或者多個(gè)自變量值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值,顯然只有(2)不滿足.故選:C.【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)概念判斷題型二:同一函數(shù)的判斷例4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是(
)A., B.,C., D.,【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng),,兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不相同,不是同一函數(shù);對(duì)于B選項(xiàng),的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?,兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù);對(duì)于C選項(xiàng),,的定義域?yàn)?,,的定義域?yàn)?,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都不相同,所以兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù);對(duì)于D選項(xiàng),,,定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同,所以兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù).故選:D.例5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列四組函數(shù)中,表示相等函數(shù)的一組是(
)A., B.,C., D.,【答案】A【解析】對(duì)于A,與定義域均為,,與為相等函數(shù),A正確;對(duì)于B,定義域?yàn)?,定義域?yàn)椋c不是相等函數(shù),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,定義域?yàn)椋x域?yàn)?,與不是相等函數(shù),C錯(cuò)誤;對(duì)于D,定義域?yàn)?,定義域?yàn)?,與不是相等函數(shù),D錯(cuò)誤.故選:A.例6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))以下各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是(
)A., B.,C., D.,【答案】C【解析】對(duì)于A,,對(duì)應(yīng)法則不同,故不是同一函數(shù);對(duì)于B,的定義域?yàn)?,的定義域?yàn)椋x域不相同,故不是同一函數(shù);對(duì)于C,的定義域?yàn)?,的定義域?yàn)椋适峭缓瘮?shù);對(duì)于D,的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?,故不是同一函?shù).故選:C.變式3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是(
)A., B.,C., D.,【答案】A【解析】對(duì)于A,兩個(gè)函數(shù)的定義域都是,,對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,所以兩函數(shù)是相同函數(shù),故A符合題意;對(duì)于B,函數(shù)的定義域?yàn)?,函?shù)的定義域?yàn)?,故兩函?shù)不是相同函數(shù),故B不符題意;對(duì)于C,函數(shù)的定義域?yàn)?,函?shù)的定義域?yàn)椋蕛珊瘮?shù)不是相同函數(shù),故C不符題意;對(duì)于D,函數(shù)的定義域?yàn)?,函?shù)的定義域?yàn)?,故兩函?shù)不是相同函數(shù),故D不符題意.故選:A.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí),才表示同一函數(shù),否則表示不同的函數(shù).題型三:給出函數(shù)解析式求解定義域例7.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得:解得,即的定義域?yàn)?故選:C.例8.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的定義域是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)需滿足,解得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選:C.例9.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由,解得:且.故選:C變式4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B.C. D.【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義,則,解得,的定義域?yàn)?,由,解得,的定義域?yàn)?,故選D.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是:(1)先列出使式子有意義的不等式或不等式組;(2)解不等式組;(3)將解集寫成集合或區(qū)間的形式.題型四:抽象函數(shù)定義域例10.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù),則有,解得或.因此,函數(shù)的定義域?yàn)?故選:D.例11.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知的定義域?yàn)閇0,3],則的定義域是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】∵的定義域?yàn)椋?,∴,在中,解得,所以函?shù)的定義域?yàn)椋蔬x:B例12.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,所以的定義域?yàn)?又因?yàn)椋?,所以函?shù)的定義域?yàn)?故選:C.變式5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】A【解析】∵的定義域?yàn)?,∴,由,得,則函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x:A.變式6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)?,∴,則,即的定義域?yàn)椋?,得,∴的定義域是,故選:A【方法技巧與總結(jié)】1、抽象函數(shù)的定義域求法:此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變,若的定義域?yàn)?,求中的解的范圍,即為的定義域,口訣:定義域指的是的范圍,括號(hào)范圍相同.已知的定義域,求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的,其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集,即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域,再求交集.題型五:函數(shù)定義域的應(yīng)用例13.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若函數(shù)的定義域?yàn)?,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知,函數(shù)的定義域?yàn)?,所以不等式在上恒成?當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,所以不等式在上恒成立顯然不成立,當(dāng)時(shí),則滿足,解得,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.例14.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得:在上恒成立.即時(shí),恒成立,符合題意,時(shí),只需,解得:,綜上:,故選:C.例15.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)的定義域是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】∵的定義域?yàn)?,∴只需分母不為即可,即恒成立,?)當(dāng)時(shí),恒成立,滿足題意,(2)當(dāng)時(shí),,解得,綜上可得.故選:B.