《實(shí)際問題與二次函數(shù)（3）》名師教案

①所示情況時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m時(shí)，水面寬度增加多少?【知識(shí)點(diǎn)】建立坐標(biāo)系求相應(yīng)的值【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】如圖，建立直角坐標(biāo)，可設(shè)這條拋物線為，把點(diǎn)（2，﹣2）代入，解得，因此該拋物線的解析式為當(dāng)時(shí)，解得所以水面下降1米，水面的寬度增加米【思路點(diǎn)撥】結(jié)合題意，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)是是解決本題的關(guān)鍵【答案】米2.有一座拋物線拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m.（1）如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h(m)時(shí)，橋下水面的寬度為d(m)，求出將d表示為h的函數(shù)解析式；（3）設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m，為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18m，求水深超過多少m時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下順利航行.【知識(shí)點(diǎn)】利用圖象求函數(shù)解析式【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）如上圖建立坐標(biāo)系，可設(shè)這條拋物線為，又∵函數(shù)過點(diǎn)（10，-4）代入上面的式子解得∴拋物線的解析式為（2）把點(diǎn)代入函數(shù)解析式，解得（3）把代入解析式中，解得，當(dāng)水深超過時(shí)，超過了正常水位，就會(huì)影響過往船只在橋下順利航行.【思路點(diǎn)撥】以橋面所在直線為x軸，以橋拱的對(duì)稱軸所在直線為y軸建立坐標(biāo)系.設(shè)拋物線線解析式為y=ax2，然后點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10，-4)，即可求出解析式.【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)水深超過時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下順利航行.3.某公司草坪的護(hù)欄是由50段形狀相同的拋物線組成的，為牢固起見，每段護(hù)欄需按間距0.4m加設(shè)不銹鋼管如圖所示的立柱，為了計(jì)算所需不銹鋼管立柱的總長度，設(shè)計(jì)人員測(cè)得如圖所示的數(shù)據(jù).（1）求該拋物線的解析式；（2）計(jì)算所需不銹鋼管的總長度.【知識(shí)點(diǎn)】利用圖象求函數(shù)解析式【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，設(shè)解析式為y=ax2+c，B（0，0.5），C（1，0），分別代入y=ax2+c得，∴，∴拋物線的解析式為y=-0.5x2+0.5；（2）分別過AC的五等分點(diǎn)C1、C2、C3、C4作x軸的垂線交拋物線于B1、B2、B3、B4，則C1B1、C2B2、C3B3、C4B4的長就是一段護(hù)欄的四根立柱的長，點(diǎn)C3、C4的坐標(biāo)為（0.2，0），（0.6，0），則B3、B4的橫坐標(biāo)分別為x3=0.2，x4=0.6，將x3=0.2和x4=0.6分別代入y=-0.5x2+0.5得y3=0.48，y4=0.32，由對(duì)稱性知，B1、B2的縱坐標(biāo)y1=0.32，y2=0.48，則四條立柱的長為C1B1=C4B4=0.32m，C2B2=C3B3=0.48m，所需不銹鋼立柱總長為（0.32+0.48）×2×50=80（m），

答：所需不銹鋼立柱的總長為80m.【思路點(diǎn)撥】本題可以通過建立不同的平面直角坐標(biāo)系，求出不同的拋物線的解析式，但對(duì)計(jì)算總長度沒有影響.【答案】（1）y=-0.5x2+0.5；（2）所需不銹鋼立柱的總長為80m4.校運(yùn)會(huì)上，小明參加鉛球比賽，若某次試擲，鉛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為，求小明這次試擲的成績及鉛球的出手時(shí)的高度.【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)解析式求y的值【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】當(dāng)y=0時(shí)解得（舍去）當(dāng)x=0時(shí)，小明這次試擲的成績?yōu)?0米，鉛球出手時(shí)的高度為米.【思路點(diǎn)撥】分別令y=0，x=0即可得出答案.【答案】（1）小明這次試擲的成績?yōu)?0米；（2）鉛球出手時(shí)的高度為米.5.一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如右圖所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m．這時(shí)，離開水面1.5m處，涵洞寬ED是多少？是否會(huì)超過1m？【知識(shí)點(diǎn)】建立坐標(biāo)系，利用解析式解題【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】以AB的垂直平分線為y軸，以過點(diǎn)O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．這時(shí)，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式為(a＜0)①因?yàn)锳B與y軸相交于C點(diǎn)，所以CB＝eq\f(AB,2)＝0.8（m），又OC＝2.4m，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0.8，－2.4)．因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入①，得－2.4＝a×0.82所以a＝－eq\f(15,4)因此，函數(shù)關(guān)系式是②∵OC＝2.4m，F(xiàn)C＝1.5m，∴OF＝2.4―1.5＝0.9（m）．將y＝－0.9代入②式得解得．涵洞寬．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件，要求ED的寬，只要求出FD的長度．在如右圖的直角坐標(biāo)系中，即只要求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因?yàn)辄c(diǎn)D在涵洞所成的拋物線上，又由已知條件可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進(jìn)一步算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．【答案】涵洞寬6.某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水．連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m．水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如左圖所示． 根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如右圖中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是．（1）噴出的水流距水平面的最大高度是多少?（2）如果不計(jì)其他的因素，那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)?【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)解析式求y的值【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）答：噴出的水流距水面的最大高度為1.8米（2）當(dāng)y=0時(shí)，解得（舍去）水池半徑至少為米.【思路點(diǎn)撥】求函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令y=0求出相關(guān)的x的值.【答案】（1）噴出的水流距水面的最大高度為1.8米；（2）水池半徑至少為米.能力型師生共研7.一座拱橋的輪廓是拋物線（如圖①所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖②所示），其關(guān)系式的形式．（1）請(qǐng)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出a、c的值；（2）求支柱MN的長度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m，高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計(jì)）？請(qǐng)說說你的理由．【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)解析式【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）根據(jù)題目條件，的坐標(biāo)分別是．拋物線的解析式為，

