中考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)02 二次函數(shù)圖像與系數(shù)abc之間關(guān)系（四川成都專用）（解析版）

熱點(diǎn)02二次函數(shù)圖像與系數(shù)a，b，c之間關(guān)系二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是四川成都中考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，常見(jiàn)以選填的形式，主要是函數(shù)與其系數(shù)之間關(guān)系等問(wèn)題，一般出現(xiàn)在中考的第8題，以簡(jiǎn)單題為主，思路相對(duì)比較固定，但除了常規(guī)考法以外，日常練習(xí)中多注意新穎題目的考向?！绢}型1圖像與系數(shù)之間關(guān)系】滿分技巧與圖像與系數(shù)之間關(guān)系有關(guān)問(wèn)題的解題策略1、二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)判斷，特殊點(diǎn)取值，函數(shù)與方程不等式之間關(guān)系要掌握．2、二次函數(shù)對(duì)稱性，代數(shù)式之間整體的代換思路需要熟練．【例1】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【答案】D【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)條件與圖像，逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、根據(jù)圖像可知拋物線開口向下，即，故該選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)圖像開口向下，對(duì)稱軸為，當(dāng)，隨的增大而減?。划?dāng)，隨的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)，隨的增大而減小，故該選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，可得對(duì)稱軸，解得，即，故該選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)圖像得到拋物線開口向下，根據(jù)對(duì)稱軸以及拋物線與軸交點(diǎn)得到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2021·四川成都·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象如圖，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系和拋物線與x軸的交點(diǎn)即可求解．【詳解】解：①由圖可得，∵拋物線開口向下，，故①正確；②∵該拋物線的對(duì)稱軸，，故②正確；③∵拋物線與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，，故③不正確；④由圖可得，當(dāng)時(shí)，，，故④不正確；綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2024·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，與x軸的其中一個(gè)交點(diǎn)在與之間，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．由拋物線開口向上判斷a的符號(hào)；由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)；由拋物線的對(duì)稱軸及拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，判斷b的符號(hào)；分別觀察，，時(shí)的函數(shù)值對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【詳解】拋物線開口向上，；拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；拋物線對(duì)稱軸為直線，與x軸的其中一個(gè)交點(diǎn)在與之間，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在與之間，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，，，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D【變式1-3】（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是－2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論：①，；②當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；③的長(zhǎng)度可以等于5；④連接，，有可能是等邊三角形；⑤當(dāng)時(shí)，，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤【答案】B【分析】①由拋物線的開口向上，一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)位置，即可判斷；②觀察圖象，即可判斷；③由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是－2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3，若，可得出直線與軸平行，即可判斷；④若，可得直線與軸平行，即可判斷；⑤直線與關(guān)于軸對(duì)稱，結(jié)合圖象即可判斷．【詳解】解：①拋物線的開口向上，，一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，，故①正確；②由圖象得，一次函數(shù)的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；拋物線的對(duì)稱軸為軸，，當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；故②正確；③點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是－2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3，若，可得出直線與軸平行，即，與已知矛盾，故不可能為，故③不正確；④若，直線與軸平行，即，與已知矛盾，，即不可能為等邊三角形，故④不正確；⑤直線與關(guān)于軸對(duì)稱，如圖所示：直線與拋物線交點(diǎn)C、D橫坐標(biāo)分別為，，由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，即故⑤正確；綜上所述：正確的結(jié)論是：①②⑤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與不等式（組），以及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，用數(shù)形結(jié)合思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為其中下列結(jié)論：其中，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為在y軸的正半軸上，∴，∵拋物線對(duì)稱軸所在的直線在y軸和直線之間，∵，又∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，故②正確；∵當(dāng)時(shí)，，∴，故③正確；∵拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于2，∵，∴，故④錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴,∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,∴，，∴,∴，，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；綜上，①②③正確，共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)的確定由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等，解答本題關(guān)鍵明確二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．【題型2二次函數(shù)與其他函數(shù)圖像綜合】滿分技巧判斷二次函數(shù)圖像與其他函數(shù)圖像是否一致，可以假設(shè)其他函數(shù)圖像正確從而推到系數(shù)范圍，然后帶入到二次函數(shù)來(lái)驗(yàn)證（反過(guò)來(lái)也是成立）?！纠?】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由二次函數(shù)的圖像得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)的圖像相比較看是否一致．【詳解】解：A、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項(xiàng)不合題意；B、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項(xiàng)符合題意；C、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項(xiàng)不合題意；D、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)．【變式2-1】在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】A．