易錯(cuò)10概率統(tǒng)計(jì)(理)(原卷版+解析)

易錯(cuò)10概率統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)導(dǎo)圖易錯(cuò)導(dǎo)圖易錯(cuò)詳講易錯(cuò)詳講易錯(cuò)點(diǎn)1回歸方程的樣本中心【例1】（2023·海南楓葉國(guó)際學(xué)校高二期中）某設(shè)備的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：使用年限（單位：年）維修費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）根據(jù)上表可得回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)，若使用年限為年，估計(jì)維修費(fèi)約為_(kāi)_________萬(wàn)元．【舉一反三】1．（2023·南昌市八一中學(xué)）已知，取值如表：畫(huà)散點(diǎn)圖分析可知：與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，則__________．2．（2023·湖南省祁東縣第一中學(xué)）已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.27，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程為_(kāi)_________．3．（2023·山西省原平市范亭中學(xué)）一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了8次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)1020304050607080加工時(shí)間626875818995102108設(shè)回歸直線方程為，若，則點(diǎn)在直線的________方易錯(cuò)點(diǎn)22X2聯(lián)表理解有誤【例2】（2023·北京豐臺(tái)）在研究吸煙是否對(duì)患肺癌有影響的案例中，通過(guò)對(duì)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．001的前提下，下面說(shuō)法正確的是（）下面臨界值表供參考0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828A．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001B．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不低于0.001C．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001D．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不低于0.001【舉一反三】1．（2023·甘肅蘭州一中）為了調(diào)查患胃病是否與生活不規(guī)律有關(guān)，在患胃病與生活不規(guī)律這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是（）A．越大，“患胃病與生活不規(guī)律沒(méi)有關(guān)系”的可信程度越大.B．越大，“患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)系”的可信程度越小.C．若計(jì)算得，經(jīng)查臨界值表知，則在個(gè)生活不規(guī)律的人中必有人患胃病.D．從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.2．（2023·寧夏高三其他模擬（文））通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)200名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好踢毽子運(yùn)動(dòng)，計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，參照附表，得到的正確結(jié)論是（）0.100.050.0252.7063.8415.024A．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”3．（2023·重慶）今年，受新冠肺炎疫情的影響，在全國(guó)的許多地方都采取了在家線上學(xué)習(xí)的方式，而此種方式對(duì)學(xué)生的自制力、自覺(jué)性有極高的要求.然而，在手機(jī)面前，有些學(xué)生終究無(wú)法抵御游戲和短視頻的誘惑.從而導(dǎo)致無(wú)法專心完成學(xué)習(xí)任務(wù)，成績(jī)下滑；但是對(duì)于自制力強(qiáng)，能有效管理自己的學(xué)生，手機(jī)不僅不會(huì)對(duì)他們的學(xué)習(xí)造成負(fù)面影響，還能成為他們學(xué)習(xí)的有力助手.某校某研究學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“學(xué)生線上學(xué)習(xí)智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響”，從學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀與不優(yōu)秀中分別隨機(jī)抽查了40名同學(xué)，得到了是否使用手機(jī)的如下樣本數(shù)據(jù)：不使用使用合計(jì)優(yōu)秀281240不優(yōu)秀142640合計(jì)423880附：，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法中，正確的是（）A．有的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響B(tài)．有的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響C．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響D．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響易錯(cuò)點(diǎn)3超幾何與二項(xiàng)分布區(qū)分【例3】（2023·和平·天津一中高三月考）隨著馬拉松運(yùn)動(dòng)在全國(guó)各地逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加.為此，某市對(duì)參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中一項(xiàng)是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取100人，對(duì)其每月參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)人數(shù)106030（1）以這100人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替該市參與馬拉松訓(xùn)練的人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于該區(qū)間的概率，從該市所有參與馬拉松訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取4個(gè)人，求恰好有2個(gè)人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的概率；（2）依據(jù)統(tǒng)計(jì)表，用分層抽樣的方法從這100個(gè)人中抽取20個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)人中隨機(jī)抽取4個(gè)，表示抽取的是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【舉一反三】1.（2023·浙江臺(tái)州）2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？2（2023·?？谑械谒闹袑W(xué)高三月考）為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機(jī)選取100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過(guò)的有40人，不超過(guò)的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過(guò)的有20人，不超過(guò)的有25人.（1）完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“平均車速超過(guò)與性別有關(guān)”？