將的坐標(biāo)代入，得

解得；

所以拋物線的表達(dá)式是.

（2）可設(shè)，代入拋物線的表達(dá)式是解得

從而支柱的長度是米.

（3）設(shè)是隔離帶的寬，是三輛車的寬度和，則

過G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H，

則.

根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．【思路點(diǎn)撥】通過點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式，利用解析式解決問題【答案】（1）；（2）支柱的長度是米.（3）可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車8.如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時(shí)，水面CD的寬是10m．（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；（2）現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280km（橋長忽略不計(jì)）．貨車正以每小時(shí)40km的速度開往乙地，當(dāng)行駛1小時(shí)時(shí)，忽然接到緊急通知：前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車輛通行），試問：如果貨車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請(qǐng)說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過每小時(shí)多少千米？【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)解析式【解題過程】（1）設(shè)拋物線的解析式為橋拱最高點(diǎn)O到水面CD的距離為h米，由題意可知，代入函數(shù)解析式解得：拋物線的解析式為（2）水位由CD處漲到點(diǎn)O的時(shí)間為：1÷0.25=4（小時(shí)）貨車按原來速度行駛的路程為：40×1+40×4=200＜280∴貨車按原來速度行駛不能安全通過此橋．設(shè)貨車速度提高到x千米/時(shí)當(dāng)4x+40×1=280時(shí)，x=60∴要使貨車安全通過此橋，貨車的速度應(yīng)超過60千米/時(shí)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【思路點(diǎn)撥】由題目給的已知條件求出函數(shù)解析式即可解決.【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）要使貨車安全通過此橋，貨車的速度應(yīng)超過60千米/時(shí)．探究型多維突破9.如圖，足球場(chǎng)上守門員在O處開出一高球，球從離地面1m的A處飛出(A在y軸上)，運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6m的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4m高．球第一次落地后又彈起．據(jù)試驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．(取，)（1）求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式；（2）足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米？（3）運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米?【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)解析式【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）設(shè)足球第一次落地前的拋物線的表達(dá)式為由已知：當(dāng)x=0時(shí)y=l，即1=36a+4

∴∴所求拋物線的表達(dá)式為即令y=0，即∴（x-6）2=48

∴（舍去）∵∴足球的第一次落地點(diǎn)C距守門員約13米.

