山東省菏澤市2024屆高三年級下冊模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（三）（含答案與解析）

山東省荷澤市2024屆高三下學(xué)期模擬預(yù)測卷(三)

數(shù)學(xué)試題

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼、考場號、座位號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在

考生信息條形碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在革

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

sin2cr

1.若tana=2,則cosZa—sin?］的值為()

4244

A.--B.-C.-D.-

7397

5

2.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=-x-3x+a-l9則/(—〃)的值為

()

A.1B.2C.3D.4

3.已知圓臺。1。2的母線長為4,下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16,則該圓臺

的表面積為()

A.24兀B.25兀C.26兀D.27兀

4.已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，67]=-21,$7=九，則S”的最小值為()

A.-99B.-100C.-110D.-121

22

5.已知尸(c,0)為雙曲線C：__乙=1(。>0,%>0)的右焦點(diǎn)，直線x=c與。的兩條漸近線分別

/檸

交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q鉆是面積為4的直角三角形，則C的方程為（）

6.在4ABe中，內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,b,c,且^^_q=（ca）sinC,延長臺。至點(diǎn)

sinAsinA

D,使得3C=CD,若AD=2百,A3=2,則。=（）

A1B.y/3C.2D.3

7.盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后

放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件A="兩次均未摸出紅球”，事件3=

“兩次均未摸出白球"，事件C="第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件。="第二次摸出的兩個(gè)球中有白

球”，則（）

A.A與B相互獨(dú)立B.A與。相互獨(dú)立

C.3與C相互獨(dú)立D.。與。相互獨(dú)立

8.在三棱錐D—ABC中，43=2,4。=3。,4。，3。/211/4。3=￥，￡為48的中點(diǎn)，且直線

OE與平面ABC所成角的余弦值為巫，則三棱錐。一ABC的外接球的表面積為（）

4

A24兀B.36兀C.4071D.48兀

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：

分）作為一個(gè)樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（）

A.m=0.030

B.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75

C.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)

D.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85

10.已知z滿足|z+i2-i3|=|z|,且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則()

A.x-y-l=0B.x+y+l=Qc.忖的最小值為日D.|z|的最小值為g

11.已知函數(shù)/(x)=cos[ox+7}0〉O),則()

A.若/(X)圖象向右平移;個(gè)單位長度后與/(X)的圖象重合，則。的最小值為1

B.若/(%)圖象向左平移:個(gè)單位長度后得到函數(shù)y=sinox的圖象，則。的最小值為5

C.若函數(shù)|/(到的最小正周期為:，則切=4

D.當(dāng)。=1時(shí)，若/(%)的圖象向右平移:個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則方程

|g(x)|+其田=1有無窮多個(gè)解

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

'x+2]

12.己知集合4=%工40卜B={x|log2x>a},若81做蜀，則°的取值范圍是.

/、x2+2x,x<0,/、

13.已知函數(shù)/(x)={1若曲線丁=/(九)與直線尸依恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則。的取值范

In11—%),0<x<1,

圍是.

14.已知拋物線。：黃=8%,點(diǎn)P在。的準(zhǔn)線上，過C的焦點(diǎn)尸的直線與C相交于A,3兩點(diǎn)，則的

最小值為，若為等邊三角形，則卜.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(%)=

⑴討論"％)的最值;

ke"一x

⑵若a=l,且/'(x)W竺-求左的取值范圍.

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,pc=PB=yflAB.

AB

(1)證明：平面e4D_L平面A3CD；

(2)在棱尸C上是否存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面BCE夾角的正弦值為應(yīng)？若存在，求四的

7EC

值；若不存在，請說明理由.

17.2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運(yùn)會.為了普及奧運(yùn)知識，M大學(xué)舉辦了一次奧

運(yùn)知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽

(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記小

王在初賽中答對的題目個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的

概率；

(2)M大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵(lì).獎勵(lì)規(guī)則如

下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵(lì)120元，中獎2次獎勵(lì)180元，中獎3次

獎勵(lì)360元，若3次均未中獎，則只獎勵(lì)60元.假定每次抽獎中獎的概率均為〃[()＜，＜(],且每次是否

中獎相互獨(dú)立.