平均車速超過(guò)平均車速不超過(guò)總計(jì)男性駕駛員

女性駕駛員

總計(jì)

附：，其中.（2）在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過(guò)的人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；（3）以上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車平均車速超過(guò)且為男性駕駛員的車輛數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.易錯(cuò)點(diǎn)4幾何概型及古典概型【例4-1】（2023·廣西南寧三中高三其他模擬（理））《西游記》?《三國(guó)演義》?《水滸傳》?《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)古典小說(shuō)四大名著.若在這四大名著中，任取2種進(jìn)行閱讀，則取到《紅樓夢(mèng)》的概率為_(kāi)_______.【例4-2】（2023·云南師大附中高三月考（理））勾股定理又稱商高定理，三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的陰影小正方形組成的，如圖，記，若，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影正方形的概率為_(kāi)_______.【舉一反三】1．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)高三月考）某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，則最后播放的是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不連續(xù)播放的概率是_________.2．（2023·河北滄州三中）已知x，y是上的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，則x，y滿足的概率為_(kāi)_______.3．（2023·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（文））如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線成軸對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是_____________．避錯(cuò)強(qiáng)化避錯(cuò)強(qiáng)化1．（2023·開(kāi)魯縣第一中學(xué)高三月考（理））為了解戶籍性別對(duì)生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各人；男性人，女性人.繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對(duì)應(yīng)比例，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)B．是否傾向選擇生育二胎與性別無(wú)關(guān)C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)2．（2023·陜西西安中學(xué)高三月考（理））通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)50名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表，計(jì)算得．參照臨界值表，得到的正確結(jié)論是（）愛(ài)好不愛(ài)好合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)3020500.0100.0050.001K6.6357.87910.828A．有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”3．（2023·福建廈門雙十中學(xué)）已知四個(gè)命題：①在回歸分析中，可以用來(lái)刻畫(huà)回歸效果，的值越大，模型的擬合效果越好；②在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大；③在回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加1個(gè)單位；④兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；其中真命題是：A．①④ B．②④ C．①② D．②③4．（2023·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)比較，正確的是（）A． B．C． D．5．（2023·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)）下列說(shuō)法：①殘差可用來(lái)判斷模型擬合的效果；②設(shè)有一個(gè)回歸方程：，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位；③線性回歸直線：必過(guò)點(diǎn)；④在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，則有的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系（其中）；其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·四川高三開(kāi)學(xué)考試（文））給出下列說(shuō)法：①回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)；②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1；③將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變；④在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均減少0.5個(gè)單位.其中說(shuō)法正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④7．（2023·青海）根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中，2，…，500），求得的回歸方程是，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．樣本點(diǎn)可能全部都不在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為1C．若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等D．若回歸直線的斜率，則變量x與y呈負(fù)相關(guān)8．（2023·吉林）某工廠某產(chǎn)品產(chǎn)量(千件)與單位成本(元)滿足回歸直線方程,則以下說(shuō)法中正確的是()A．產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元 B．