四川省瀘州市瀘縣2024屆高三數(shù)學一模理試題含解析

高2021級高三一診模擬考試

數(shù)學（理工類）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1,已知集合3={y|y=2…A},則人B=（）

A.{0,2}B.{0,2,4}C.{0,4}D.{0,1,2,4}

【答案】B

【解析】

【分析】由題設寫出集合8再由集合交運算求AcB.

【詳解】由題意，8={0,2,4,6,8},而4={0,1,2,3,4},

A3={0,2,4},

故選：B.

2.1—1=（）

1+i

A.述B.叵C.75D.V13

22

【答案】B

【解析】

【分析】先利用復數(shù)的除法化簡，再利用復數(shù)的模長公式即得解

【詳解】由題意，?言月（3-2?-）耳字

J.II4乙V\乙J\乙J乙

故選：B

3.設xeR,則“卜―1|<1"是"0<x<5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式卜―1|<1,比較其和0<x<5的關系即可

【詳解】依題意，|九一1|<1可得—l<x—1<1,即0<尤<2,顯然0（尤<2是0<x<5的充分不必要條

1

件.

故選：A

4.圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是()

【解析】

【分析】根據(jù)截面在圓柱底面所形成的截痕直接判斷即可.

【詳解】圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如下圖所示,

則過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，棱錐頂點為圓柱上底面的中心，可得截面圖如下圖,

5.已知ee（0,?）,且sin2a=g,則sin［（z+?］的值為O

46娓C娓D娓

L.--------

3V

【答案】D

【解析】

【分析】先由sin2a=—，得2sinocos。=—,再利用(sintz+costz)2=l+2sinacosa,結合正弦的

和角公式可求得答案.

2

114

【詳解】解：由sin2a=—,得2sinocos。=一,則(sina+cose)2=l+2sinacoscr=一,

333

0AT

又a￡(0,?),2sinacosa>0,所以sina>0,cosa>0,所以sinc+cosc>0,則sina+cosa=-^^，

VwinD--n,,兀叵「工、④26c

乂sin+--sinacos——Fcos(7sin-=(sina+cosa)=----x------=.

I4J442233

故選：D.

6.已知AH=],：：：<若/(a—3)=/(a+2),則〃a)=()

A.5B.y/2C.2D.2或0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意將兩部分范圍確定，分別代入函數(shù)，即可解出。的值，再代入求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意〃x)=

當尤>0時函數(shù)/(%)=石在(0,+oo)上單調(diào)遞增，當x40時函數(shù)y(X)=x+3在(-8,0]上單調(diào)遞增，

若%-3)=小+2),

。一3<。+2,

a-3<Q

則必有〈c八，即—2vaV3,

。+2>0

則(a-3)+3=Ja+2,

即a=Ja+2，則〃20,

解得a=2或-1(舍去)，

.-./(?)=/(2)=V2,

故選：B.

7.如圖，測量河對岸的塔高A3,可以選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C和。.現(xiàn)測得

ZBCD=75。，ZBDC=45°,8=50米，在點C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高A5為()米.

3

A

A.5072B.100V2C.5073D.25G

【答案】A

【解析】

【分析】在△BCD中，由正弦定理求出64進而在，A3。中求得答案即可.

【詳解】由題意，在△3CD中，ZBDC=180°-75°-45°=60°，由正弦定理可知

50BC50BC“50在

sin60°sin45°G03-

在ABC中，易知=于是48=8。xtan60。=迎但x8=50JL

3

故選：A.

8.已知函數(shù)/（%）=Asin（0x+0）］A〉0,G〉0』。）的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是

C.點亍,0是〃》）圖象的一個對稱中心

4

D.直線尤=2萬是F（x）圖象的一條對稱軸

【答案】C

【解析】

【分析】選項A：根據(jù)題干所給圖像即可求解；選項B：結合已知條件，首先根據(jù)圖像最高點縱坐標求出A,

利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出。，通過代入圖像中的點求出。即可求出函數(shù)/（為）解析式；選項CD：

通過代入檢驗法即可求解.

【詳解】對于選項A：由圖象可知，了（無）的最小正周期T=4

27r1

對于選項B：由圖可知A=2,因為T=—,所以—=4乃，即。=—,

COCD2

故/(x)=2sin|gx+o

因為點三,2在八%）的圖象上,

所以2=2sin即l=sin《+oj,又網(wǎng)＜會，所以夕=0

所以/(x)=2sin故B錯誤;

對于選項C：因為/(—j=2sin(F+qj=0,

所以點I?,。）是/（%）圖象的一個對稱中心，故C正確;

對于選項D：因為“2萬）=2sin萬+。卜±2,故D錯誤.