(i)記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為/'(0)，求/(夕)的極大值；

(ii)M大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得總獎金的期望值不小于1120元，

試求此時(shí)。的取值范圍.

18.己知鳥的其中兩個(gè)頂點(diǎn)為E(—1,0),月(1,0),點(diǎn)。為△尸片鳥的重心，邊尸耳，P鳥上的兩條

中線的長度之和為3亞，記點(diǎn)。的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程；

(2)過點(diǎn)工作斜率存在且不為0的直線4與C相交于A8兩點(diǎn)，過原點(diǎn)。且與直線/1垂直的直線4與C

相交于兩點(diǎn)，記四邊形AMBN的面積為S,求助Yt的取值范圍.

S

19.對于相/eN*,seN,/不是10的整數(shù)倍，且"z=Z0',則稱機(jī)為s級十全十美數(shù).已知數(shù)列｛4｝

滿足：?i=8,4=4。，〃"+2=5”,+1-6a”.

(1)若｛見+i—妨/為等比數(shù)列，求左；

(2)求在%,a2,a3,%024中，3級十全十美數(shù)的個(gè)數(shù).

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1若tana=2,貝ijcos2cr—sin21的值為（

【答案】A

【解析】

【分析】由倍角公式可得一--巴丁=-Ic，根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求解.

cos2cr-sincrcoscr-2sin%

sin2。2sincrcoscif2tan。4

【詳解】由題意可得:

cos2cif-sin26Zcos2df-2sin2crl-2tan2cif1-87

故選：A.

2.已知函數(shù)〃力是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)無20時(shí)，f(x)=-x5-3x+a-l,則的值為

【答案】D

【解析】

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得。的值，結(jié)合/(-a)=-/(a)計(jì)算即可.

【詳解】由題意得，函數(shù)/(刈為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽,

由奇函數(shù)的性質(zhì)得，/(0)=a-l=0,解得a=l,經(jīng)過檢驗(yàn)符合題意,

所以當(dāng)x?0時(shí)，/(x)=-x5-3x,

所以/(—a)=—/(a)=—/(1)=—(―1—3)=4.

故選：D.

3.已知圓臺日。2的母線長為4,下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16,則該圓臺

的表面積為()

A.24兀B.2571C.26兀D.27兀

【答案】C

【解析】

【分析】作出圓臺的軸截面，利用其周長和兩底面圓半徑的關(guān)系列方程，求出「，代入公式，即可求得圓臺

的表面積.

如圖，作出圓臺的軸截面A3DC,設(shè)上底面圓。|的半徑為「，則下底面圓。2的半徑是3廠，

故軸截面周長為16=4+4+2廠+6廠，解得r=1,

所以上、下底面圓的面積分別為兀，9TI,圓臺側(cè)面積8側(cè)=兀(1+3)*4=16兀，

所以圓臺的表面積為71+971+1671=26兀.

故選:C.

4.已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，=-21,S7=S]5,則r的最小值為()

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)｛4｝的公差為d,根據(jù)題意列出方程組，求得d=2,得至I]=2〃—23和S“=〃2—22〃，進(jìn)

而求得答案.

【詳解】設(shè)｛4｝的公差為d,因?yàn)閝=-21,$7=515,

%=—21

可得《7x6,15x14,，解得1=2，所以。“=2〃-23,

7qH———a=15axH------a

nx(n-l),

可得S"=-21〃+———^x2=rr-22n,

2

當(dāng)〃<11時(shí)，an<0；當(dāng)〃212時(shí)，an>0,

所以當(dāng)"=n時(shí)，S”取得的最小值席=1儼一22x11=—121.

故選：D.

22

__21

5.已知歹（c,0）為雙曲線C:=1（。＞0,〃＞0）的右焦點(diǎn)，直線x=c與。的兩條漸近線分別

交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q43是面積為4的直角三角形，則C的方程為（）

222222

A.X2-y2-1B.土-2L=iC.二-匕=1D.土-2L=i

224442

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對稱性求出漸近線方程，再結(jié)合給定面積計(jì)算得解.

