2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-簡單三角恒等變換（學(xué)生版）

專題27簡單三角恒等變換

一、【知識梳理】

【考綱要求】

能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡

單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）.

【考點預(yù)測】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）公式Szo：sin2a=2sinacosa.

（2）公式Cz?：cos2a=cos,a—sin，a=2cos2a-1=1-2sin，a.

，、八八2tana

（3）公式Tz?：tan2a--~----.

1—tana

【常用結(jié)論】

1.1—cosa=2sin'丁，1+cosauZcos%.（升累公式）

2.1+sina=（sin—+cos萬）.（升幕公式）

,1—cos2a,1+cos2a,1—cos2a一”

3.sin-a=--------，cos-a=----------,tan-a=--------.（降累公式）

221+cos2a

【方法技巧】

L三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：

一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.

2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補等），尋找式

子和三角函數(shù)公式之間的共同點.

3.給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)

角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.

4.給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊

角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角

并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.

5.給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：

⑴已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；己知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍

是（。，3,選正、余弦皆可；

（JI兀、

（2）若角的范圍是（0,口），選余弦較好；若角的范圍為（一萬，句，選正弦較好.

6.三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,通過變換把函數(shù)化

為/?(x)=/sin(ox+0)+6的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特

征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.

二、【題型歸類】

【題型一】三角函數(shù)式的化簡

2cos58°+sin28°

【典例1】)

cos28°

A.-A/3B.1C.小D.2

2cos4^r—2COS2JT+-

[典例2】化簡：:

2tanl—-一xjsin6+xj

_?,八l、COS10°

【典例3】(tan10—vv3)?―~nh喬()~=一

【題型二】給角求值

【典例11sin40°(tan10°—十)等于()

A.2B.-2C.1D.-1

【典例2]cos20°?cos40°?cos100°=.

cos40°

【典例3】二的值為()

cos25°-^1—sin40

A.1B.y/3C.72D.2

【題型三】給值求值

【典例1］已知cos(0+彳)=^^,3，則sin(29—9)=.

110，兀：(JlAr-

【典例2】若tana4-------=—,ffe-,則sin2a+—+J2cos'a的值

tana3142)14)丫

為.

4A/5

【典例3】已知a,￡為銳角，tana=~,cos(。+￡)=—

35

(1)求cos2a的值；

(2)求tan(a—8)的值.

【題型四】給值求角

【典例1】在平面直角坐標系x%中，銳角￡的頂點為坐標原點。，始邊為x軸的非負

半軸，終邊與單位圓。的交點分別為只。己知點月的橫坐標為平，點。的縱坐標為斗,

則2a—￡的值為

【典例2】已知cosa=-,cos(a—￡)=!|,且<5，則￡=.

【典例3】已知a,8G(0,JI),且tan(。一￡)=],tan￡=一；，則2。一￡的值為

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知函數(shù)F(x)=sin[x—~—j+2sin2x

⑴求Hx)的最小正周期；

ji5Ji

⑵當(dāng)xd—,~r~時，求f(x)的值域.

_3o

【訓(xùn)練二】如圖，有一塊以點。為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形

開辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點8,C落在半圓的圓周上.已知

半圓的半徑長為20m,如何選擇關(guān)于點。對稱的點4，的位置，可以使矩形265的面積

最大，最大值是多少？

DON

【訓(xùn)練三】已知函數(shù)/1(x)=/cos(；+9)，XGR,且

(1)求/的值；

「Ji~|(4兀、30(2兀、8

⑵設(shè)a,0,—,a+—J=——,—j=-,求cos(a+￡)的值.