故選：C.

sin10°

9.7=------=()

1-V3tan10°

A.-B.1C.在D.1

422

【答案】A

【解析】

5

【分析】利用三角函數(shù)的切化弦結合正弦二倍角以及輔助角公式對函數(shù)化簡即可得答案.

sin100sin10°cos10°

【詳解】解：?.-----/=------=----------1=-----------

1—百tan10°cos100-V3sin10°

_2sin10°cos10°

[173)

4-cos10°--sin10°

122J

sin200

-4sin(30o-10°)

-4,

故選：A

10.已知“X)的定義域為R,7(x)為偶函數(shù)，〃x+l)為奇函數(shù)，且當時，/(x)=2(x-l),

則/[g]的值等于()

A.1B.-1C.5D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用/⑺為偶函數(shù)，得至—1)=/(—%+1),再利用f(X+l)為奇函數(shù)，得到

/(-X+1)=-于(X+1),進而可化簡為/(%)=-/(%+2),

得到〃|)=—7(|+2)=—腐)，最后根據(jù)題意，求出/(|),即可得到答案.

【詳解】/I)為偶函數(shù)，/(—%)=/(x),可得/(x—l)=/(—%+1),

又由/(x+i)為奇函數(shù)，/(-%+1)=-/(%+1),

故有，/(%-1)=/(-%+1)=-/(%+1),故有

/(%)=-/(%+2),可得，

〃|)=2(|-1)=1，

/(|)=-/(|+2)=-/(1),得/(1)=-1

故選：B

11已知實數(shù)a,b,cw(O,e),且2"=/,寸=廿,5C=c5.則()

6

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】構造函數(shù)/(x)=」1nY，判斷函數(shù)單調(diào)性，比大小.

X

,,,,.InaIn2InZ?In3IncIn5

C

【詳解】由20=/，3〃=〃，5=c\得一=——，-=——-

a2b3—"T

「，<In5In2

X21n5=ln52<ln25=51n2)a即n丁<W

lb,,ln2In3

同理31n2=ln23<ln32=21n3，n即nk<―，

23

biln5In2In3nnIncInaIn。

所以丁<k<k，即—<——<~r，

523cab

設函數(shù)"x)=gx?O,e),廣⑺=上墳＞0在(O,e)上恒成立,

XX

故函數(shù)/(無)在(O,e)上單調(diào)遞增,

所以cvavb,

故選：A.

1+lnx.

12.已知函數(shù)jx則關于x的方程的■CO-/(x)-l=O(aeR)的解的個數(shù)的所有可能

xe',x＜0.

值為()

A.3或4或6B.1或3C.4或6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可畫出函數(shù)的大致圖象，令/(x)=f,則方程e『-1=0

必有兩個不等根,設兩根分別為32(不妨設;＜與)，且4?LL，然后分4=一,"1＜—L和—L＜%＜0

eeee

三種情況結合函數(shù)圖象討論即可

【詳解】當尤＞0時，=則/(x)=l—Q：lnx)=z^,當0＜兀＜1時,/(x)〉o,當工〉］

XXX

時，/(%)＜0,所以〃龍)在(0,1)上遞增，在(1,+＜為上遞減，且當xf+8時，/(%)-0,

當時，/(x)=xex,則/'(九)=(%+1)，，當-lvx<0時，/(%)>0,當不<—1時，/(%)<0,

所以〃尤)在(一1,0］上遞增，在(—8,—1)上遞減，且當％--8時，/(%)-0,

7

所以/")的大致圖象如圖所示,

令八X)=t,則方程e/—G—1=0必有兩個不等根，設兩根分別為小與(不妨設乙＜/2)，且

e

當4=—工時，則。=1，此時/(x)=12有1個根，/(%)=。有2個根，

e

當4＜一,時，則0＜[2＜1，此時/(%)=12有2個根，/(%)=%有1個根，

e

當—!＜乙＜0時，則[2＞1，此時/(%)=。有0個根，/(%)=%有3個根，

e

綜上，對任意的awR,方程都有3個根，

故選：D

【點睛】此題考查導數(shù)的應用，考查函數(shù)與方程的綜合應用，解題的關鍵是利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

然后畫出函數(shù)圖象，結合圖象求解，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合的思想，屬于中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點處的切線方程是y=3尤—1,則+.

【答案】5

【解析】

【分析】由導數(shù)的幾何意義可求得/"(1)的值，由切點在切線上可得/(I)的值，即可求解.