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用,是逆向思維問(wèn)題,常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解,必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.題型六:函數(shù)解析式的求法1、待定系數(shù)法(函數(shù)類型確定)例16.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,且為一次函數(shù),求_________【答案】或.【解析】因?yàn)闉橐淮魏瘮?shù),所以設(shè),所以,因?yàn)椋院愠闪?,所以,解得:或,所以或,故答案為:?例17.(2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校??寄M預(yù)測(cè))寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______.①;②;③任取,,,.【答案】(答案不唯一)【解析】由題設(shè),在上單調(diào)遞增且為偶函數(shù),,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),易知:或等符合要求.故答案為:(答案不唯一)例18.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))(1)已知f(x)是一次函數(shù),且滿足f(x+1)-2f(x-1)=2x+3,求f(x)的解析式.(2)若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5,且圖象過(guò)原點(diǎn),求g(x)的解析式.【解析】(1)設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),則f(x+1)-2f(x-1)=kx+k+b-2kx+2k-2b=-kx+3k-b,即-kx+3k-b=2x+3不論x為何值都成立,∴解得∴f(x)=-2x-9.(2)設(shè)g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且圖象過(guò)原點(diǎn),∴解得∴g(x)=3x2-2x.變式7.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知是二次函數(shù),且滿足,,,求函數(shù)的解析式.【解析】設(shè),,關(guān)于對(duì)稱,即;又,,,解得:.2、換元法或配湊法(適用于了型)變式8.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,求.【解析】,令,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),,,,變式9.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)),則_______.【答案】【解析】令,于是有,故答案為:變式10.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,則_______.【答案】【解析】因?yàn)椋?,故答案為:變?1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù),則的表達(dá)式為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】令,則且,所以,,因此,.故選:B.3、方程組法變式12.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若對(duì)任意實(shí)數(shù),均有,求___________【答案】【解析】∵(1)∴(2)由得,∴.故答案為:.變式13.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,求的解析式___________.【答案】,.【解析】因?yàn)椋?,消去解得,故答案為:?變式14.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若函數(shù),滿足,且,則________.【答案】【解析】由,可知,聯(lián)立可得,所以,又因?yàn)?,所以,所?故答案為:【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下:(1)當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí),可用待定系數(shù)法求解.(2)當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí),可考慮配湊法或換元法,若易將含的式子配成,用配湊法.若易換元后求出,用換元法.(3)若求抽象函數(shù)的解析式,通常采用方程組法.(4)求分段函數(shù)的解析式時(shí),要注意符合變量的要求.(5)當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí),可考慮配湊法求解.(6)若已知成對(duì)出現(xiàn),或,,類型的抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程,消元的方法求出.題型七:函數(shù)值域的求解1、觀察法例19.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的值域是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?,故函?shù)的值域.故選:C.例20.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列函數(shù)中,值域?yàn)榈氖牵?/p>
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意利用基本初等函數(shù)的值域,得出結(jié)論.【詳解】解:函數(shù)的值域?yàn)?,,故排除;函?shù)的值域?yàn)椋逝懦?;函?shù)的值域?yàn)?,故滿足條件;函數(shù)的值域?yàn)?,,故排除,故選:.例21.(2023·浙江·高三專題練習(xí))下列函數(shù)中,函數(shù)值域?yàn)榈氖牵?/p>
)A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng),函數(shù)的值域?yàn)?,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng),函數(shù),所以函數(shù)的值域?yàn)?,所以選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)函數(shù)的值域?yàn)?所以選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng),函數(shù)的值域?yàn)?,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:B2、配方法變式15.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>
)A. B.C. D.【答案】B【解析】令,則且又因?yàn)?,所以,所以,即函?shù)的值域?yàn)?,故選:B.變式16.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知正實(shí)數(shù),,滿足,,則的最大值為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?,所以,因?yàn)榭傻茫?,所以,即,因?yàn)?,?dāng)時(shí)取得最小值,所以,所以的最大值為,故選:C.3、圖像法變式17.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù),的值域是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?,故作出其函?shù)圖象如下所示:由圖,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),可知:,,故其值域?yàn)?故選:B.4、基本不等式法變式18.(2023·河南·模擬預(yù)測(cè)(文))下列函數(shù)中最小值為6的是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】A.,最小值為5,故錯(cuò)誤;B.令,則在上遞減,其最小值為10,故錯(cuò)誤;C.,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故正確;D.當(dāng)時(shí),,顯然不成立,故錯(cuò)誤;故選:C變式19.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的值域是_______.【答案】【解析】函數(shù),當(dāng),由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,當(dāng)時(shí),由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以函數(shù)的值域?yàn)?,故答案?5、換元法變式20.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】D【解析】解:令,當(dāng)時(shí),,又,所以,,即所以,故選:D.變式21.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>