由一次函數(shù)圖像可得：a>0，b>0；由二次函數(shù)圖像可得：a>0，b<0，故A選項(xiàng)不可能．B．由一次函數(shù)圖像可得：a>0，b<0；由二次函數(shù)圖像可得：a>0，b>0，故B選項(xiàng)不可能．C．由一次函數(shù)圖像可得：a<0，b>0；由二次函數(shù)圖像可得：a<0，b>0，故C選項(xiàng)可能．D．由一次函數(shù)圖像可得：a>0，b>0；由二次函數(shù)圖像可得：a<0，b<0，故D選項(xiàng)不可能．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像判斷系數(shù)的正負(fù)是解題關(guān)鍵．【變式2-2】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象為（）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下得到a＜0，再根據(jù)對(duì)稱軸確定出b＞0，根據(jù)與y軸的交點(diǎn)確定出c＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向下，∴a＜0，∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣＞0，∴b＞0，∵與y軸的正半軸相交，∴c＞0，∴y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一二四象限，反比例函數(shù)圖象在第一三象限，只有B選項(xiàng)圖象符合．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】已知是非零實(shí)數(shù)，，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的大致圖象不可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）可以求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0）或點(diǎn)（1，a+b），然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的正負(fù)情況，進(jìn)一步即可判斷﹣與a+b的正負(fù)情況，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：解方程組：，得：或，故二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)在x軸上為（﹣，0）或點(diǎn)（1，a+b）．在A選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故選項(xiàng)A有可能；在B選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，則a+b＞0，故選項(xiàng)B有可能；在C選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故選項(xiàng)C有可能；在D選項(xiàng)中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，故選項(xiàng)D不可能．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的性質(zhì)．【變式2-4】在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象可能是（）A． B．

C．

D．

【答案】D【詳解】解：A．由一次函數(shù)圖象可得，則二次函數(shù)圖象應(yīng)開口向下，不符合題意；B．二次函數(shù)的圖象沒(méi)有過(guò)原點(diǎn)，不符合題意；C．由一次函數(shù)圖象可得，則二次函數(shù)圖象應(yīng)開口向上，不符合題意；D．由一次函數(shù)圖象可得，，則二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸應(yīng)在x軸正半軸，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，其中，下列結(jié)論：①．②．③．④．⑤．其中，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為在y軸的正半軸上，∴，∵拋物線對(duì)稱軸所在的直線在y軸和直線之間，∵，又∵，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，∴，故②正確；∵當(dāng)時(shí)，，∴，故③正確；∵拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于2，∵，∴，故④錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴,∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,∴，，∴,∴，，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)的確定由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等，解答本題關(guān)鍵明確二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．2．（2023·四川成都·?？既＃┮阎獟佄锞€，且，．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)和在拋物線上 B．拋物線與x軸負(fù)半軸必有一個(gè)交點(diǎn)C． D．當(dāng)時(shí)，y的最大值為【答案】C【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A；聯(lián)立，得出，即可判斷B、C、D．【詳解】解：A、∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)和在拋物線上，故A正確，不符合題意；B、，得：，整理得：．得：，解得：，∴，∵，，∴函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴拋物線與x軸負(fù)半軸必有一個(gè)交點(diǎn)，故B正確，不符合題意；C、∵，，，∴，故C不正確，符合題意；D、∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，故D正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，會(huì)根據(jù)圖象判斷各個(gè)系數(shù)和式子的符號(hào)．3．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B．函數(shù)的最小值為C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】B【分析】利用拋物線開口方向得到，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到，根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)位置得到，則可對(duì)A進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題可對(duì)B進(jìn)行判斷；利用拋物線與軸的交點(diǎn)與圖象可對(duì)C進(jìn)行判斷；利用，可對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線開口向上，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)在軸下方，，，所以A不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為：，故B符合題意；由圖可知，拋物線與軸的另一交點(diǎn)為，所以時(shí)，，故C不符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，，即，故D不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向，當(dāng)時(shí)，拋物線向上開口，當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)與同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右，常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)：拋物線與軸交于拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定：時(shí)，拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸沒(méi)有交點(diǎn)．4．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論：①；②；③；④是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)及與二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸可知，，由此即可判斷①②；再根據(jù)，，得到，即可推出，即可判斷③；根據(jù)對(duì)稱性求出，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴，∴，所以①正確；∵點(diǎn)A到直線的距離大于1，∴點(diǎn)B到直線的距離大于1，即點(diǎn)B在的右側(cè)，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴，所以②錯(cuò)誤；∵，，∴，∴，即，所以③錯(cuò)誤；∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，所以④正確．