【詳解】由」Q鉆為直角三角形，及雙曲線的對稱性知05,

則C的漸近線方程為^=土尤，即。=＞，由Q43的面積為4,得工x2cxc=4,解得c=2,

2

5^a2+b2—(?—4<因此a=b=A/2,

22

所以C的方程為±-±=1.

22

6.在二ABC中，內(nèi)角A,5c所對的邊分別為a,b,c,且史巴O—吧C,延長8。至點(diǎn)

sinAsinA

D,使得BC=CD,若A￡>=20,AB=2,則。=（）

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

1兀

【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理求得力+°2_尸=45再由余弦定理，得到COSB=—,求得2=均,

23

再△A3。中，由余弦定理，列出方程，即可求解.

n

【詳解】因?yàn)?―"）"C,可得bsin5=asinA+（c-a）sinC,

sinAsinA

由正弦定理得Z?2=a?+（。-Q）。，gpa2+c2_b2=acj

所以COSB=4+L—"=上￡_=）,又因?yàn)?<5<兀，所以B=

laclac23

如圖所示，由3Z）=2a,且AD=26，AB=2,

QJT

在/\ABD中，由余弦定理得AD^=4+（2a）—2x2x2axcos—=4+4-GL~—4a=12,

解得a=2或a=-1（負(fù)值舍去）.

故選：C.

7.盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后

放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件4="兩次均未摸出紅球”，事件3=

“兩次均未摸出白球"，事件C="第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件。="第二次摸出的兩個(gè)球中有白

球”，則（）

A.A與B相互獨(dú)立B.A與。相互獨(dú)立

C.2與C相互獨(dú)立D.C與。相互獨(dú)立

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義依次分析即可.

「2021「2021

【詳解】依題意得P（A）=^y=去，P（8）=”=京，P（AB）=0WP（A）P（6）,故A項(xiàng)錯(cuò)

C4c436C4c436

誤;

P（C）=C^^=|,P（AC）=O^P（A）P（C）,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

C46

C2C21

產(chǎn)如）=南=獷尸⑻尸◎故c項(xiàng)錯(cuò)誤;

C20

P(D)=L^=|>P(CD)=+++_=P(C)P(D)故D

36

項(xiàng)正確.

故選：D.

8.在三棱錐D—ABC中，45=2,4。=5。,4。，3。/211/4。3=￥，石為48的中點(diǎn)，且直線

OE與平面ABC所成角的余弦值為士，則三棱錐D—ABC的外接球的表面積為（）

4

A.24兀B.36兀C.40兀D.48兀

【答案】B

【解析】

【分析】由直角三角形性質(zhì)可得E為?AB。的外心，結(jié)合球體性質(zhì)可知OEL平面ABC,由等腰三角形性

質(zhì)可知△A3。的外心b在OE上且石戶，A3,進(jìn)而可得直線OE與平面ABC所成角與/。石尸互余，結(jié)

合正弦定理可得|E4|,勾股定理可得I斯進(jìn)而可得|OE|、|。4|,結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖，設(shè)球心為。，△ABZ）的外接圓圓心為尸，連接OE,OA所,0”E4,FB,FD,

因?yàn)镹ACB=90,E為A3的中點(diǎn)，AB=2,所以E4=E5=1,E為的外心,

由，/為的外心，得REE三點(diǎn)共線，且石尸_LAB.

由題意得OEJ■平面ABC,ABu面ABC,則OE_LAB,

故直線DE與平面ABC所成角為ZOEF的余角,

所以sin/OEF=邊。，所以cos/OEF=d=~

4OE4

在△AB。中，由題設(shè)可得A5=2,NAZ>5=30,

2I--------------廣

由正弦定理得FA=FB=FD=----------=2,EF=yJFA2—E尺=#),

2sin30

EFI-

所以O(shè)E=--------------=2y/2,

cos/OEF

所以在RtAOE4中，OA=yJOE2+E^=3-

所以球。的表面積S=4兀?。42=36兀.