產(chǎn)量每減少件,單位成本約下降元C．當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí),單位成本為元 D．當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí),單位成本為元9．（2023·內(nèi)蒙古赤峰）某服裝廠引進(jìn)新技術(shù)，其生產(chǎn)服裝的產(chǎn)量（百件）與單位成本（元）滿足回歸直線方程，則以下說(shuō)法正確的是（）A．產(chǎn)量每增加100件，單位成本約下降元B．產(chǎn)量每減少100件，單位成本約上升元C．產(chǎn)量每增加100件，單位成本約上升元D．產(chǎn)量每減少100件，單位成本約下降元10．（2023·太原市小店區(qū)黃陵街道初級(jí)中學(xué)校）已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下：x0123y8264則線性回歸方程所表示的直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)________.11．（2023·陜西西安·高三月考（文））一塊外表面均被涂為紅色的正方體被分成64個(gè)大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻混合，則從中任意取出一塊小正方體僅有一面涂成紅色的概率是___________.12．（2023·榆樹(shù)市第一高級(jí)中學(xué)校高三月考（文））一張方桌有四個(gè)座位，先坐在如圖所示的座位上，三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)位置上，則與D不相鄰的概率為_(kāi)_______．13．（2023·江蘇高三其他模擬）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，蘊(yùn)含了深?yuàn)W的宇宙星象之理，被譽(yù)為“宇宙魔方”，是中華文化陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源.河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為_(kāi)_____.14．（2023·廣西南寧）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為_(kāi)_______．15．（2023·安徽）明朝著名易學(xué)家來(lái)知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說(shuō)明一年之氣象，來(lái)氏認(rèn)為“萬(wàn)古之人事，一年之氣象也，春作夏長(zhǎng)秋收冬藏，一年不過(guò)如此”.上圖是來(lái)氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在黑色區(qū)域的概率為_(kāi)_____.16．（2023·湖北武）“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，為的中點(diǎn)，若在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自扇面（扇環(huán)）部分的概率是________________.17．（2023·安徽省肥東縣第二中學(xué)）以邊長(zhǎng)為2的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心各作一個(gè)半徑為1的四分之一圓周，如圖，現(xiàn)向正方體內(nèi)任投一質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)落入圖中陰影部分的概率為_(kāi)_________．18．（2023·江西南昌二中高三其他模擬（文））已知橢圓的焦點(diǎn)為，，若在長(zhǎng)軸上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的直線交橢圓于點(diǎn)，若使得的點(diǎn)的概率為，則的值為_(kāi)_．19．（2023·寧夏吳忠中學(xué)）一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為_(kāi)______,20．（2023·凱里市第三中學(xué)高三月考（理））北京是歷史悠久的千年古都，現(xiàn)在是中國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、文化等多領(lǐng)域的中心，歷史文化積淀深厚，自然人文景觀豐富，科學(xué)技術(shù)發(fā)達(dá)，教育資源眾多，成為當(dāng)代絕大多數(shù)人的理想向往之地．凱里市為了將來(lái)更好的推進(jìn)“研學(xué)游學(xué)”項(xiàng)目來(lái)豐富中學(xué)生的課余生活，幫助中學(xué)生樹(shù)立崇高理想，更好地實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值．為了更好了解學(xué)生的喜好情況，某組織負(fù)責(zé)人把項(xiàng)目分為歷史人文游、科技體驗(yàn)游、自然風(fēng)光游三種類型，并在全市中學(xué)中隨機(jī)抽取10所學(xué)校學(xué)生意向選擇喜好類型，統(tǒng)計(jì)如下：類型歷史人文游科技體驗(yàn)游自然風(fēng)光游學(xué)校數(shù)442在這10所中小學(xué)中，隨機(jī)抽取了3所學(xué)校，并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游學(xué)意向類型的概率（假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游學(xué)類型時(shí)僅能選擇其中一類，且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響）．（1）若這3所學(xué)校選擇的研學(xué)游學(xué)類型是歷史人文游、自然風(fēng)光游，求這兩種都有學(xué)校選擇的概率；（2）設(shè)這3所學(xué)校中選擇科技體驗(yàn)游學(xué)校的隨機(jī)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，某校高三年級(jí)為響應(yīng)“停課不停學(xué)”，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行線上學(xué)習(xí)，學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間每天不超過(guò)4小時(shí).為了解學(xué)生線上學(xué)習(xí)情況，年級(jí)負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)了全體學(xué)生某天的數(shù)據(jù)，隨機(jī)抽取10個(gè)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行分析，繪制成下表.學(xué)生編號(hào)12345678910線上學(xué)習(xí)時(shí)間（分鐘）1209018021010014020024080160（1）若從這10個(gè)學(xué)生中任意選取3人，設(shè)選到的3人中線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于3小時(shí)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）以表中選取的10人當(dāng)天線上學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本，估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)生當(dāng)天線上學(xué)習(xí)時(shí)間的情況.