故選：B．5．（2023·四川攀枝花·?？家荒＃佄锞€如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．當(dāng)時(shí)y隨x的增大而增大C．圖象的對(duì)稱軸是直線 D．不等式的解集是【答案】D【分析】根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)位置即可判斷A；求出拋物線對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷B、C；根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷D．【詳解】解：A、拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，則，故A選項(xiàng)不符合題意，B、因?yàn)閽佄锞€過(guò)，則拋物線的對(duì)稱軸為直線，而拋物線開口向下，所以當(dāng)時(shí)y隨x的增大而減小，故B選項(xiàng)不符合題意，C、拋物線的對(duì)稱軸為直線，故C選項(xiàng)不符合題意，D、當(dāng)時(shí)，，即，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤直線（，，，，，）與拋物線所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)稱軸的性質(zhì)，依次判斷，即可．【詳解】∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴，∴，∴，∴正確；∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴，∴，∴，∵二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在和之間，∴，∴，∴，∴，∴正確；∵，，，∴，∴正確；∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴正確；∴正確的為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．7．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，根據(jù)圖像判斷以下說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．當(dāng)，則y隨x的增大而增大【答案】C【分析】A.根據(jù)函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，來(lái)判斷大于零；B.能靈活找出所求式子是當(dāng)自變量取何值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小；C.已知函數(shù)值取值范圍求對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍即在圖中找出函數(shù)的部分，直接寫出對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍即可；D.此題函數(shù)開口方向朝下，那么對(duì)稱軸左側(cè)的部分是y隨x的增大而增大．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，∴與x軸交于點(diǎn)∴，故A錯(cuò)誤；∴，即，∴，令，則，故B錯(cuò)誤；∵，函數(shù)圖像在軸上方，∴，故C正確；當(dāng)時(shí)，則y隨x的增大而增大，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)與一元二次方程，解題關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的對(duì)稱性找出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)和增減性．8．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)在和兩點(diǎn)之間（不包含端點(diǎn)）．下列結(jié)論中：①；②；③；④一元二次方程的兩個(gè)根分別為，．正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)圖像判斷出，，利用對(duì)稱軸判斷出即可判斷出①錯(cuò)誤；根據(jù)兩根之積得出，再結(jié)合即可得出結(jié)論；根據(jù)條件得到當(dāng)時(shí)，有，可得即可求解；把化為即可求解．【詳解】解：由函數(shù)圖像可知，，，∵，∴，∴：故①錯(cuò)誤，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線與x軸的令一交點(diǎn)為，∴，∴∵．∴．∴，故②正確；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴其對(duì)稱軸．即．∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，∴，即，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在和兩點(diǎn)之間，∴．∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即當(dāng)時(shí)，有，∴，又∵，∴，∴，∴．故③正確；∵一元二次方程可化為，又∵．∴可有，解方程，得，，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．9．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論：；；當(dāng)時(shí)，；；若，且，則．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②③⑤【答案】D【分析】利用拋物線開口方向確定，利用拋物線的對(duì)稱軸得到，利用拋物線與軸的交點(diǎn)位置確定，從而可對(duì)①②進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在的右側(cè)，則時(shí)，，即，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向下，拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，∴，，，∴，∴①錯(cuò)誤，故不符合要求；∵，∴，∴②正確，故符合要求；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，∴③正確；故符合要求；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在的右側(cè)，時(shí)，，即，∴④錯(cuò)誤，故不符合要求；若，即，且，則當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，∴與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴⑤正確，故符合要求；綜上，正確的有②③⑤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合并靈活運(yùn)用知識(shí)．10．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，已知開口向下的拋物線與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．則下列結(jié)論正確的有（）①；②函數(shù)的最大值為；③若關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則；④代數(shù)式．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由對(duì)稱軸為，得則可判斷①；利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式為，故求得函數(shù)的最大值為，可判斷②；將變形為：，利用根的判別式可判斷③；將代入可判斷④，結(jié)合以上結(jié)論可判斷正確的項(xiàng)．【詳解】解：由圖象可知，圖象開口向下，，對(duì)稱軸為，故，即，則，故①正確；由圖象可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，將，代入，中得：，由圖象可知函數(shù)與x軸交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，故函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)解析式為：，故化簡(jiǎn)得：，將，代入可得：，故函數(shù)的最大值為，故②正確；變形為：，要使方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則，將，代入得：，因?yàn)?，則，則，綜上所述，故③正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，故④錯(cuò)誤；則①②③正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的一般式，二次函數(shù)的交點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值，對(duì)稱軸，以及交點(diǎn)坐標(biāo)掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與軸交于和原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第二象限．下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小C． D．