【詳解】因為函數(shù)y=/(x)的圖象在點”(1,/0))處的切線方程是丁=3%一1,

所以/”)=3,/(l)=3xl-l=2,

所以/(1)+/'。)=3+2=5,

故答案為：5.

14.在△Z6C中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6=c=2,且2asinA=Z?-cosC+c-cosB,

則的面積為一.

【答案】叵

2

【解析】

8

分析】由正弦定理化簡可得sinA=',再根據(jù)面積公式求解即可

2

【詳解】由正弦定理，2sin2A=sinB-cosC+sinC-cosB=sin(B+C)=sinA,因為sinAwO,故

sinA=i，故S=—besinA=

2ABe22

故答案為：為

2

15.空間四面體ABC。中，AB=CD=2,AD=BC=3,BD=屈,直線8。和AC所成的角為?，

則該四面體的外接球的表面積為

.,,23不

【rA答案】——##11.5n

2

【解析】

【分析】將該四面體的六條棱看成某長方體的六個面的對角線，然后該長方體的外接球即為該四面體的外

接球，最后求出外接球的表面積

因為AB=CD=2,AD^BC=3,BD=K，先將四面體ABC。的六條棱看成該長方體如圖所示的

JT

六條面對角線，下面驗證直線8。和AC所成的角為

易知MN/IBD,MN=BD,且MN,AC互相平分于。點，所以。4=0"=典，

2

'/+/=10

設長方體的三邊長為。，b,c,貝3〃+。2=4,解得。=叵力=典逅，

22c222

a+c=9

JTrr

故AQ4M是等邊三角形，則NAOM=1,即直線8。和AC所成的角為即3。=AC成立，

故四面體A3CD的六條棱看成該長方體如圖所示的六條面對角線，四面體的外接球即為該長方體的外接

9

球，所以外接球的直徑2R=y/a2+b2+c2—,故外接球的表面積為S=4乃R?=空

22

231

故答案為:

2

16.已知函數(shù)/(%)=/+

lnx-x+-,在曲線y=/（x）上總存在兩點尸（玉,y）,Q（x2,y2）,使

Ir+2

得曲線在p,Q兩點處的切線平行，則％+々的取值范圍是

【答案】（8,+8）

【解析】

【分析】求得函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)兩直線平行結合導數(shù)的幾何意義可得了'（玉）=/'（9），化簡可得

111構造函數(shù)（間=加+工一根利用導數(shù)求得函數(shù)的

——+—=/2+-；——m=+2,m>2,/z2,22,MM

玉%21+2m

范圍，再結合基本不等式即可得出答案.

【詳解】解：=

Ir+2）x%2

因為在曲線y=/（無）上總存在兩點P（七，x）,。（九2，%），使得曲線在尸，Q相兩點處的切線平行,

所以/'(%1)=/'(%2),且石彳々,%>0,%2>0,

即「十

所以t2

1191

所以工+三=/+45

令加=/+2,加22,則/=m一2,

設/z(加)=m+—-2,m>2,

m

則〃(加)=]--\"m1，

mm

當機22時，h^rrij>0,

10

所以函數(shù)〃(/")[2,+oo)上遞增,

所以/z(m)?/z(2)=g

111

所以一+一2彳,

Xix22

2

_11X+x9%+%2

又三+[=彳丁，玉々K

2

2

玉+x

又因為王，了2，所以石々<2

2

1+1_X1+%2>%+%24

所以玉/玉％21石+12玉+/，

1

所以<2,

所以為+x2>8,

所以X1+%2的取值范圍是(8,+8).

故答案為：(8,+8).

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

2兀、1

17.已知函數(shù)=A/3sin(7：-ox)coscox+cos(ox+—I--(ty>0)的最小值周期為兀.

(i)求。的值與F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若天)e求cos2Ao的值.

兀兀/\

【答案】(1)0)=1,單調(diào)遞增區(qū)間為kn--,hi+-(keZ)

63

(2)百+

6

【解析】

11

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡得出/(x)=sin20x-弓，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求出。的

值，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)/(%)的增區(qū)間;

(2)由已知條件可得出sin,利用同角三角函數(shù)的基本關系求出sin的值，再

利用兩角和的余弦公式可求出cos2%的值.

【小問1詳解】

即十/\?21行?1-cos2a)x

解：j(x)=V3sinCDXCOScox+sin"cox——=sin(y%cos(y%H----------

A/3.Ccos2a)x.J兀、

——sin2cox--------=sin2cox——|,

22I6)

因為函數(shù)/(%)的最小正周期為兀，且①>0。所以丁=兀，解得G=l,

所以f(x)=sinf,令2k7i-3<2x--^<2hi+?kGZ),

>TTJTTTIT

得E--#xkn+所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為hi--,ht+-(左eZ).

