2024年北京市朝陽區(qū)高三年級下冊質(zhì)量檢測二數(shù)學(xué)試卷含詳解

北京市朝陽區(qū)高三年級第二學(xué)期質(zhì)量檢測二

數(shù)學(xué)

2024.5

(考試時間120分鐘滿分150分)

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項

中，選出符合題目要求的一項.

L已知集合A=,*{2,3,4，>則)

A.{2}B,{2,3}C,{3,4}D.{2,3,4}

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是()

A./(x)=sinxB./(x)=cosx

C.f(x)=4xD./(x)=x3

3.設(shè)等差數(shù)列的前〃項和為S“，若q=l,4=7,貝USQ=()

A.60B.80C.90D.100

4.已知拋物線C:9=4x的焦點為R點P為C上一點.若歸月=8,則點P的橫坐標(biāo)為()

A.5B.6C.7D.8

X+1%]

5.已知函數(shù)/(%)='—,存在最小值，則實數(shù)。的取值范圍是()

2-a,x>l

A.,1]B.C.D.(1,-Ko)

6.已知a,,是兩個互相垂直的平面，/,根是兩條直線，ac(3=1,貝產(chǎn)加，/”是“加J_a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

兀

7.在平面直角坐標(biāo)系九0y中，銳角。以O(shè)為頂點，Ox為始邊.將。的終邊繞。逆時針旋轉(zhuǎn)一后與單位圓交于點

4

P(x,y),若cosa=，則V=()

10

4334

A.一一B.--C.-D.-

5555

8.假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中夕是空氣密度，S是該飛行器的

迎風(fēng)面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)(其大小取決于多種其他因素)，反映該飛行器

克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=加.當(dāng)，S不變，V比原來提高10%時，下列說法正確的是（）

A.若。不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使p不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使p不變，則C比原來降低超過40%

9.已知雙曲線C:二—=1（。〉0,6〉0）的右焦點為「c是雙曲線C的半焦距，點A是圓N+y2=c2上一

a"

點，線段胡與雙曲線c的右支交于點3.若|E4|=a,E4=2EB,則雙曲線C的離心率為（）

A4R3百

A.------D.------------

22

C.幣D.-

2

10.北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的

小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有"個小球，第二層有（。+1）。+1）個小球，第三層有（。+2乂"2）個

小球……依此類推，最底層有〃個小球，共有〃層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個數(shù)為

［（2。+4"+（2"+。）°+（-。）］：若由小球堆成的某個長方臺形垛積共8層,小球總個數(shù)為240,則該垛積的

6

第一層的小球個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復(fù)數(shù)z滿足（1—i）z=2,貝”的虛部是.

12.已知向量a=（3,4）,6=（-左,2）,且（a+6）/a,則實數(shù)仁.

13.在（1—3%）”的展開式中，若二項式系數(shù)的和等于64,貝ij〃=,此時/的系數(shù)是.（用數(shù)字作

答）

14.若直線丁=左（％+2）—1與曲線y=Jl—九2有兩個不同的交點,則實數(shù)上的一個取值為.

15.設(shè)〃為正整數(shù)，已知函數(shù)/(x)=X2一1,力(%)=%一：，力(x)=,sin27Lx.當(dāng)左《｛1,2,3｝時，記

22

)其中勾=；(，=』,川.給出下列四個

4=|A(?1)-A(?O)|+|A(?2)-A(?1)|++|Ak)-Ak-1b02,...

結(jié)論：

①V〃eN*，人=1;

②VneN*，AS；

③若“=2023,則［2＜/I＜，3；

④若八=2024,則［2＜，＜/3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在_ABC中，NA為銳角，且sin2A=gcosA

(1)求cosA的值；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求c.