從全部高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，若抽到k人的當(dāng)天線上學(xué)習(xí)時(shí)間小于3小時(shí)的可能性最大，求k的值.易錯(cuò)10概率統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)導(dǎo)圖易錯(cuò)導(dǎo)圖易錯(cuò)詳講易錯(cuò)詳講易錯(cuò)點(diǎn)1回歸方程的樣本中心【例1】（2023·海南楓葉國(guó)際學(xué)校高二期中）某設(shè)備的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：使用年限（單位：年）維修費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）根據(jù)上表可得回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)，若使用年限為年，估計(jì)維修費(fèi)約為_(kāi)_________萬(wàn)元．答案:解析：，則中心點(diǎn)為，代入回歸直線方程可得，.當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元），即估計(jì)使用14年時(shí)，維修費(fèi)用是18萬(wàn)元.故答案為：18.【舉一反三】1．（2023·南昌市八一中學(xué)）已知，取值如表：畫(huà)散點(diǎn)圖分析可知：與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，則__________．答案:解析：計(jì)算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（3，），又y與x的線性回歸方程=x+1過(guò)樣本中心點(diǎn)，∴=1×3+1，解得m=.故填.2．（2023·湖南省祁東縣第一中學(xué)）已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.27，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程為_(kāi)_________．答案:解析：設(shè)回歸直線方程為，因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心為，所以，解得，所以，故答案為：3．（2023·山西省原平市范亭中學(xué)）一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了8次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)1020304050607080加工時(shí)間626875818995102108設(shè)回歸直線方程為，若，則點(diǎn)在直線的________方答案:右下方解析：由題意可得：，則，故點(diǎn)為在直線右下方。易錯(cuò)點(diǎn)22X2聯(lián)表理解有誤【例2】（2023·北京豐臺(tái)）在研究吸煙是否對(duì)患肺癌有影響的案例中，通過(guò)對(duì)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．001的前提下，下面說(shuō)法正確的是（）下面臨界值表供參考0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828A．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001B．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不低于0.001C．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001D．由于隨機(jī)變量的觀測(cè)值，所以“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，并且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不低于0.001答案:A解析：由題意知，通過(guò)對(duì)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值，其中，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.故選：A.【舉一反三】1．（2023·甘肅蘭州一中）為了調(diào)查患胃病是否與生活不規(guī)律有關(guān)，在患胃病與生活不規(guī)律這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是（）A．越大，“患胃病與生活不規(guī)律沒(méi)有關(guān)系”的可信程度越大.B．越大，“患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)系”的可信程度越小.C．若計(jì)算得，經(jīng)查臨界值表知，則在個(gè)生活不規(guī)律的人中必有人患胃病.D．從統(tǒng)計(jì)量中得知有的把握認(rèn)為患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.答案:D解析：越大，“患胃病與生活不規(guī)律沒(méi)有關(guān)系”的可信程度越小，則“患胃病與生活不規(guī)律有關(guān)系”的可信程度越大，故選項(xiàng)A，B不正確；是檢驗(yàn)患胃病與生活不規(guī)律相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無(wú)關(guān)的概率，故選項(xiàng)C不正確；故選：D2．（2023·寧夏高三其他模擬（文））通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)200名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好踢毽子運(yùn)動(dòng)，計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，參照附表，得到的正確結(jié)論是（）0.100.050.0252.7063.8415.024A．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”答案:C解析：∵計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量值的觀測(cè)值，參照題目中的數(shù)值表，得到正確的結(jié)論是：在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.故選：C.3．（2023·重慶）今年，受新冠肺炎疫情的影響，在全國(guó)的許多地方都采取了在家線上學(xué)習(xí)的方式，而此種方式對(duì)學(xué)生的自制力、自覺(jué)性有極高的要求.然而，在手機(jī)面前，有些學(xué)生終究無(wú)法抵御游戲和短視頻的誘惑.從而導(dǎo)致無(wú)法專心完成學(xué)習(xí)任務(wù)，成績(jī)下滑；但是對(duì)于自制力強(qiáng)，能有效管理自己的學(xué)生，手機(jī)不僅不會(huì)對(duì)他們的學(xué)習(xí)造成負(fù)面影響，還能成為他們學(xué)習(xí)的有力助手.某校某研究學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“學(xué)生線上學(xué)習(xí)智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響”，從學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀與不優(yōu)秀中分別隨機(jī)抽查了40名同學(xué)，得到了是否使用手機(jī)的如下樣本數(shù)據(jù)：不使用使用合計(jì)優(yōu)秀281240不優(yōu)秀142640合計(jì)423880附：，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法中，正確的是（）A．