微專題06數(shù)列中的復(fù)雜遞推式問題(原卷版+解析)

微專題06數(shù)列中的復(fù)雜遞推式問題秒殺總結(jié)1．疊加法：；2．疊乘法：；3．構(gòu)造法（等差，等比）：①形如(其中均為常數(shù))的遞推公式，，其中，構(gòu)造，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．②形如(其中均為常數(shù)，)，可以在遞推公式兩邊同除以，轉(zhuǎn)化為型．③形如，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)．4．取對(duì)數(shù)法：．5．由和的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)（1）利用，化為．（2）當(dāng)不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求．6．?dāng)?shù)列求和：（1）錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列(公比不等于1)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和型（2）倒序相加法（3）裂項(xiàng)相消法?？碱}型數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)方法等差數(shù)列型是公差為的等差數(shù)列是公差為的等差數(shù)列無(wú)理型指數(shù)型對(duì)數(shù)型三角型是公差為的等差數(shù)列階乘型典型例題例1．已知數(shù)列滿足且，設(shè)，則的值是A． B． C． D．例2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則在數(shù)列，，，中，有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為A．42 B．43 C．44 D．45例3．對(duì)于，．例4．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為．例5．在數(shù)1和2之間插入個(gè)正數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記為，令，．（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）．例6．?dāng)?shù)列中，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．過關(guān)測(cè)試一．選擇題（共23小題）1．設(shè)數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，數(shù)列滿足，，若表示不超過的最大整數(shù)，（例如，則A．2018 B．2019 C．2020 D．20212．已知數(shù)列滿足，，則的最小值是A．0 B． C．1 D．23．已知數(shù)列滿足：，若，A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，，，，，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．5．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，則A．99 B．101 C．399 D．4016．若以2為公比的等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的首項(xiàng)為A． B．1 C．2 D．4或7．已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)任意的，恒成立，則正整數(shù)的值是A．5 B．6 C．7 D．88．已知函數(shù)，則的值等于A．2019 B．2018 C． D．10099．已知函數(shù)，若，，則的最小值為A． B．3 C．6 D．710．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，若，則正整數(shù)的值為A．9 B．8 C．7 D．611．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則與最接近的整數(shù)是A．5 B．4 C．2 D．112．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足關(guān)系：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為A．454 B．450 C．446 D．44213．已知數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集合，，2，3，的元素個(gè)數(shù)為A．0個(gè) B．有限個(gè) C．無(wú)數(shù)個(gè) D．不能確定，與的取值有關(guān)14．已知數(shù)列和首項(xiàng)均為1，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則A．2019 B． C．4037 D．15．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．16．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)．在數(shù)列中，記為不超過的最大整數(shù)，則稱數(shù)列為的取整數(shù)列，設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前1010項(xiàng)和為A． B． C． D．17．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．令，則A． B． C． D．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，，．又已知當(dāng)時(shí)，恒成立．則使得成立的正整數(shù)的取值集合為A．， B．， C．， D．，19．已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則A． B． C． D．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A．2016 B．2017 C．2018 D．201921．已知數(shù)列滿足，，則A．0.5 B．2 C． D．1.522．設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，其前項(xiàng)和為，若，，則A．0 B． C．2020 D．404023．設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，其前項(xiàng)和為，若，，則A．0 B．2 C．2019 D．4038二．填空題（共9小題）24．已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和．25．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的通項(xiàng)．26．已知數(shù)列，滿足，，，，令，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．27．已知數(shù)列滿足，，那么．28．已知數(shù)列滿足，，若，則．