條件①：cosB=;

3

條件②:a=9;

條件③:Z?=10.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

17.科技發(fā)展日新月異，電動汽車受到越來越多消費者的青睞.據(jù)統(tǒng)計，2023年1月至12月A,B兩地區(qū)電動汽

車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

A地區(qū)

29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977189.2

(單位：萬輛)

B地區(qū)

7.88.88.18.39.210.0979.910.49.48.9101

(單位：萬輛)

月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8

月銷量比是指：該月A地區(qū)電動汽車市場的銷售量與8地區(qū)的銷售量的比值(保留一位小數(shù)).

(1)在2023年2月至12月中隨機抽取1個月，求A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的概率;

(2)從2023年1月至12月中隨機抽取3個月，求在這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的

月銷量比低于5的概率；

(3)記2023年1月至12月A,B兩地區(qū)電動汽車市場各月銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為s；,s；,試判斷s：與s；

的大小.(結(jié)論不要求證明)

18.如圖，六面體ABC。一瓦6,是直四棱柱ABC?！狝4GA被過點口的平面e所截得到的幾何體，

。。，底面人3。。，底面A3CD是邊長為2的正方形，DDr=4,AE=2,CG=3.

(1)求證：AC±DXF；

(2)求平面.與平面A5C。的夾角的余弦值；

r)p

(3)在線段。G上是否存在一點P,使得AP//平面EFG，？若存在，求出——的值；若不存在，說明理由.

19.己知橢圓E的兩個頂點分別為4(—2,0),5(2,0),焦點在x軸上，且橢圓E過點C72,

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)。為原點，不經(jīng)過橢圓E的頂點的直線/與橢圓E交于兩點?(不例)。(%2,%)(%/%),直線即與直線

OC交于點H,點M與點。關(guān)于原點對稱.

(i)求點H的坐標(biāo)(用毛，％表示)；

(ii)若A,H,M三點共線，求證：直線/經(jīng)過定點.

20已知函數(shù)〃尤)二依_山(1_%)(?！闞).

(1)求曲線y=/(%)在點(。,7(0))處的切線方程；

(2)若〃力對恒成立，求。的值;

(3)若/(%)有兩個不同的零點國,且民—M>e—1,求。的取值范圍.

21.設(shè)九為正整數(shù)，集合4={。1。=(?1，。2,…，ajqW{°，1}/=1，2,?,”}.對于［=(01，%，…，A，設(shè)集

合尸(a)=eN|0<Z<n-1,ai+t=at,i=1,2,

(1)若e=(0,1,0,0,1,0),4=(0,1,0,0,1,0,1,001,0)，寫出集合F(a),P(乃)；

(2)若1=(4%，.，%)eA，且sJeP(a)滿足s<右令a'=(al,a2,,an_s)e4,_5;求證:

t-sGP(a')；

^若^:儂烏丁一見工兒，且P(o)={si，S2，‘，%}(。<§2<<sm,m>3'),求證：

2襄+i21+s&+2(左=1,2,,m—2).

北京市朝陽區(qū)高三年級第二學(xué)期質(zhì)量檢測二

數(shù)學(xué)

2024.5

(考試時間120分鐘滿分150分)

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項

中，選出符合題目要求的一項.

L已知集合A=八{(lán)2,3,4,5}則)

A.{2}B,{2,3}C,{3,4}D,{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得A={九eR|-J再<尤<麗},結(jié)合交集的定義與運算即可求解.

【詳解】由題意知，A={xeR|x2<10}={xeR|-^/i0<x<V10},

又5={2,3,4,5},

所以AB={2,3}.

故選：B

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是()

A./(x)=sinxB.f(x)=cosx

c.于(X)=GD.f(x)=x3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知的各個函數(shù)的性質(zhì)，可以直接作出判斷.

JTJT

【詳解】/(x)=sinx是奇函數(shù)，它在區(qū)間-耳+2版■,?+24萬，左eZ上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，

所以選項A是錯誤的；

/(x)=cosx是偶函數(shù)，所以選項B是錯誤的；

/(%)=?既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，所以選項C是錯誤的；

/(x)=d滿足既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)，所以選項D是正確的；

故選：D.