有的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響B(tài)．有的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響C．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響D．可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響答案:B解析：有的把握認(rèn)為中學(xué)生使用手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響，故選：B易錯(cuò)點(diǎn)3超幾何與二項(xiàng)分布區(qū)分【例3】（2023·和平·天津一中高三月考）隨著馬拉松運(yùn)動(dòng)在全國(guó)各地逐漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加.為此，某市對(duì)參加馬拉松運(yùn)動(dòng)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中一項(xiàng)是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取100人，對(duì)其每月參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)人數(shù)106030（1）以這100人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替該市參與馬拉松訓(xùn)練的人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于該區(qū)間的概率，從該市所有參與馬拉松訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取4個(gè)人，求恰好有2個(gè)人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的概率；（2）依據(jù)統(tǒng)計(jì)表，用分層抽樣的方法從這100個(gè)人中抽取20個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)人中隨機(jī)抽取4個(gè)，表示抽取的是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.答案:（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，解析：（1）隨機(jī)抽取1人，平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取4個(gè)人，“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù)為，則，∴.（2）從這100個(gè)人中抽取20個(gè)人中，“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù)為人，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，∴的分布列為01234數(shù)學(xué)期望.【舉一反三】1.（2023·浙江臺(tái)州）2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？答案:（1）；（2）選擇第二種方案更合算.解析：（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因?yàn)?，所以該顧客選擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算.2（2023·?？谑械谒闹袑W(xué)高三月考）為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機(jī)選取100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過(guò)的有40人，不超過(guò)的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過(guò)的有20人，不超過(guò)的有25人.（1）完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“平均車速超過(guò)與性別有關(guān)”？

平均車速超過(guò)平均車速不超過(guò)總計(jì)男性駕駛員

女性駕駛員

總計(jì)

附：，其中.（2）在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過(guò)的人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；（3）以上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車平均車速超過(guò)且為男性駕駛員的車輛數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.答案:（1）答案見(jiàn)解析，能；（2）；（3）答案見(jiàn)解析，.解析：（1）完成的列聯(lián)表如下：平均車速超過(guò)平均車速不超過(guò)合計(jì)男性駕駛員401555女性駕駛員202545合計(jì)6040100，所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，能認(rèn)為“平均車速超過(guò)與性別有關(guān)”.（2）平均車速不超過(guò)的駕駛員有40人，從中隨機(jī)抽取2人的方法總數(shù)為，記“這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件，則事件所包含的基本事件數(shù)為，所以所求的概率.（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過(guò)且為男性駕駛員的概率為，故.所以；；；.所以的分布列為0123（或）.易錯(cuò)點(diǎn)4幾何概型及古典概型【例4-1】（2023·廣西南寧三中高三其他模擬（理））《西游記》?《三國(guó)演義》?《水滸傳》?《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)古典小說(shuō)四大名著.若在這四大名著中，任取2種進(jìn)行閱讀，則取到《紅樓夢(mèng)》的概率為_(kāi)_______.答案:解析：4本名著選兩本共有種，選取的兩本中含有《紅樓夢(mèng)》的共有種，所以任取2種進(jìn)行閱讀，則取到《紅樓夢(mèng)》的概率為：.故答案為：.【例4-2】（2023·云南師大附中高三月考（理））勾股定理又稱商高定理，三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的陰影小正方形組成的，如圖，記，若，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影正方形的概率為_(kāi)_______.答案:解析：∵，∴，不妨設(shè)，，則，所以大正方形的面積為，陰影小正方形的面積為，所以概率為．故答案為.【舉一反三】1．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)高三月考）某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，則最后播放的是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不連續(xù)播放的概率是_________.答案:解析：由題意知本題是等可能事件的概率，所有事件數(shù)是滿足條件的首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，有種結(jié)果，兩個(gè)奧運(yùn)廣告不能連放，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，有3種結(jié)果，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，共有種結(jié)果，要求的概率是，故答案為：2．