29．已知數(shù)列滿足，，是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．30．已知數(shù)列與前項(xiàng)和分別為，，且，，，，則．31．已知數(shù)列與前項(xiàng)和分別為，，且，，，，則的取值范圍是．32．已知數(shù)列與前項(xiàng)和分別為，，且，，，對(duì)任意的，恒成立，則的最小值是．微專題06數(shù)列中的復(fù)雜遞推式問題秒殺總結(jié)1．疊加法：；2．疊乘法：；3．構(gòu)造法（等差，等比）：①形如(其中均為常數(shù))的遞推公式，，其中，構(gòu)造，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．②形如(其中均為常數(shù)，)，可以在遞推公式兩邊同除以，轉(zhuǎn)化為型．③形如，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)．4．取對(duì)數(shù)法：．5．由和的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)（1）利用，化為．（2）當(dāng)不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求．6．?dāng)?shù)列求和：（1）錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列(公比不等于1)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和型（2）倒序相加法（3）裂項(xiàng)相消法常考題型數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)方法等差數(shù)列型是公差為的等差數(shù)列是公差為的等差數(shù)列無(wú)理型指數(shù)型對(duì)數(shù)型三角型是公差為的等差數(shù)列階乘型典型例題例1．已知數(shù)列滿足且，設(shè)，則的值是A． B． C． D．【解答】解：數(shù)列滿足且，①可得，當(dāng)時(shí)，可得，②①②可得，即，則，，可得，則，故選：．例2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則在數(shù)列，，，中，有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為A．42 B．43 C．44 D．45【解答】解：由題意，可知：．．，，為有理項(xiàng)，又下標(biāo)3，8，15，的通項(xiàng)公式為，，且，解得：，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為．故選：．例3．對(duì)于，．【解答】解：由已知中的等式：；；由以上等式我們可以推出一個(gè)一般結(jié)論：對(duì)于，．故答案為：．例4．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為．【解答】解：由，得，，曲線在處的切線方程為，取，得，，則．故答案為：．例5．在數(shù)1和2之間插入個(gè)正數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記為，令，．（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）．【解答】解：（1）設(shè)在數(shù)1和2之間插入個(gè)正數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列為，則，，即，為此等比數(shù)列的公比．，，故答案為：．（2）由（1）可得，又，，，．，，故答案為：．例6．?dāng)?shù)列中，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：，，即，又，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，．不等式化為：．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，則當(dāng)時(shí)，取最小，最小值為，故答案為：，．過關(guān)測(cè)試一．選擇題（共23小題）1．設(shè)數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，數(shù)列滿足，，若表示不超過的最大整數(shù)，（例如，則A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：數(shù)列滿足，，整理得，由于數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，整理得，，，，各式相乘得到，所以．則，所以．故選：．2．已知數(shù)列滿足，，則的最小值是A．0 B． C．1 D．2【解答】解：，兩邊同時(shí)除以，得，，故，故最小值為時(shí)，的最小值是1，故選：．3．已知數(shù)列滿足：，若，A． B． C． D．【解答】解：由題意數(shù)列滿足：，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，．故選：．4．已知數(shù)列滿足，，，，，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【解答】解：由可得．化簡(jiǎn)得，累加求和得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，即．，，，所以，即．故選：．5．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，則A．99 B．101 C．399 D．401【解答】解：數(shù)列的首項(xiàng)，，則：，整理得：，所以：，即：（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．則：，整理得：（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），則：，所以：．故選：．6．若以2為公比的等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的首項(xiàng)為A． B．1 C．2 D．4或【解答】解：，公比為2，，時(shí)，，解得：或2．或．故選：．7．已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)任意的，恒成立，則正整數(shù)的值是A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：依題意，為整數(shù)，故為偶數(shù)又，，即，又，，又，，，，，故選：．8．已知函數(shù)，則的值等于A．2019 B．2018 C． D．1009【解答】解：函數(shù)，，．故選：．9．已知函數(shù)，若，，則的最小值為A． B．3 C．6 D．7【解答】解：因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，所以，，，所以，即，，，所以當(dāng)時(shí)，最小值為．故選：．10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，若，則正整數(shù)的值為A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解；設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，則，所以，令，得，解得．