3.設(shè)等差數(shù)列的前〃項和為S〃，若q=l,&=7,則SQ=()

A60B.80C.90D.100

【答案】D

【解析】

【分析】先求出等差數(shù)列的公差，再由等差數(shù)列的求和公式求解.

【詳解】等差數(shù)列的公差為：〃=幺二%=2匚=2,

4-13

10x9

則%=104+——-^=10+45x2=100.

2

故選：D

4.已知拋物線C:/=4x的焦點為R點P為C上一點.若歸耳=8,則點P的橫坐標(biāo)為(

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得b(L0),結(jié)合拋物線的定義即可求解.

【詳解】由題意知，F(xiàn)(l,0),

由拋物線的定義知，|尸司=號+^=號+1=8,得/=7,

即點尸的橫坐標(biāo)為7.

故選：C

、f%2+1,%<1

5.已知函數(shù)/(%)=，存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()

2-a,x>l

A.B.(-8,1)C,D,(1,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】當(dāng)xWl時，/(x)=x2+l,

所以"％)在(—8,0)上單調(diào)遞減，在(。』上單調(diào)遞增，則"X)疝n=/(0)=l，

當(dāng)x>l時，/(x)=2、—a,所以了⑴在(1,+8)上單調(diào)遞增，無最小值，

根據(jù)題意，/(%)存最小值，

所以2—a21,即a<l.

故選：A.

6.已知a,"是兩個互相垂直的平面，/,根是兩條直線，ac(3=l,貝產(chǎn)加，/”是“相，。”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.

【詳解】由題意知，a工/3，aB=l,

若當(dāng)mu/7時，有m_La；當(dāng)相<z/7時，加與a可能相交、平行、垂直.

若由/ua,得〃z-L/.

故“加，/”是“m，a”是必要不充分條件.

故選：B

TT

7.在平面直角坐標(biāo)系九0y中，銳角。以0為頂點，3為始邊.將。的終邊繞。逆時針旋轉(zhuǎn)一后與單位圓交于點

4

P(x,y)，若cosa=，則V=()

10

4334

A.一一B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)同角的平方關(guān)系求出sina,結(jié)合三角函數(shù)的定義和兩角和的正弦公式計算即可求解.

詳解】如圖，

由cosa=，0＜。＜=,得sina=Jl-cos?a=，

10210

所以y=sin(a+：)=(sina+cosa)=x~~='?

故選：D

8.假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv\其中「是空氣密度，S是該飛行器的

迎風(fēng)面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器

克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=戶.當(dāng)，S不變，v比原來提高10%時，下列說法正確的是（）

A.若。不變，則尸比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使p不變，則C比原來降低超過40%

【答案】C

【解析】

12P

【分析】由題意可得尸=/oCSv3,C=]m，結(jié)合選項，依次判斷即可.

112尸

【詳解】由題意，f=-pCSv2,P=fv,所以P=]0CSv3,C=於，

A：當(dāng)P，S,C不變，v比原來提高10%時，

貝I]6=1pCS（l+10%）3v3=1pCS（y.I）3v3=1.33?|pCSv3,

所以P比原來提高超過30%,故A錯誤；

B：由選項A的分析知，P^l.33-pCSv3,

所以P比原來提高不超過40%,故B錯誤；

2P2P2P

C：當(dāng)P，S,P不變，V比原來提高10%時，G=仃07=13后3=,其，

所以C比原來降低不超過30%,故C正確；

D：由選項C的分析知，C比原來降低不超過30%,故D錯誤.

故選：C

9.已知雙曲線C：=_y_=Ka>0,6〉0）的右焦點為Fc是雙曲線C的半焦距，點A是圓N+y2=c2上一

ab2

點，線段曲與雙曲線C的右支交于點A若|E4|=a,E4=2EB,則雙曲線C的離心率為（）

373

C.不

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)條件求得IEBI」耳§I,然后解直角三角形即可得答案.