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：

分）作為一個(gè)樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（）

A.m=0.030

B.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75

C.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)

D.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85

【答案】ACD

【解析】

【分析】運(yùn)用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及平均數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)公式計(jì)算即可.

【詳解】對于A項(xiàng)，由題意知(0.010+0.015+^+0.035+0.010)x10=1,解得m=0.030,故A項(xiàng)正

確；

對于B項(xiàng)，樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5，故B

項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C項(xiàng)，樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)是四處=75<76.5,故C項(xiàng)正確；

2

對于D項(xiàng)，前3組的頻率之和為(0.010+0.015+0.035)x10=0.60,前4組的頻率之和為

0.60+0.030x10=0.90,

故第75百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為

則(7-80)X0.030+0.60=0.75,解得t=85,

即第75百分位數(shù)為85,故D項(xiàng)正確.

故選：ACD項(xiàng)

10.已知z滿足|z+i2-i3|=|z|,且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則()

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式結(jié)合已知求出了，y的關(guān)系，即可判斷AB；根據(jù)羽y的關(guān)系結(jié)合復(fù)數(shù)的模的公

式即可判斷CD.

【詳解】由題意可得Z=x+yi,貝！］|x—l+(y+l)i|=|x+,

所以小-爐+6+吁=商+/,整理得y—1=。，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

目=yjx2+y2-^x2+(x-l)2=\j2x2-2x+1,

當(dāng)x時(shí)，忖取得最小值,，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.已知函數(shù)/(x)=cos10x+；J(o〉O),則()

A.若/(%)的圖象向右平移;個(gè)單位長度后與/(%)的圖象重合，則。的最小值為1

B.若/(%)的圖象向左平移:個(gè)單位長度后得到函數(shù)y=sinox的圖象，則。的最小值為5

C.若函數(shù)的最小正周期為:，則①=4

D.當(dāng)。=1時(shí)，若"X)的圖象向右平移:個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則方程

以(口+吊田=1有無窮多個(gè)解

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,B,根據(jù)圖象平移規(guī)則得到。取值，再由keZ,即可得到口的最值；對于C,根據(jù)函

數(shù)的最小正周期求解即可；對于D,先求出g(x)的解析式，再對方程進(jìn)行換元化簡，討論即可得到方程解

的個(gè)數(shù).

?、、，I一丁兀)71)71CDTI71\71

【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?[x—]J=cos-+]=coslCOX---+—I=COSI—

所以=2kit,keZ,即69=—8左，keZ,又外＞0,所以刃最小值為8,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

4

7am7i

對于B項(xiàng)，因?yàn)閥fx+—j—cos0++1=cosa)x-\----F—=smcox,

(44

所以如+巴=—二+2版，kwZ,即。=—3+8左，左eZ,又。＞0,所以0的最小值為-3+8=5,故

442

B項(xiàng)正確.

對于C項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是/(%)的最小正周期的一半，所以/(x)的最小正周期為;，所

2冗71

以—=—,解得外二4,故C項(xiàng)正確.

32

對于D項(xiàng)，當(dāng)0=1時(shí)，/(x)=cosx+^~,所以g(x)=/|x—"=cos|x-；+；|=cosx,方程

|g(x)|]

+g(國)=ICOSx|H---|=ICOSx|H——--=1

COS因cosx

令cosx=r，則M+』=1,當(dāng)/4―1,0)時(shí)，一/+1=1,即口+?心。，所以

tt2

(舍)或/=?■(舍)；

2

當(dāng)時(shí)，，+；=1，即產(chǎn)7+1=0,無解.

綜上，|g(x)|+—=l無解，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

，x+2］

12.已知集合A=x--<0LB={x|log2x>a},若則a的取值范圍是.

【答案】［1,+8)

【解析】

【分析】求出集合A3,根據(jù)包含關(guān)系確定范圍即可.

尤+2

【詳解】由——<0,得—2<x<2,

%—2

所以A={x|-2Mx<2},則以A={x［x<-2或％22},

由logzXNa,得x22"，

又5c(44),所以2"22,

解得ail.