故選：．11．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則與最接近的整數(shù)是A．5 B．4 C．2 D．1【解答】解：數(shù)列滿足，，即有，即，可得；，，，則，，則與最接近的整數(shù)是2．故選：．12．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足關(guān)系：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為A．454 B．450 C．446 D．442【解答】解：由題意可得：．，時(shí)，，相減可得：，可得．時(shí)，，可得．則．故選：．13．已知數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集合，，2，3，的元素個(gè)數(shù)為A．0個(gè) B．有限個(gè) C．無(wú)數(shù)個(gè) D．不能確定，與的取值有關(guān)【解答】解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)且時(shí)，，若，則；若，則；若，則；若，則．而，則時(shí)，數(shù)列遞減且無(wú)下限（※）；時(shí)，數(shù)列遞增且無(wú)上限．（1）若，則，根據(jù)（※）可知，在求解，，的迭代過程中，終有一項(xiàng)會(huì)首次小于0，不妨設(shè)為；（2）若，則；①若，則，接下來進(jìn)入（2）或（3）；②若，接下來進(jìn)入（3）；（3）若，則，接下來進(jìn)入（1）或（4）；（4）若，則，接下來進(jìn)入（2）或（3）．若，則進(jìn)入（4）．若，則進(jìn)入②．若，則進(jìn)入①．如此會(huì)無(wú)限循環(huán)下去，會(huì)出現(xiàn)無(wú)限個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)．綜上：集合，，2，3，的元素個(gè)數(shù)為無(wú)數(shù)個(gè)．故選：．14．已知數(shù)列和首項(xiàng)均為1，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則A．2019 B． C．4037 D．【解答】解：，，，，另外：，可得，．，，，．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．，．．故選：．15．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．【解答】解：由得：，，即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，，即，，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，對(duì)于，，即，即，只需，令，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又（1），（2），當(dāng)時(shí)，的最大值為（1）（2），即，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，，故選：．16．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)．在數(shù)列中，記為不超過的最大整數(shù)，則稱數(shù)列為的取整數(shù)列，設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前1010項(xiàng)和為A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，易知，則，則，所以數(shù)列的前1010項(xiàng)和為，故選：．17．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．令，則A． B． C． D．【解答】解：依題意，得，則，即，所以，所以，易知，所以，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選：．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，，．又已知當(dāng)時(shí)，恒成立．則使得成立的正整數(shù)的取值集合為A．， B．， C．， D．，【解答】解：當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，相減可得：，化為：，數(shù)列是等差數(shù)列，，，．，，，，公差．．．．．成立，成立，化為：，解得．使得成立的正整數(shù)的取值集合為，．故選：．19．已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則A． B． C． D．【解答】解：由，，得，且，兩式作比可得：．?dāng)?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．，．故選：．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【解答】解：由數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，上式對(duì)時(shí)也成立，，，函數(shù)的周期，．故選：．21．已知數(shù)列滿足，，則A．0.5 B．2 C． D．1.5【解答】解：，，，，，，．則，故選：．22．設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，其前項(xiàng)和為，若，，則A．0 B． C．2020 D．4040【解答】解：等差數(shù)列的公差不為0，且，，令，則即，，，兩式相加可得，，，，則．故選：．23．設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，其前項(xiàng)和為，若，，則A．0 B．2 C．2019 D．4038【解答】解：因?yàn)棰伲?，兩式相加化?jiǎn)得：，又因?yàn)椋?，即，所以，則，故選：．二．填空題（共9小題）24．已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：，，且，①當(dāng)時(shí)，，即，數(shù)列是公比的等比數(shù)列，，解得，，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又，②①②可得，，即，化為，又，為等差數(shù)列，且公差，則，，．故答案為：．25．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的通項(xiàng)．【解答】解：，，．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2，．時(shí)，．則數(shù)列的通項(xiàng)，則數(shù)列的通項(xiàng)．故答案為：．26．已知數(shù)列，滿足，，，，令，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【解答】解：由題可得：，又，故是首項(xiàng)為0.9，公比為的等比數(shù)列，故．故答案為：．27．已知數(shù)列滿足，，那么．【解答】解：數(shù)列滿足，，可得，，，，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法