【詳解】設(shè)雙曲線左焦點為不如圖：|E4|=a,E4=2EB,可得產(chǎn)3|=ga,

由雙曲線的定義字|片例=2a+-a=-a,

22

222s2122

在.ABF｝中，|"IB片|-|AB|=ya--a=6a,

22

在.AFXF中,|耳尸|2=|A耳|+|AF|

即4c*=6?2+cT—IcT>可得e='=■

a2

10.北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的

小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有"個小球，第二層有（。+1）伍+1）個小球，第三層有（。+2乂"2）個

小球……依此類推，最底層有〃個小球，共有〃層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個數(shù)為

［（26+""+（2"+'）c+（c-［若由小球堆成的某個長方臺形垛積共&層,小球總個數(shù)為240,則該垛積的

6

第一層的小球個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由題意知，a-b+l,c-d+1,當(dāng)〃=8時，d=b+7,c=b+8,代入

K2"+d）a+（2d+b）c+…jo,求出匕即可.

6

【詳解】由題意知，a^b+l,c^d+l,各層的小球個數(shù)可當(dāng)作數(shù)列{4},

則％=ab,a2=(a+1)(Z?+1),%=(〃+2)3+2),?=(a+幾一l)(b+n-l)=cd,

[(2Z?+d)a+(2d+b)c+(c-a)]n

當(dāng)〃=8時,d=b+7,c=b+8,代入

6

殂8[（2口+H7）（7+1）+（2H14++8）+7]

6

整理得廿+助-9=0,解得6=1或-9（舍去），

此時。=2,即第一層的小球有a/?=2個.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查新文化背景下的數(shù)列問題，確定a=6+l,d=c+l與4=（。+”—1）3+〃—1）

是解決本題的關(guān)鍵.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復(fù)數(shù)z滿足（1—i）z=2,貝口的虛部是.

【答案】1

【解析】

【分析】由已知條件求出復(fù)數(shù)Z,從而可求出復(fù)數(shù)Z的虛部.

【詳解】：復(fù)數(shù)Z滿足（1—i）z=2,

22（l+i）2+2i,.

*z—-----=--------------=--------=1+i

"1-i（l-i）（l+i）2，

故z的虛部是1.

故答案為：1

12.已知向量a=（3,4）,b=（-k,2）,且（a+人）,a,則實數(shù)七.

3

【答案】—##—1.5

2

【解析】

【分析】利用已知求得a+b=（3—左,6）,進而根據(jù)a,可得（3—左）x4—6x3=0,求解即可.

【詳解】因為2=（3,4）,b=（-k,2）,

所以a+〃=（3,4）+（—左,2）=（3—左,6）,

3

又（a+。）a,所以（3—左）x4—6x3=0,解得左=——.

.3

故答案為：—.

2

13.在（1—3%）”的展開式中，若二項式系數(shù)的和等于64,貝!]〃=,此時/的系數(shù)是.（用數(shù)字作

答）

【答案】①.6②.135

【解析】

【分析】利用二項式系數(shù)的和等于64,求解九值，利用通項公式求解/的系數(shù).

【詳解】由二項式系數(shù)的和等于64,貝12〃=64，/=6；

通項公式為Tr+i=晨?尸.(一3町=G(-3)'

令廠=2,所以/的系數(shù)為C：(—3)2=135.

故答案為：6；135.

14.若直線丁=左(％+2)—1與曲線y=a—尤2有兩個不同的交點,則實數(shù)上的一個取值為.

【答案】1(答案不唯一)

【解析】

【分析】畫出圖，由圖可知有兩個交點的時候的臨界狀態(tài)為相切與過點(-1,0),求出此時直線的斜率，則實數(shù)上的

取值范圍即可求解.

直線y=M4+2)—1過定點(一2,—1),

2

曲線y=^l-x-即f+y2=i(y?o),表示半圓，

如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時，圓心(0,0)到直線丁=左"+2)—1的距離d=}pU=l,

4

所以左=0(舍去)或左=—,

3

由于直線丁=左(％+2)—1與曲線y=Jl—尤2有兩個不同的交點,

當(dāng)直線y=左(4+2)—1過(―1,0)時，斜率最小為1,

所以由圖可知，實數(shù)上的取值范圍為：l,g],

故實數(shù)化的一個取值為1,

故答案為：1(答案不唯一).