故答案為：［1,+℃).

x2+2x,x<0,,、

13.已知函數(shù)〃x)=<1/1、八1若曲線y=/(￡)與直線y=就恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則。的取值范

ln(l—xku<x<1,

圍是

【答案】［—1,2)

【解析】

【分析】由導(dǎo)函數(shù)等求出函數(shù)單調(diào)性和切線方程，畫出了(力的圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.

【詳解】當(dāng)xVO時(shí)，/(x)=f+2x,其在1)上單調(diào)遞減，在(—1,0)上單調(diào)遞增，且/'(x)=2x+2,

貝"(0)=2；

當(dāng)0<%<1時(shí)，/(x)=ln(l-x),/(%)=———<0,其在(0,1)上單調(diào)遞減,且/'(0)=—1.

1-X

作出了(九)的圖像，如圖，易知a的取值范圍是［—1,2).

故答案為：［—1,2)

14.已知拋物線C:/=8x,點(diǎn)「在。的準(zhǔn)線上，過C的焦點(diǎn)尸的直線與C相交于A,8兩點(diǎn)，貝ij|A邳的

最小值為，若為等邊三角形，貝1AB卜.

【答案】①.8②.24

【解析】

【分析】設(shè)直線A5的方程及弦A5的中點(diǎn)聯(lián)立直線A3的方程與拋物線方程可得芭+々及加坐標(biāo)，

結(jié)合拋物線焦點(diǎn)弦公式可得|AB|,由等邊三角形性質(zhì)可知MLAB,即可設(shè)出直線PM的方程，結(jié)合點(diǎn)

P在準(zhǔn)線上可得點(diǎn)尸坐標(biāo)，再結(jié)合忱閭=三恒回及=8/+8計(jì)算即可.

【詳解】由已知得/(2,0),準(zhǔn)線方程為X=—2,設(shè)直線A5的方程為％=切+2,A&,%),

B(x2,y2),弦A3的中點(diǎn)”(％,%),如圖所示，

x=my+2c

聯(lián)立〈2o消去X并整理得V—8my—16=0,

y~=8x-

則為+%=&〃，yxy2=-16,

2

所以為+x2=m(y1+y2)+4=8m+4,

所以玉=%％=4nt2+2,%=%；%=4m,即M(4加2+2,4冽)，

所以|AB|=%+9+4=8m2+8.

故當(dāng)機(jī)=0時(shí)，IA51mhi=8.

若/A5P為等邊三角形，則mwO,如圖所示，

則設(shè)直線的方程為y-4/72=一切（無-4加2—2）,即y^-mx+4m3+6m,

所以點(diǎn)尸（—2,4，/+8根），

X\PM\=^\AB\,

所以（47律2+4丫+（4m+4加3）2=|（8m2+8）2,解得加？=2,

所以1AB|=8m2+8=24.

故答案為：8；24.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)=一電色］（。＞0）.

（1）討論“％）的最值;

⑵若a=l,且/?（工）?竺ke"一一~求x左的取值范圍.

X

【答案】（1）最小值為/［：］=l+lna,無最大值.

（2）j,+j

【解析】

【分析】（1）求得r（x）=竺匚，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，求得函數(shù)/（%）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其最值；

（2）把不等式轉(zhuǎn)化為左三三史!令丸⑺=」2+二燈子利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最

ee

值，進(jìn)而求得上的取值范圍.

【小問1詳解】

.解：因?yàn)?（x）=x［"@T的定義域?yàn)椋?,+8）,可得/-1.

\XyXX

當(dāng)a＞0時(shí)，令/'（x）=0,可得％=工；

a

當(dāng)時(shí)，r（x）＜。，/（%）單調(diào)遞減，

當(dāng)xe\,+co1時(shí)，制x）＞0,"%）單調(diào)遞增，

故當(dāng)％時(shí)，/（“）取得極小值，也是最小值，且最小值為/［：］=l+lna,無最大值.