63L63J

【小問2詳解】

解：由(1)知/(x)=sin

71

因為七e所以2玉)--e

o

因為sin12xo一總=[<乎,所以2/一臺傳,兀),

所以cos〔2x°聞=—Jl—Sin212x°-'==一半,

71兀7171

所以cos2x=cos——+—os——sm

06666

娓拒拒1372+73

=-----------X--------------------X—=--------------------------.

32326

18.已知，ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,JLasin(A+B-C)=csin(B+C).

12

(I)求角C的值；

(2)若2a+陛6,且?ABC的面積為6,求A3。的周長.

TT

【答案】(1)c=-

3

(2)6或5+而

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理結合A+3+C=TI,代換整理得sin2C=sinC,再結合倍角公式整理；(2)根

據(jù)面積公式S鉆。=一代入整理得。6=4,結合題意可得、或〈分情況討論處理.

2[b=2[b=4

【小問1詳解】

「asin(A+5—C)=csin(5+C),則sinAsin(兀一2C)=sinCsinA

0<A<7i,sinA0

sin2C=sinC,即2sinCeosC=sinC

*/0<C<7i,sinC0,則cosC=—

2

c=-

3

【小問2詳解】

的面積為宕，則;absinC=J5

ab—A

ab=4a—2—1

根據(jù)題意得〈則《或＜

2a+b=6b=2b=4

a=2

若〈則△/歐為等邊三角形，。的周長為6；

0-2

6Z-1.—i—

若人"貝小曲cosC=13'即c=g㈤。的周長為5+而

，的周長為6或5+而

2

19.已知函數(shù)/(尤)=x----Mnx.

x

(1)已知“X)在點。，/⑴)處的切線方程為y=x—2,求實數(shù)。的值;

(2)已知/(%)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

13

【答案】(1)0=2；(2)(-00,272].

【解析】

【分析】

(1)由題意可得出了'。)=1,由此可求得實數(shù)。的值;

(2)求出函數(shù)的定義域為(o,+力)，由題意可知，r(x)=l+=—@之0在(0,+8)上恒成立，利用

XX

參變量分離法得出x+j,利用基本不等式求出x+2在(0,+“)上的最小值，由此可得出實數(shù)。的

minX

取值范圍.

r\O

【詳解】(1)/(%)=%---alnx,/f(x)=l+—--,/./,(l)=3-a,

又F(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y=x—2,=解得a=2；

(2)/(%)的定義域為(0,+s),

r\

〃九)在定義域上為增函數(shù)，二/(力=1+方-在(0,+。)上恒成立,

2(2

a?%+—在(0,+8)上恒成立，二J.aV[xH—

xmin

由基本不等式x+222jxx2=2收，當且僅當了=夜時等號成立，故(x+2=20,

XyX\/min

故〃的取值范圍為(一應2J5].

【點睛】結論點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進行：

(1)函數(shù)/(%)在區(qū)間。上單調(diào)遞增Of'(x)20在區(qū)間D上恒成立；

(2)函數(shù)/(尤)區(qū)間。上單調(diào)遞減0/'(X)WO在區(qū)間D上恒成立；

(3)函數(shù)/(X)在區(qū)間。上不單調(diào)O/'(X)在區(qū)間D上存在異號零點；

(4)函數(shù)/(%)在區(qū)間。上存在單調(diào)遞增區(qū)間=使得/Kx)>0成立；

(5)函數(shù)/(%)在區(qū)間。上存在單調(diào)遞減區(qū)間=下；€￡>,使得/'(x)<0成立.

20.如圖1,在直角梯形ABCD中，AB//CD,ZDA3=90°,CD=2AB=2Ar>=4,點￡、廠分別是邊

BC、CD的中點，現(xiàn)將△CEF沿所邊折起，使點C到達點戶的位置(如圖2所示)，且5P=2.

14

p

(1)求證：平面APEJ_平面ABD；

(2)求平面ABP與平面ADP夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)

11

【解析】

【分析】(1)要證明兩平面垂直只需證明其中一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面即可;

(2)建立空間直角坐標系，運用空間向量數(shù)量積求解.