15.設(shè)九為正整數(shù)，已知函數(shù)工(%)=f一1,f2(%)=x--,力(x)=Lsin2m.當(dāng)左e{l,2,3}時，記

22

h=|A(?I)-A(?O)|+K(?2)-A(?I)|+其中4=；(i=0,1,2,給出下列四個

結(jié)論:

①V"eN*，A=1；

②V/GN*，k＜h；

③若〃=2023,則［2＜，＜/3；

④若〃=2024,則［2＜/I＜，3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③

【解析】

【分析】依據(jù).(%)=*—1在［0』上單調(diào)遞增，力(動=1在卜』上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

/L乙」/

11313

力(x)=5sin2◎在。［和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

利用單調(diào)性逐項計算可判斷每個選項的正確.

【詳解】對于①，因為q=；(，=0/,2,...,“)，所以124+Rae()(i=0,12?1).

又/(x)=f-1在［0,1］上單調(diào)遞增，所以工(心)〉工(《)，

20222022

所以4=$|力(4+1)—力(0)|=￡(力(4+1)-fl(?,))

i=0i=0

=/(%023)一/(%)=°一(一1)=L故①正確；

對于②，當(dāng)〃=1時，4=區(qū)(％)—上(%)|=1—g—。―g=。，

4=1力(。1)_力(。0)|=gsin27t-gsin0=0,所以此時(=4，故②錯誤；

對于③，當(dāng)〃=2023時，因為力(x)=；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且關(guān)于直線x=!對

2L，」J2

稱.

1011110121011工黑在數(shù)軸上關(guān)于9對稱，所以

又有0＜<—<<1,且-----和

202322023202320232

力（即）＜力（。仙=0，1，2,1010）,力（/2）=力（/J，fi（%!）＞f2（?z）（/=1012,1013,...,2022）.

202210102022

所以A=Z伉（4+1）-力⑷|=Z（力⑷-fl（4+1））+Z（力（4+1）-fl（?/））

z=0i=Qz=1012

=力（/）一力（4011）+力（“2023）一力（囚012）=5-^^+5一^5^=1—^1?

,、1「1］「3"1「13-

而力（x）=—sin27tx在0,—和—,1上單調(diào)遞增，在—,—上單調(diào)遞減.

v724444

5051506生<，空<1.

又有0<<—<-------<

202342023202342023

（6+1）

所以人〈人（《）［=0,1,2,504,1518,1519,...,2022）,力（ai+1）>力=506,507,...,1516）.

2022

所以八=Z|力MJ-力⑷|

/=0

50415162022

=Z（力（生甩）一力⑷）+￡（力⑷—力（4+1））+E（力（4+1）-力⑷）

z=0z=506z=1518

50415162022

二（力（勾+i）-力⑷）+2（力⑷-力（一））+E（力（生+1）-力（《））

?=0z=506?=1518

=于3（4505）—力（%）+力（“506）—力（每17）+/（4023）—力（《518）

1.101071八1,1012711.3034713036兀

—sin-0+—sin--------------sin-+---0-------sin

22023220232202322023

1.1010711.1011711.1011711.101071

=—sin-----------1--sm----------1--sin----------1--sin---------

22023220232202322023

>2sinWW>2sin^=石.

20233

這就得到/|=1,/2=1———<1,A>6,所以此時，故③正確;

20233

對于④，當(dāng)八=2024時，因為力（%）=%-；在0,1上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

/L乙」L

f

又果|=g，所以力（%_J（力（q）（i=0,L2-,1011）,（ai+1）>2（a,）（z=1012,1013,...,2023）.