)A. B. C. D.【答案】B【解析】解:令,可得,可得函數(shù)的對(duì)稱軸為:,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)的值域?yàn)?,故選:B.變式22.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的值域是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】解:令,則,原函數(shù)即為:,對(duì)稱軸方程為,可知,函數(shù)值域?yàn)椋蔬x:C.6、分離常數(shù)法變式23.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)y的值域是()A.(﹣∞,+∞) B.(﹣∞,)∪(,+∞)C.(﹣∞,)∪(,+∞) D.(﹣∞,)∪(,+∞)【答案】D【解析】解:,∴y,∴該函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x:D.變式24.(2023·全國(guó)·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))函數(shù)的值域(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】解:依題意,,其中的值域?yàn)?,故函?shù)的值域?yàn)?,故選D.7、判別式法變式25.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))函數(shù)的最大值與最小值的和是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè),則有,當(dāng)時(shí),代入原式,解得.當(dāng)時(shí),,由,解得,于是的最大值為,最小值為,所以函數(shù)的最大值與最小值的和為.故選:B.變式26.(2023·浙江杭州·高一期中)函數(shù)的值域是___________.【答案】【解析】解:,因?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)榱?,整理得方程:?dāng)時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)時(shí),不等式整理得:解得:所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為:【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種(1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域(如≥0,及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理,憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域.(2)配方法:對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn),結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.(3)圖像法:根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征,構(gòu)造合適的幾何模型.(4)基本不等式法:注意使用基本不等式的條件,即一正、二定、三相等.(5)換元法:分為三角換元法與代數(shù)換元法,對(duì)于形的值城,可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).(6)分離常數(shù)法:對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理,使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析.(7)判別式法:把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程,利用一元二次方程的判別式求值域,一般地,形如,或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法(注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R).題型八:分段函數(shù)的應(yīng)用例22.(2023·青海海東·統(tǒng)考一模)若函數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得,則.故選:C.例23.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】①當(dāng)時(shí),,此時(shí),不合題意;②當(dāng)時(shí),,可化為,所以,解得.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.例24.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則的值為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?,所?故選:C變式27.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則(
)A. B.2 C.5 D.3【答案】A【解析】由題意可知,f(-2022)=f(-2019)=…=f(-3)=f(0)=log3(0+1)-2=-2.故選:A.變式28.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)若,則m的值為(
)A. B.2 C.9 D.2或9【答案】C【解析】∵函數(shù),,∴或,解得.故選:C.變式29.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,因此有當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,因此有又,則函數(shù)在上連續(xù),則函數(shù)在上單調(diào)遞減.由,可得,即,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:D【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的求值問(wèn)題,必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間,選定該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式代入求值2、函數(shù)區(qū)間分類討論問(wèn)題,則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi).【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1.(2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)滿足,則的解析式為(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】,所以,故選:A.2.(2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù),則(
)A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】∵,∴.故選:C.3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))若函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)?,則函數(shù)的圖像可能是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),沒(méi)有對(duì)應(yīng)的圖像,不符合題意;對(duì)于B選項(xiàng),根據(jù)函數(shù)的定義本選項(xiàng)符合題意;對(duì)于C選項(xiàng),出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,不符合題意;對(duì)于D選項(xiàng),值域當(dāng)中有的元素在集合中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù),不符合題意.故選:B.4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)則函數(shù)的圖象是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),所以結(jié)合函數(shù)圖象可知:自變量的分界線為,故排除A,C,D故選:B.5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù),則(