【小問1詳解】

如圖，連接班由條件知四邊形/母?是正方形，F(xiàn)C±BF,FC=BF,△BbC是等腰直角三角形,

￡是6c的中點，.,.EFL5C；并且BC=2形,EF=也,BE=41^

如圖:

P

在,BPE中,PE=五,PB2=4=PE2+BE^:.PE±BE,FEBE=E,FEu平面4劭,3Eu平

面ABD,

又PE上EF，；.PEL平面ABO,PEu平面/陽，平面APEJ_平面/初；

【小問2詳解】

因為PE,BE,EE兩兩垂直，以￡為原點，龍為x軸，所為y軸，野為2軸建立空間直角坐標系如下圖:

15

Zk

則有A(26—也0),網(wǎng)包0,0),0(￡一2"0),P(0,0,匈,

PA=(2后,—"—⑹,P8=(V2,0,-V2),PD=(V2,-2^/2,-72),

設平面/外與平面ADP的夾角為。，平面ABP的一個法向量為m=(%,y,z),

平面d&p的一個法向量為"=(p/,q),則有：

m-PA=02^/^x-血丁-=0

<.，<L'，令Z=l，則X=Ly=1,772=(1,1,1);

m-PB=0[V2x-V2z=0

n-PA=02,\/2^p——yp2,c]=0

<，1Lr-r-，令4=3,則0=1/=一1,n=(l,-l,3),

n-PD=0[y/2p-2yJ2t-yl2q=0

m,n_3_A/33

；?麗=7OTF；

21.己知函數(shù)/(x)=xTn(x+a)的最小值為0,其中a>0.

（1）求。的值;

（2）若對任意的xe[0,M）,有成立，求實數(shù)上的最小值;

⑶證明：-ln（2n+l）＜2（neN*）.

1=12i—l

【答案】（1）1;

⑵9

（3）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）對/（九）進行求導，已知了（X）最小值為0,可得極小值也為0,得/'（0）=0,從而求出。的

值；

⑵由題意任意的％e[0,+co）,有/（01米2成立,可以令g（%）="一/⑴先通過g（0）=o,g⑴NO

16

大致確定左取值范圍，再利用分類討論法求出g(x)的最值;

112

(3)由(2)知：令4=—得：x-]n(x+l)<—x2令x=-----(i=2,,〃)得：

2v722i-V7

221(11、

1—[山(27+1)-In(2,-1)]<⑵一了<耳[口一力累加即可的證.

【小問1詳解】

由函數(shù)/(x)=x—ln(x+a),則其定義域為(一。,+。。)，且/'(x)=l———

X+CL

由/''(%)=。,x=l-a>-a,又由/''(無)》。,M：x>l—a>

\/⑴在(―/1—a)單調(diào)遞減，在[1—o,內(nèi))單調(diào)遞增，

■■?/Wmin=/(l-a)=O,.-.a=l；

【小問2詳解】

^g(x)=kx1-x+ln(x+l)(x>0),

則g(x)20在[0,+。)恒成立等價于g(x)niin>O=g(O)(*),

注意到g(l)=左一l+ln2?0=左>0,又g，(x)=M2.+2」l),

1。7

①當2左一1<01左<g時，由g'(x)20得二^

乙K

1—24

g(x)在仇q一單減，,+co單增，這與(*)式矛盾;

2k

②當八;時，(^'(尤)之0在［0,+。)恒成立，\g(x)?g(0)0符合(*),

k>-,:.k的最小值為；；

22

【小問3詳解】

由(2)知：令k=；得：x-ln(x+l)<^x2,

Q99

令x=7^~f('=l，2,,")得：-[in(2z+1)-In(2z-1)]<,

Zz—1Zl—L—1)

當，=1時，2-ln3=2-ln3(1)；

17

2JL,cl1

--[ln5-ln3]<—⑵，

|-[ln7-ln5]<11_1

3），

23

將⑴⑵⑶,.....,(〃)式相加得:

2?

不等式左邊：2-ln3+j-(ln5-ln3)+--(ln7-ln5)+L

2n?

+^77-[ln(2n+l)-ln(2n-l)]=^^—j-ln(2n+l)；

2in3-+L

不等式右邊：-4^4HQ^+1=n

=2-ln3+-fl--|<2；

21n

所以之7^7_m（2〃+1）＜2（〃€11＜＞）

i=l2z—1

【點睛】方法點睛：對于含參函數(shù)的恒成立問題的處理，常采用兩種方法：①參變分離求最值；②將左右

兩邊移到一邊重新構造一個含參函數(shù)，討論含參函數(shù)的單調(diào)性，確定哪一個點處取得最值.

（-）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標系中，曲線。的方程為（x-1）?+（y-g）2=1,曲線G的參數(shù)方程為（力

為參數(shù)），直線/過原點。且與曲線G交于46兩點，點戶在曲線C上且0L/日以。為極點，x軸正半