（2023·河北滄州三中）已知x，y是上的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，則x，y滿足的概率為_(kāi)_______.答案:解析：如圖所示：陰影部分表示滿足條件的區(qū)域，易知交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)面積型幾何概型的公式.故答案為：.3．（2023·黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（文））如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線成軸對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是_____________．答案:解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則黑色部分的面積為：，結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式可得，滿足題意的概率值為：.避錯(cuò)強(qiáng)化避錯(cuò)強(qiáng)化1．（2023·開(kāi)魯縣第一中學(xué)高三月考（理））為了解戶籍性別對(duì)生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各人；男性人，女性人.繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對(duì)應(yīng)比例，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)B．是否傾向選擇生育二胎與性別無(wú)關(guān)C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)答案:C解析：由不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖知：在A中，城鎮(zhèn)戶籍傾向選擇生育二胎的比例為，農(nóng)村戶籍傾向選擇生育二胎的比例為，是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)，故A正確；在B中，男性傾向選擇生育二胎的比例為，女性傾向選擇生育二胎的比例為，是否傾向選擇生育二胎與性別無(wú)關(guān)，故B正確；在C中，男性傾向選擇生育二胎的比例為，人數(shù)為人，女性傾向選擇生育二胎的比例為，人數(shù)為人，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)比女性人數(shù)多，故C錯(cuò)誤；在D中，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)為人，城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)為人，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，故D正確．故選：C．2．（2023·陜西西安中學(xué)高三月考（理））通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)50名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表，計(jì)算得．參照臨界值表，得到的正確結(jié)論是（）愛(ài)好不愛(ài)好合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)3020500.0100.0050.001K6.6357.87910.828A．有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99.9%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”答案:A解析：由，結(jié)合臨界值表可得有99.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，或在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，故選：A.3．（2023·福建廈門雙十中學(xué)）已知四個(gè)命題：①在回歸分析中，可以用來(lái)刻畫(huà)回歸效果，的值越大，模型的擬合效果越好；②在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大；③在回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加1個(gè)單位；④兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；其中真命題是：A．①④ B．②④ C．①② D．②③答案:C解析：對(duì)于①，在回歸分析中，可以用來(lái)刻畫(huà)回歸效果，的值越大，模型的擬合效果越好，正確；對(duì)于②；在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大，正確；對(duì)于③，在回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位，錯(cuò)誤；對(duì)于④，兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，錯(cuò)誤；故選C.4．（2023·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)比較，正確的是（）A． B．C． D．答案:B【解析：由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，圖1和圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0，則，圖2和圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0，則，圖3和圖4的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以相關(guān)性較強(qiáng)，所以接近于1，接近于，圖1和圖2的點(diǎn)相對(duì)分散一些，所以相關(guān)性較弱，所以和比較接近0，由此可得：.故選：B.5．（2023·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)）下列說(shuō)法：①殘差可用來(lái)判斷模型擬合的效果；②設(shè)有一個(gè)回歸方程：，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位；③線性回歸直線：必過(guò)點(diǎn)；④在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，則有的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系（其中）；其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案:B解析：對(duì)于①，殘差可用來(lái)判斷模型擬合的效果，殘差越小，擬合效果越好，∴①正確；對(duì)于②，回歸方程中，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，∴②錯(cuò)誤；對(duì)于③，線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，∴③正確；對(duì)于④，在列聯(lián)表中，由計(jì)算得，對(duì)照臨界值得，有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系，④正確；綜上，其中錯(cuò)誤的命題是②，共1個(gè)．故選：B．6．