山西省風陵渡中學新高考適應性考試數學試卷及答案解析

山西省風陵渡中學新高考適應性考試數學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-12．已知數列an滿足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．193．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A． B．C． D．4．已知、是雙曲線的左右焦點，過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點，若點在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若函數有且僅有一個零點，則實數的值為（）A． B． C． D．6．對某兩名高三學生在連續(xù)9次數學測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數學成績分析．①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；④乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步．其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側面積為8．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數據在上的頻率為，則估計樣本在、內的數據個數共有（）A． B． C． D．9．在展開式中的常數項為A．1 B．2 C．3 D．710．我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有器中米，不知其數，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（）?A．45 B．60 C．75 D．10011．在邊長為1的等邊三角形中，點E是中點，點F是中點，則（）A． B． C． D．12．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數滿足，其中是虛數單位，是的共軛復數，則________.14．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當k＝1，2，3，……時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測，A﹣B＝_____．15．在平面直角坐標系中，點P在直線上，過點P作圓C：的一條切線，切點為T.若，則的長是______.16．設，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，直線l過交橢圓C于A，B兩點，交y軸于E點，若滿足，且，則橢圓C的離心率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，過點且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D，直線AC、BD分別交直線于點E、F，求證：是定值.18．（12分）已知等比數列是遞增數列，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．19．（12分）若數列前n項和為，且滿足（t為常數，且）（1）求數列的通項公式：（2）設，且數列為等比數列，令，.求證：.20．（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數解析式，其中M，N．22．（10分）已知函數在上的最大值為3.（1）求的值及函數的單調遞增區(qū)間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點：數列的通項公式．2、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【詳解】解：an即a1=an?6時，a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整數k(k?5)時，要使得a1則ak+1則k=17，故選：B．【點睛】本題考查與遞推數列相關的方程的整數解的求法，注意將題設中的遞推關系變形得到新的遞推關系，從而可簡化與數列相關的方程，本題屬于難題.3、B【解析】

列出循環(huán)的每一步，進而可求得輸出的值.【詳解】根據程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：，，，執(zhí)行第一次循環(huán)時：，，所以：不成立．繼續(xù)進行循環(huán)，…，當，時，成立，，由于不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，，，成立，，成立，輸出的的值為.故選：B．【點睛】本題考查的知識要點：程序框圖的循環(huán)結構和條件結構的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型．4、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯立，可得交點M（，﹣），∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.5、D【解析】

推導出函數的圖象關于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數的值，并對的值進行檢驗，即可得出結果.【詳解】，則，，，所以，函數的圖象關于直線對稱.若函數的零點不為，則該函數的零點必成對出現，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數與函數的圖象如下圖所示：此時，函數與函數的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的零點個數求參數，考查函數圖象對稱性的應用，解答的關鍵就是推導出，在求出參數后要對參數的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統(tǒng)計，估計該同學平均成績在區(qū)間[110,120]內，②正確；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題．7、C【解析】

根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.8、B【解析】

計算出樣本在的數據個數，再減去樣本在的數據個數即可得出結果.【詳解】由題意可知，樣本在的數據個數為，樣本在的數據個數為，因此，樣本在、內的數據個數為.故選：B.【點睛】本題考查利用頻數分布表計算頻數，要理解頻數、樣本容量與頻率三者之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.9、D【解析】

求出展開項中的常數項及含的項，問題得解?！驹斀狻空归_項中的常數項及含的項分別為：,，所以展開式中的常數項為：.故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉化思想，考查計算能力，屬于基礎題。10、B【解析】

根據程序框圖中程序的功能，可以列方程計算．【詳解】由題意，．故選：B.【點睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關鍵．11、C【解析】

根據平面向量基本定理，用來表示，然后利用數量積公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：點E是中點，點F是中點，所以又所以則故選：C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數量積公式，掌握公式，細心觀察，屬基礎題.12、C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數據求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，代入已知條件進行化簡，根據復數相等的條件，求得的值.【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數，考查復數相等的條件，屬于基礎題.14、【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，據此計算得到答案.【詳解】根據所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，意在考查學生的推理能力.15、【解析】

作出圖像，設點，根據已知可得，，且，可解出，計算即得.【詳解】如圖，設，圓心坐標為，可得，，，，，解得，，即的長是.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，以及求平面兩點間的距離，運用了數形結合的思想.16、【解析】

采用數形結合，計算以及，然后根據橢圓的定義可得，并使用余弦定理以及，可得結果.【詳解】如圖由，所以由，所以又，則所以所以化簡可得：則故答案為：【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關鍵在于根據角度求出線段的長度，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）由題意求得的坐標，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，可得關于的一元二次方程，設出的坐標，分別求出直線與直線的方程，從而求得兩點的縱坐標，利用根與系數關系可化簡證得為定值.【詳解】（1）由已知可得：，代入橢圓方程得：橢圓方程為；（2）設直線CD的方程為，代入，得：設，，則有，則AC的方程為，令，得BD的方程為，令，得，證畢.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是難題．18、(1)(2)【解析】

（1）先利用等比數列的性質，可分別求出的值，從而可求出數列的通項公式；（2）利用錯位相減求和法可求出數列的前項和．【詳解】解：（1）由是遞增等比數列，，聯立，解得或，因為數列是遞增數列，所以只有符合題意，則，結合可得，∴數列的通項公式：；（2）由，∴；∴；那么，①則，②將②﹣①得：．【點睛】本題考查了等比數列的性質，考查了等比數列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數列的前項和.19、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）利用可得的遞推關系，從而可求其通項.（2）由為等比數列可得，從而可得的通項，利用錯位相減法可得的前項和，利用不等式的性質可證.【詳解】（1）由題意，得：（t為常數，且），當時，得，得.由，故，，故.（2）由，由為等比數列可知：，又，故，化簡得到，所以或（舍）.所以，，則.設的前n項和為.則，相減可得【點睛】數列的通項與前項和的關系式，我們常利用這個關系式實現與之間的相互轉化.數列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數列與等比數列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數列與等比數列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現，則用并項求和法.20、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面．（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：證明：連接交于點，則為的中點．又是的中點，連接，則．因為平面，平面，所以平面．（2）由，可得：，即所以又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，設平