202310112023

所以右=z怩（q+i）-力⑷i=z（力⑷一力（勾+1））+z（力（4+i）-力m））

i=0z=0z=1012

二fl（“0）—A（%012）+/2（a2024）-/2（fl1012）=2-0+2-0=1-

所以此時/2=乙，故④錯誤.

故答案為：①③.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是新定義題型，弄清題意與每個函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，利用單調(diào)性比較數(shù)的大小去絕

對符號，運算量大，細(xì)心是關(guān)鍵.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在ABC中，NA為銳角，且sin2A=^cosA

(1)求cosA的值；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求c.

條件①：cosB=

3

條件②:a=9;

條件③：6=10.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

4

【答案】(1)j

(2)答案見解析

【解析】

3

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式可求sinA=g,進而可求cosA；

2

(2)選條件①②:由己知可求sinB=§,進而由正弦定理可求b,再利用余弦定理可求c.

選條件①③：由已知可求sinB=|,進而由正弦定理可求。，后面同選條件①②.

選條件②③:利用余弦定理可求c.

【小問1詳解】

因為sin2A=gcosA所以2sinAcosA=gcosA

3

因為/A為銳角，cosA>0,所以sinA=M

又因為畫曲+A=,

所以cosA=

【小問2詳解】

選條件①②:

2

因為cosB=,又0<B<TT,所以sinB=

33

9x2

,ab,asmB31?

由―—A='n，侍）——；一T~—一Q一—1°，

sinAsinBsinA￡

5

,a2+c--b2,7581+C2-100

由cosBD=-----------，得HJ=------------,

lac32x9xc

即。2—6j?c—19=0,又c>o,所以c=8+3j?.

選條件①③：

因cosB=心~，又0<B<n,所以sinB=Jl—=—

3Y⑴3

3

,abbsinA5

sinAsinBsinB4

3

下同選條件①②.

選條件②③：

由cosA="c-2,得3100+。2—81

2bc52xl0xc

即c2—16c+19=0,解得c=8土36.

經(jīng)檢驗，符合題意.

17.科技發(fā)展日新月異，電動汽車受到越來越多消費者的青睞.據(jù)統(tǒng)計，2023年1月至12月A,B兩地區(qū)電動汽

車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

A地區(qū)

29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2

（單位：萬輛）

B地區(qū)

7.88.88.18.39.210.09.79.910.49.48.910.1

（單位：萬輛）

月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.6878.8

月銷量比是指：該月A地區(qū)電動汽車市場的銷售量與B地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）.

（1）在2023年2月至12月中隨機抽取1個月，求A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；

（2）從2023年1月至12月中隨機抽取3個月，求在這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的

月銷量比低于5的概率；

（3）記2023年1月至12月A,8兩地區(qū)電動汽車市場各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為s；,只，試判斷s；與

的大小.（結(jié)論不要求證明）

9

【答案】（1）—

(3)s：>si

【解析】

【分析】(1)由表中數(shù)據(jù)找出符合的月份個數(shù)即可求解.

(2)先由表中數(shù)據(jù)找出月銷量比超過8的月份個數(shù)和低于5的月份個數(shù)再結(jié)合組合分配情況即可求解.

(3)由表中數(shù)據(jù)和方差定義即可判斷.

【小問1詳解】

設(shè)事件C為“A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量”，

在2023年2月至12月中，A地區(qū)電動汽車市場該月的銷售量高于上月的銷售量的月份為2月、3月、5月、6月、

8月、9月、10月、11月、12月，共9個月，

9

所以P(C)=下.

【小問2詳解】

設(shè)事件。為“這3個月中恰有1個月的月銷量比超過8且至少有1個月的月銷量比低于5”，

在2023年1月至12月中，月銷量比超過8的只有11月和12月，月銷量比低于5的只有1月和2月，

則P(￡>)=222=五^

【小問3詳解】

A地區(qū)銷售量最低有29.4萬輛，最高有89.2萬輛，數(shù)據(jù)波動較大；

相比之下2地區(qū)銷售量最低有7.8萬輛，最高有10.4萬輛，數(shù)據(jù)波動幅度較小，變化較為平穩(wěn);

故s：>si，

18.如圖，六面體ABC。—EEG，是直四棱柱—4與GR被過點2的平面a所截得到的幾何體,

底面A3CD,底面A3CD是邊長為2的正方形，DDr=4,AE=2,CG=3.