【小問2詳解】

解：當(dāng)。=1時(shí)，由可ke"得—x冗—ln%W竺ke，~—x

xx

2

蕨e4目7Y、?Fnn1\X+X—xlnX

整理得髭Nf+x-xinx，即左三-------------，

e%

令心）、—沙

e

(2x+l-lnx-l)er-(x2+(x-lnx)(l-x)

貝1h(x)=百二，

由⑴知,當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x—Inx的最小值為/(1)=1>0,即九一lnx>0恒成立,

所以當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/?x)>0,〃(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?l,+co)時(shí),//(x)<0,M尤)單調(diào)遞減.

2?

故當(dāng)x=i時(shí)，可光）取得最大值爪1）=—,即左2—,

ee

故上的取值范圍為一,+°0

e

【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；

2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,pc=PB=V2AB.

（1）證明：平面八4DJ_平面A3CD；

。、萬PE

（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得平面AEB與平面BCE夾角的正弦值為工？若存在，求——的

7EC

值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

pp

（2）存在，——=1.

EC

【解析】

【分析】（1）通過。。，4尸證。。，平面口4。，即可證面面平行；

（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)——=2（2>0）得E點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算平面AEB和平面

,￡'C

BCE的法向量，根據(jù)向量垂直確定，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)?8=笈。=/）。=加=”=?0,PC=PB=y[2AB>

所以=。。2,Ap2+Ag2=pB2）

所以。C,尸D,ABA,AP,

又AB=BC=DC=DA,

所以四邊形ABCD為菱形，

所以ABDC,DCLAP,

又AP,切匚平面BID，

APPD=P,

所以￡>C,平面B4。，

又。Cu平面ABC。，

所以平面E4DJ_平面A3CD

【小問2詳解】

由（1）得。C,平面B4。，

因?yàn)镈4u平面R4O,

所以。CJ.DA,

故四邊形A3CD為正方形.

不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2,

A￡）的中點(diǎn)為。，連接P0.

因?yàn)镋4。為等邊三角形，

所以POLAD,

又POu平面B4。，

又平面上4。c平面ABCD=AD,

且平面PAD，平面ABCD,

所以PO1平面A3CD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，DC-。尸的方向分別為x,>,z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,73),4(1,0,0),5(1,2,0),C(-l,2,0).

假設(shè)存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面BCE夾角的正弦值為空■,

7

JL/1--

PE

由得PE=8EC，

EC

即（%，為，z（）—=九（一1—%,2——z。）

222

解得x=-

0l+i'y°-I+T,Z°=I7T

A2夭6)

所以E-

l+l'l+l'l+l7

V

"-1-22

所以AB=(O,2,O),BC=(-2,0,0),=(1,2,-73),BE=二五、

，

1+21+21+2?

設(shè)平面AEB的法向量為"=（七,%,zj,

n-AB=2y1=0,

則〃.3E=(T-2小-2%+島=0

1+2

可取72=(6,0,1+2司.

設(shè)平面BCE的法向量為加=（%，％，z?），

m-BC=-2X2=0,

則

m-PB=%+2%-A/322二0

可取根=(0,指,2),

|2+42|

6,3+(1+22)2

解得4=1或；1=—2(舍去)，

所以在棱PC上存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面BCE夾角的正弦值為亞，

7

日PE1

且---=1.

EC

17.2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運(yùn)會.為了普及奧運(yùn)知識，M大學(xué)舉辦了一次奧

運(yùn)知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽

(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記小

王在初賽中答對的題目個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在己經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的

概率；

(2)/大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵(lì).獎勵(lì)規(guī)則如

下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵(lì)120元，中獎2次獎勵(lì)180元，中獎3次

獎勵(lì)360元，若3次均未中獎，則只獎勵(lì)60元.假定每次抽獎中獎的概率均為。且每次是否

中獎相互獨(dú)立.

(i)記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為/'(「)，求/(。)的極大值；

(ii)M大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，

試求此時(shí)0的取值范圍.

44

【答案】(1)E(X)=§，-

4「13)

(2)(i)一；(ii)

9134；

【解析】

【分析】(1)6道題中小王能答對4道，答錯(cuò)2道，結(jié)合超幾何分布計(jì)算即可，再結(jié)合條件概率計(jì)算即可.

(2)由/(°)=3°3—6p2+30[o<°<：),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其極大值即可.