（3）第一次足球落地點(diǎn)到第二次足球落地點(diǎn)的距離為CD

根據(jù)題意，CD=EF（即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個(gè)單位長度）

由解得：∴CD=≈10

∴BD≈13-6+10=17即運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)再向前跑約17米.【思路點(diǎn)撥】由圖象求出該函數(shù)解析式，利用解析式結(jié)合題意解決問題【答案】（1）；（2）足球的第一次落地點(diǎn)C距守門員約13米（3）即運(yùn)動(dòng)員乙應(yīng)再向前跑約17米.10.已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝OB＝3OA．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于此拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線AD，BC交于點(diǎn)P，試判斷直線AD，BC是否垂直，并證明你的結(jié)論；(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M，N分別是射線PC，PD上的點(diǎn)，問：是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使得以點(diǎn)P，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACP全等?若存在請(qǐng)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)解析式，代數(shù)與幾何相結(jié)合【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】(1)交點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,-3)，則OC=3=OB=3OA，OA=1，∵a＞0，∴二次函數(shù)y=ax2＋bx－3的開口向上，∵圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A(-1,0)，點(diǎn)B(3，0)，C(0，-3)代入拋物線解析式解得，a=1，b=-2，二次函數(shù)的解析式：(2)點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,-3)，容易得到直線AD的解析式：yAD=-x-1，直線BC的解析式y(tǒng)BC=x-3，因?yàn)閮芍本€交于P點(diǎn)，則由兩個(gè)解析可得P（1，-2）所以，AP=，BP=，AB=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得：∠APB=90°，即AD⊥BC，（當(dāng)然，我們也可以直接利用兩個(gè)解析式中，得到直線AD，BC垂直）(3)點(diǎn)P坐標(biāo)(1,-2)，射線PC，PD垂直且PA=PB，PC=PD，當(dāng)N點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于PC對(duì)稱且點(diǎn)M與C點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACP全等，此時(shí)點(diǎn)M(0,-3)，點(diǎn)N(3,-4)，當(dāng)PM=PA且點(diǎn)N與D點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACP全等，此時(shí)點(diǎn)M(-1,-4)，點(diǎn)N(2,-3).

【思路點(diǎn)撥】拋物線與幾何相結(jié)合畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式：；（2）直線AD，BC垂直(3)M(0,-3)，點(diǎn)N(3,-4)或者M(jìn)(-1,-4)，點(diǎn)N(2,-3).

自助餐1．圖2是圖1中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O，B，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可近似看成拋物線y=﹣（x﹣80）2+16，橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好在水面，有AC⊥x軸，若OA=10米，則橋面離水面的高度AC為（）A．16米 B．米 C．16米 D．米【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AC⊥x軸，OA=10米，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣10，當(dāng)x=﹣10時(shí)，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，∴C（﹣10，﹣），∴橋面離水面的高度AC為m．【思路點(diǎn)撥】先確定C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可得到AC的長【答案】B2.河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時(shí)，這時(shí)水面寬度AB為（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：根據(jù)題意B的縱坐標(biāo)為﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，得x=±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB=20m．即水面寬度AB為20m．故選C．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．【答案】C3.如圖，有一座拋物線型拱橋，已知橋下在正常水位AB時(shí)，水面寬20m，水位上升3m，就達(dá)到警戒水位CD，這時(shí)水面寬10m，若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.2m的速度上升，求水過警戒水位后幾小時(shí)淹到橋拱頂．【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)解析式求相關(guān)時(shí)間【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)該拋物線的解析式為，把B,D兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式解得拋物線的解析式為所以拱橋O到CD的距離為1，所以所以再持續(xù)5小時(shí)到達(dá)拱橋頂.【思路點(diǎn)撥】建立坐標(biāo)系求解析式解決問題.【答案】所以再持續(xù)5小時(shí)到達(dá)拱橋頂.4．如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m，寬是4m．按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=﹣x2+bx+c表示，且拋物線的點(diǎn)C到墻面OB的水平距離為3m時(shí)，到地面OA的距離為m．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：（1）根據(jù)題意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得．所以拋物線解析式為y=﹣x2+2x+4，則y=﹣（x﹣6）2+10，所以D（6，10），所以拱頂D到地面OA的距離為10m；（2）由題意得貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），當(dāng)x=2或x=10時(shí)，y=＞6，所以這輛貨車能安全通過；（3）令y=8，則，解得，則，所以兩排燈的水平距離最小是4m．【思路點(diǎn)撥】（1）先確定B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再利用配方法確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D到地面OA的距離；（2）由于拋物線的對(duì)稱軸為直線x=6，而隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，車寬為4m，則貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），然后計(jì)算自變量為2或10的函數(shù)值，再把函數(shù)值與6進(jìn)行大小比較即可判斷；（3）拋物線開口向下，函數(shù)值越大，對(duì)稱點(diǎn)之間的距離越小，于是計(jì)算函數(shù)值為8所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到兩排燈的水平距離最小值．【答案】（1）拱頂D到地面OA的距離為10m；（2）這輛貨車能安全通過；（3）兩排燈的水平距離最小是4m．5．如圖，某足球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門，將足球從離地面0.5m的A處正對(duì)球門踢出（點(diǎn)A在y軸上），足球的飛行高度y（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間滿足函數(shù)關(guān)系y=at2+5t+c，已知足球飛行0.8s時(shí)，離地面的高度為3.5m．（1）足球飛行的時(shí)間是多少時(shí)，足球離地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飛行的水平距離x（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t，已知球門的高度為2.44m，如果該運(yùn)動(dòng)員正對(duì)球門射門時(shí)，離球門的水平距離為28m，他能否