（2023·四川高三開(kāi)學(xué)考試（文））給出下列說(shuō)法：①回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)；②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1；③將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變；④在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均減少0.5個(gè)單位.其中說(shuō)法正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④答案:B解析：對(duì)于①中，回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，但不一定過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)，所以不正確；對(duì)于②中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，可得兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1，所以是正確的；對(duì)于③中，根據(jù)方差的計(jì)算公式，可得將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差是不變的，所以是正確的；對(duì)于④中，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均減少0.5個(gè)單位，所以是正確的.故選：B.7．（2023·青海）根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中，2，…，500），求得的回歸方程是，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．樣本點(diǎn)可能全部都不在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為1C．若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等D．若回歸直線的斜率，則變量x與y呈負(fù)相關(guān)答案:B解析：回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上故A正確；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)可能為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C正確；相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同，若回歸直線的斜率，則，則變量x與y呈負(fù)相關(guān)，故D正確．故選：B.8．（2023·吉林）某工廠某產(chǎn)品產(chǎn)量(千件)與單位成本(元)滿足回歸直線方程,則以下說(shuō)法中正確的是()A．產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元 B．產(chǎn)量每減少件,單位成本約下降元C．當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí),單位成本為元 D．當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí),單位成本為元答案:A解析：令,因?yàn)?所以產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元.9．（2023·內(nèi)蒙古赤峰）某服裝廠引進(jìn)新技術(shù)，其生產(chǎn)服裝的產(chǎn)量（百件）與單位成本（元）滿足回歸直線方程，則以下說(shuō)法正確的是（）A．產(chǎn)量每增加100件，單位成本約下降元B．產(chǎn)量每減少100件，單位成本約上升元C．產(chǎn)量每增加100件，單位成本約上升元D．產(chǎn)量每減少100件，單位成本約下降元答案:A解析：表示產(chǎn)量每增加100件，單位成本約下降元，故選：A10．（2023·太原市小店區(qū)黃陵街道初級(jí)中學(xué)校）已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下：x0123y8264則線性回歸方程所表示的直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)________.答案:（1.5,5）解析：由題意可得：，，線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，即線性回歸方程所表示的直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1.5,5）11．（2023·陜西西安·高三月考（文））一塊外表面均被涂為紅色的正方體被分成64個(gè)大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻混合，則從中任意取出一塊小正方體僅有一面涂成紅色的概率是___________.答案:解析：根據(jù)題意，在得到的64個(gè)小正方體中，每個(gè)面上僅有一面涂成紅色的正方體個(gè)數(shù)為4個(gè)，故6個(gè)面共有（個(gè)）其余的都是一面涂油漆的，所以，在64個(gè)小正方體中，任取一個(gè)其兩面涂有油漆的概率為：故答案為：12．（2023·榆樹(shù)市第一高級(jí)中學(xué)校高三月考（文））一張方桌有四個(gè)座位，先坐在如圖所示的座位上，三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)位置上，則與D不相鄰的概率為_(kāi)_______．答案:解析：由題意，三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)位置上，有種坐法，其中與D不相鄰的坐法有2種，即與D分別坐在的兩邊，所以與D不相鄰的概率為.故答案為：13．（2023·江蘇高三其他模擬）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，蘊(yùn)含了深?yuàn)W的宇宙星象之理，被譽(yù)為“宇宙魔方”，是中華文化陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源.河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為_(kāi)_____.答案:解析：∵陽(yáng)數(shù)為1，3，5，7，9；陰數(shù)為2，4，6，8，10，∴從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)的所有組合共有5×5=25個(gè)，滿足差的絕對(duì)值為5的有(1,6)，(3,8)，(5,10)，(7,2)，(9,4)共5個(gè)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為故答案為：14．（2023·廣西南寧）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為_(kāi)_______．答案:解析：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為15．（2023·安徽）明朝著名易學(xué)家來(lái)知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說(shuō)明一年之氣象，來(lái)氏認(rèn)為“萬(wàn)古之人事，一年之氣象也，春作夏長(zhǎng)秋收冬藏，一年不過(guò)如此”.上圖是來(lái)氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在黑色區(qū)域的概率為_(kāi)_____.答案:解析：設(shè)大圓面積為，小圓面積，則，，可得黑色區(qū)域的面積為，所以落在黑色區(qū)域的概率為.故答案為：.16．（2023·湖北武）“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又