(3)分析每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎金的期望EC),解不等式9E(F)21120即可.

【小問1詳解】

由題意知，X的可能取值為0』,2,

「0「21

則

P(x=o)=N15

P(X=1)=*C4C18

15

P"=2)=冷C2C°|2

故X的分布列為

X012

182

P

1515I

1Q24

則￡(X)=0x—+lx—+2x—=一.

v7151553

記事件A：小王已經(jīng)答對一題，事件3：小王未進(jìn)入決賽,

(,、n(AB)C：C：4x24

則小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率4)=^^=m3IT-7

77(A)C4c2+C4

【小問2詳解】

(i)由題意知，/(p)=C3J>(l-p)2=3p3-6p2+3pfo<p<-|

則r(p)=3(3p—l)(p—l),

令/'(P)=O，解得P=1■或P=1(舍)，

當(dāng)時(shí)，/(p)>0,當(dāng)pegj時(shí)，/，(p)<0,

所以/(夕)在區(qū)間［o，g)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間［g，內(nèi)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)p=g時(shí)，/（夕）有極大值，且/（夕）的極大值為/[gj=:

（ii）由題可設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎金為隨機(jī)變量y,

則Y的可能取值為60,120,180,360,

p（Y=60）=（1-p）3,

p（y=120）=C；p（l-p）2,

p（y=180）=C；p2（l—0）,

P（y=360）=/?3,

所以E(Y)=60(1-p)3+120C；p(l—p)2+180C；p2(l-p)+360p3=60(2p3+3p+l),

所以9E(y)2n20,

即540(2/+3.+1/1120,整理得2P3+3p——訓(xùn),

i29

經(jīng)觀察可知p=3是方程2P3+3p—萬=0的根,

229

因?yàn)?P2+耳0+§>0恒成立，

2911

所以由2P3+3〃—藥20可得20,解得得

31口

又0<p<）,所以P的取值范圍為3'4)

18.己知鳥的其中兩個(gè)頂點(diǎn)為片（—1,0）,1（1,0）,點(diǎn)。為△「￡心的重心，邊PF-PK上的兩條

中線的長度之和為3行，記點(diǎn)。的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)工作斜率存在且不為0的直線4與c相交于A,3兩點(diǎn)，過原點(diǎn)。且與直線4垂直的直線4與c

相交于兩點(diǎn)，記四邊形AMBN的面積為S,求助Yt的取值范圍.

S

2

【答案】⑴土應(yīng)）

（2）（2后,80）

【解析】

【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)重心的性質(zhì)可得重心。到頂點(diǎn)耳（-1,0）,鳥。,。）距離之和為大于閨心|的定

值，根據(jù)橢圓的定義即可求出曲線C的方程；

（2）設(shè)出直線4的方程并與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行聯(lián)立，進(jìn)而用弦長公式表示出|/3|,再用所設(shè)斜率左表示出

M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出|又用，得到面積S的關(guān)系式，化簡即可得到函數(shù)關(guān)系式，求值域即可.

【小問1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)。為4心的重心，

△尸公鳥的邊8上的兩條中線長度之和為3行，

所以|QG|+|Q用=1義3應(yīng)=2行＞|月月|,

故由橢圓的定義可知曲線。是以耳（-1,0）,乙（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長軸的端點(diǎn)）.

設(shè)a,dc分別為該橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距，

所以a=J5,c=l,所以b=l,

所以C的方程為］+V=i（xw土式）.

【小問2詳解】

設(shè)直線4的方程為丁=左（％-1）（左。。）,4（%,%）,5（%,%），

y=k（x-l）,

聯(lián)立《x22］整理得（2左2+1）/—4-X+2左2—2=0,

、2

止2k2-2

則為+%=

擊工p/龍2-2^2+1

2k2-2_20（左2+i）

2尸+12k1+1

設(shè)出（如為），則&=一；，即5=一機(jī),

XQK

代入橢圓方程得7+y：=1

c27k2

所以常工，則

,2

+1

所見"""L2

由對稱性知|MV|=2QM,

又5=；仙邳.|政v|=|AB||OM|,

|MN『81OM|3