)A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】設(shè)函數(shù),則.故選:B.6.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則不等式的解集為(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,且,當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,且,所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減,所以不等式等價(jià)于,解得.即不等式的解集為;故選:C7.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知集合,,則(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得,或,,故,故選:B.8.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則(
)A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】故選:C9.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,則(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?,所以,令,則,所以,因此,.故選:B.10.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知,則(
).A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?,所以.故選:A二、多選題11.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是(
)A.與 B.與C.與 D.與【答案】CD【解析】對(duì)于A:函數(shù)的定義域?yàn)?,函?shù)定義域?yàn)镽,兩函數(shù)定義域不同,故不是同一函數(shù);對(duì)于B:函數(shù)定義域?yàn)镽,化簡(jiǎn)可得,與解析式不同,故不是同一函數(shù);對(duì)于C:函數(shù)定義域?yàn)?,化?jiǎn)可得,函數(shù)定義域?yàn)?,化?jiǎn)可得,故為同一函數(shù);對(duì)于D:函數(shù)定義域?yàn)镽,化簡(jiǎn)可得,與為同一函數(shù).故選:CD12.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示:下列說(shuō)法正確的是(
)A.是從集合到集合的函數(shù)B.不是從集合到集合的函數(shù)C.的定義域?yàn)榧?,值域?yàn)榧螪.【答案】AD【解析】選項(xiàng)A,對(duì)于集合A中的每個(gè)元素都有唯一的數(shù)對(duì)應(yīng),符合函數(shù)定義,正確;選項(xiàng)B,由選項(xiàng)A分析,錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,的定義域?yàn)榧希涤驗(yàn)榧?,為集合B的真子集,錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,,故,正確故選:AD13.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖所示是函數(shù)的圖象,圖中正半軸曲線與虛線無(wú)限接近但是永不相交,則以下描述正確的是(
)A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)的值域?yàn)镃.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)D.對(duì)于任意的,都有唯一的自變量與之對(duì)應(yīng)【答案】BD【解析】由圖象知:A.函數(shù)的定義域?yàn)?,故錯(cuò)誤;B.函數(shù)的值域?yàn)椋收_;C.函數(shù)在,上遞增,但在定義域內(nèi)不單調(diào),故錯(cuò)誤;D.對(duì)于任意的,都有唯一的自變量與之對(duì)應(yīng),故正確;故選:BD14.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù),則下列敘述正確的是(
)A.的值域?yàn)?B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C. D.若,則的最小值為-3【答案】BCD【解析】函數(shù),A.的值域?yàn)?,故錯(cuò)誤;B.在區(qū)間上單調(diào)遞增,故正確;C.,故正確;D.因?yàn)?,則的最小值為,故正確;故選:BCD15.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))某公司計(jì)劃定制一批精美小禮品,準(zhǔn)備在公司年終慶典大會(huì)上發(fā)給各位嘉賓,現(xiàn)有兩個(gè)工廠可供選擇,甲廠費(fèi)用分為設(shè)計(jì)費(fèi)和加工費(fèi)兩部分,先收取固定的設(shè)計(jì)費(fèi),再按禮品數(shù)量收取加工費(fèi),乙廠直接按禮品數(shù)量收取加工費(fèi),甲廠的總費(fèi)用(千元),乙廠的總費(fèi)用(千元)與禮品數(shù)量x(千個(gè))的函數(shù)關(guān)系圖象分別如圖中甲?乙所示,則(
)A.甲廠的費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為B.當(dāng)禮品數(shù)量不超過(guò)2千個(gè)時(shí),乙廠的加工費(fèi)平均每個(gè)為1.5元C.當(dāng)禮品數(shù)量超過(guò)2千個(gè)時(shí),乙廠的總費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為D.若該公司需定制的禮品數(shù)量為6千個(gè),則該公司選擇乙廠更節(jié)省費(fèi)用【答案】ABC【解析】根據(jù)圖像甲廠的費(fèi)用與禮品數(shù)量滿足的函數(shù)為一次函數(shù),且過(guò)(0,1),(8,5)兩點(diǎn),所以甲廠的費(fèi)用與禮品數(shù)量滿足的函數(shù)關(guān)系為,故A正確;當(dāng)定制禮品數(shù)量不超過(guò)2千個(gè)時(shí),乙廠的總費(fèi)用與禮品數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系式為,所以乙廠的加工費(fèi)平均每個(gè)為元,故B正確;易知當(dāng)時(shí),與之間的函數(shù)為一次函數(shù),且過(guò)(2,3),(8,5),所以函數(shù)關(guān)系式為,故C正確;當(dāng)時(shí),,,因?yàn)?,所以定制禮品數(shù)量為6千個(gè)時(shí),選擇甲廠更節(jié)省費(fèi)用,故D不正確.故選:ABC.16.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)是一次函數(shù),滿足,則的解析式可能為(
)A. B.C. D.【答案】AD【解析】設(shè),由題意可知,所以,解得或,所以或.故選:AD.17.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列各對(duì)函數(shù)中是同一函數(shù)的是(
).A.f(x)=2x-1與g(x)=2x-x0B.f(x)=與g(x)=|2x+1|;C.f(n)=2n+2(n∈Z)與g(n)=2n(n∈Z);D.f(x)=3x+2與g(t)=3t+2.【答案】BD【解析】A.函數(shù)g(x)=2x-x0=2x-1,函數(shù)的定義域是,函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同,不是同一函數(shù);B.f(x)==|2x+1|與g(x)=|2x+1|的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,是同一函數(shù);C.f(n)=2n+2(n∈Z)與g(n)=2n(n∈Z)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,不是同一函數(shù);D.f(x)=3x+2與g(t)=3t+2的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同,是同一函數(shù).故選:BD三、填空題18.(2023·北京·高三專題練習(xí))函數(shù)的定
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