函數(shù)值有最小值【答案】B【分析】采用數(shù)形結(jié)合的方法解題，根據(jù)拋物線的開口方向，對(duì)稱軸的位置判斷、、的符號(hào)，把兩根關(guān)系與拋物線與軸的交點(diǎn)情況結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題．【詳解】解：拋物線的開口方向下，．故A錯(cuò)誤；二次函數(shù)的圖象與軸交于和原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第二象限，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小，故B正確；的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，故C不正確；，對(duì)稱軸，時(shí)，函數(shù)值有最大值，故D不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的增減性，對(duì)稱性，根據(jù)圖象確定各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)以及式子的正負(fù)．12．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)B在和之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】D【分析】①由拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，與y軸的交點(diǎn)B的范圍，即可得出，進(jìn)而可得出，結(jié)論①錯(cuò)誤；②由拋物線的對(duì)稱軸以及與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可得出另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而可得出，結(jié)論②正確；③由點(diǎn)B的范圍可得出拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合可得出，結(jié)論③正確；④由拋物線對(duì)稱軸為可得出，結(jié)論④錯(cuò)誤．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，與y軸的交點(diǎn)B在和之間（不包括這兩點(diǎn)），∴，﹣，，∴，∴，結(jié)論①錯(cuò)誤；②∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∴9a+3b+c＝0，結(jié)論②正確；③∵二次函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)B在和之間（不包括這兩點(diǎn)），∴拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，∵，∴，結(jié)論③正確；④∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，即，結(jié)論④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論有：②③．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，逐一分析四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．13．（2023·四川成都·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列說(shuō)法正確的是（

）．A． B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【答案】D【分析】由題意可得出該二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)為，即得出，可判斷C；結(jié)合A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)可判斷其圖象開口向上，可判斷A；根據(jù)對(duì)稱軸為直線，圖象開口向上，即得出當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，可判斷B；根據(jù)圖象開口向上，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，即得出當(dāng)時(shí)，，代入，即得出，可判斷D．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對(duì)稱軸為直線，∴，故C錯(cuò)誤，不合題意；∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線開口向上，∴，故A錯(cuò)誤，不合題意；∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故B錯(cuò)誤，不合題意；∵二次函數(shù)的圖象開口向上，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴時(shí)，，∴，故D正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為．則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：由圖象開口向上，可知，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知，又對(duì)稱軸方程為，所以，所以，∴，故A不符合題意；∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴，∴，故B不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，故C不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)D象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2023·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)在，之間（包含端點(diǎn)），下列結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④；⑤對(duì)于任意都有．A．①②⑤ B．②③④ C．②④ D．②④⑤【答案】D【分析】①由函數(shù)圖像可判斷，，的符號(hào)，則①是否正確即可判斷；②由拋物線的對(duì)稱軸為直線，一個(gè)交點(diǎn)，得到另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖像即可對(duì)于選項(xiàng)②作出判斷；③根據(jù)拋物線開口方向判定的符號(hào)，由對(duì)稱軸方程求得與的關(guān)系是，將其代入，并判定其符號(hào)；④根據(jù)兩根之積，得到，然后根據(jù)的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來(lái)求的取值范圍；⑤利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．【詳解】解：由函數(shù)圖像可，，，∴，故①錯(cuò)誤；∵拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸直線是，∴該拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴當(dāng)，，即，故②正確；根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，則．∵對(duì)稱軸，∴，∴，即，故③錯(cuò)誤；∵拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，∴，，則．∵拋物線與軸的交點(diǎn)在，之間（包含端點(diǎn)），∴，∴，即，故④正確；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，∴時(shí)，二次函數(shù)值有最大值，∴．即，所以⑤正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖像以及給定條件逐個(gè)分析5條結(jié)論．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用二次函數(shù)的系數(shù)表示出來(lái)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．16．（2023·四川眉山·?？既＃┤鐖D，二次函數(shù)圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①，②，③，④（m為任意實(shí)數(shù)），其中正確的結(jié)論有．（請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上）

【答案】②④【分析】由拋物線開口向上，交y的負(fù)半軸即可判斷①：由拋物線與x軸的交點(diǎn)可判斷②；由拋物線的對(duì)稱性可得拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷③；由時(shí)y取最小值可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向上，交y的負(fù)半軸，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，故②正確；由拋物線對(duì)稱性可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，故③錯(cuò)誤；∵時(shí)函數(shù)取最小值，∴，∴，故④正確．故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．17．（2022·四川成都·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如