(1)求證：AC±DXF；

(2)求平面.班G2與平面A3C0的夾角的余弦值;

(3)在線段。G上是否存在一點P,使得4。//平面瓦6，？若存在，求出——的值；若不存在，說明理由.

DG

【答案】(1)證明見解析

⑵-

3

DP1

(3)存在，---=—,理由見解析

DG2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得。2,AC,由AC43D,結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,利用空間向量法求面面角即可；

(3)設(shè)。P=/lOG(/le[0,l]),由向量線性運算的坐標(biāo)表示可得AP=(-2,243X),結(jié)合AP.〃=O計算即可求

解.

【小問1詳解】

連接BD，直四棱柱ABC?！?4GR,BFHDDX,

則點歹在平面內(nèi).

因為。A，平面A3CD,且ACu平面A3CD,

所以LAC,

又底面A3CD為正方形，所以AC人9,又DDJBD=D,

所以AC，平面D{DBF,RFu平面D{DBF,

故AC，可；

【小問2詳解】

因為，平面A3CD,94,。。＜=平面人3。，所以。R，DC,

又底面A3CD為正方形，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

4

則E（2,0,2）,G（0,2,3），A（0,0,4）,故口￡=（2,0,-2）,。0=（0,2,—1）.

設(shè)平面EFGDl的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-D,E=0Ilx—2z=0

則，即L八令z=2,則x=2,y=l,于是w=(2,l,2).

n'DiG=0[2y—z=0

因為。DJ平面A3CD,所以DR=(0,0,4)是平面A3CD的一個法向量.

設(shè)平面EFGD,與平面ABCD的夾角為0,

IIDDX'n\82

則cos0=cosDD.,n\=------,--=------=—,

111DD\\n\3x43

2

所以平面環(huán)GQ與平面A3C0的夾角的余弦值為§；

【小問3詳解】

DP1

存在一點P使得AP//平面呼62,此時——=-,理由如下：

DG2

設(shè)DP=/LDG(；l且0,1]),

則AP=AD+DP=AD+ADG=(-2,0,0)+2(0,2,3)=(-2,22,32),

線段。G上存在一點P使得AP//平面EFGR等飾于APn=0>

即Y+2X+6X=0,解得％=,

2

所以黑=；

19.已知橢圓E的兩個頂點分別為4(—2,0),8(2,0),焦點在x軸上，且橢圓E過點CJ5,

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)。為原點，不經(jīng)過橢圓E的頂點的直線/與橢圓E交于兩點。(七例)。卜”2)(石/9)，直線8P與直線

0C交于點H,點M與點。關(guān)于原點對稱.

(i)求點”的坐標(biāo)(用3，%表示)；

(ii)若A,H,M三點共線，求證：直線/經(jīng)過定點.

【答案】(1)土+/=1

4-

4%,2%

(ii)證明見解析

、2%一%+22y1-x1+2>

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓的頂點和橢圓上的點列方程求解即可;

(2)(i)設(shè)直線2尸的方程為y=』％(x-2),聯(lián)立方程求得H的坐標(biāo)即可;

石一2

(ii)設(shè)直線/的方程為y=辰+機，與橢圓方程聯(lián)立韋達定理，根據(jù)三點共線結(jié)合兩點斜率公式列式化簡得機=-2左

或加=2k-1,從而求解直線恒過的定點.

【小問1詳解】

22

設(shè)橢圓E的方程為a+六=1(。6〉0).

a=2

a—2

由題意得《21J解得＜

官+赤=1b—\

無2

所以橢圓E的方程為土-+y2=i.

4

【小問2詳解】

(i)由題可知：X］力士2且