【訓(xùn)練四】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有一個“引葭赴岸”問

題：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”

其意思為“今有水池1丈見方(即CD=\Q尺)，蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1

尺.將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接(如圖所示).試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？”

設(shè)ABAC,現(xiàn)有下述四個結(jié)論：

①水深為12尺；②蘆葦長為15尺；③tan5e=］2；④tan（，+司=一717.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①③B.①③④

C.①④D.②③④

JI

【訓(xùn)練五】已知a為正整數(shù)，tano=l+lga,tan￡=lga,且。=￡+1，則當(dāng)函數(shù)

f{x}=asinJ—y/^cos兀］）取得最大值時，夕=（）

ji2兀5兀4幾

A.-B.-z-C.~z~D.-z-

2363

【訓(xùn)練六】若5元2。=說5m(A/10「兀~|「3兀

Ba)—I。，且aeyJi.Sem,?，則a

5

+￡的值是()

7Ji9n

A?丁B?丁

5兀37兀5n?9兀

。丁或丁D-丁或丁

四、【強化測試】

【單選題】

JI

4tan-

1.計算：-()

3tan2——3

A班R—垃

A.3B-3

「HiD-幽

L

-99

2.若tan(a+80°)=4sin420°,則tan(a+20。)的值為()

A-也R對1

A-5B-5

c亞D亞

197

A/2COS2。廠八

3.若V；——T=A/3sin29,則sin2。=()

3仔+

12

A.-B.~

21

C.--D.

u3

4.已知角a的頂點與坐標原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在a的始邊上有一

點4終邊上有一點2勿）（加＞0）,滿足\OA\=\OB\,若/OAB=。,則當(dāng)T工---若一

1

-2

A.2B.

C.4D.1

7c/r-,/l+cos~~71/l—COS~~

5.已知3JIW9W4JI,且、-----+\-----=2f貝九）

10n?11兀37兀347兀

A.或一B.12或-IT

,J0

1-呼10。等丁（

6.計算:）

COS80°y/1-cos20。寸

A.羋B.1C.坐D.一亭

7.設(shè)-e（k兀、（兀、且tana=1+,一sin￡B，貝巾（

）

JIJI

A.367一￡=~2B.2a-J3=—

jiJI

C.3。+￡=萬D.2。+￡=5

8、后]0兀一3兀

-若sin20=當(dāng),sin（￡—。）=%,且0可了,”￡￡兀，亍，則。+￡的

值是（）

7兀9兀

A.B.

5兀9兀

D.丁或丁

【多選題】

9.下列各式中值為g的是（）

A.1-2COS275°

B.sin135°cos15°—cos45°cos75°

C.tan20°+tan25°+tan20°tan25°

cos35°Jl-Sin20°

D---------------------

?也cos20°

10.函數(shù)F(x)=sinxcosx的單調(diào)遞減區(qū)間可以是()

一3兀兀一,、

A.k八—左?！?A￡Z)

—H3兀-、

B.A兀+7，k工(?￡Z)

兀ji

C.2k八+—,2k立+~(A￡Z)

JIJI

D.k女+—,A兀+—(A￡Z)

11.已知_f(x)=；(l+cos2x)sir?x(x￡R),則下列結(jié)論正確的是()

JI

A.Hx)的最小正周期7=5

B.廣(x)是偶函數(shù)

c.『(x)的最大值為:

D.廣(x)的最小正周期7=兀

12.下列說法不正確的是()

A.存在x￡R,使得1—cos'=log2今

B.函數(shù)y=sin2xcos2x的最小正周期為兀

C.函數(shù)尸cos2卜+高的一個對稱中心為卜方，0)

D.若角。的終邊經(jīng)過點(cos(—3),sin(-3)),則角。是第三象限角

【填空題】

13.若兀),sina,則tan2。=.

14.已知sina=cos2a,。￡仁-，兀)，則tana=.

15.已知tan^^+°)=3,貝ljsin20—2cos2。=.

J3tan12°-3

16---------------------二

(4COS212°-2)sin12°--------.

【解答題】

17.已知函數(shù)_f(x)=2cos2x+2，^sinjr,cosx.

⑴求『仔，勺值;

⑵若faefo,-yj)求COSa的值.

18.如圖，點尸在以居為直徑的半圓上移動，且46=1,過點尸