2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點02 整式與因式分解（精講）（解析版）21

考點02.整式與因式分解（精講）【命題趨勢】整式與因式分解在各地中考數(shù)學(xué)中難度中下，每年考查3題左右，分值為12分左右，主要考查整式的加減、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大，偶爾考察整式的基本概念。因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大。對于整式與因式分解的復(fù)習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握相關(guān)概念及運(yùn)算法則等，探究與表達(dá)規(guī)律、乘法公式的相關(guān)運(yùn)用偶爾考查難度相對較大，望同學(xué)們多加注意！【知識清單】1：代數(shù)式的相關(guān)概念（☆☆）（1）代數(shù)式：用基本的運(yùn)算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式。（2）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。2：整式的相關(guān)概念（☆☆☆）（1）單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項式，所有字母指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。（2）多項式：由幾個單項式相加組成的代數(shù)式叫做多項式，多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)，其中不含字母的項叫做常數(shù)項。（3）整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。3：整式的運(yùn)算（☆☆☆）（1）同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。（2）整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。（3）冪的運(yùn)算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=。（4）整式的乘法：1）單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。2）單項式與多項式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc。3）多項式與多項式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。（5）乘法公式：（1）平方差公式：；（2）完全平方公式：。（6）整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。（7）整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面。（8）探究與表達(dá)規(guī)律常見類型：1）一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關(guān)系。2）一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關(guān)系。3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關(guān)系。4）圖形變換的規(guī)律：找準(zhǔn)循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進(jìn)而觀察商和余數(shù)。5）數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論。4：因式分解（☆☆☆）（1）因式分解：把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.（2）因式分解的基本方法：1）提取公因式法：；2）運(yùn)用公式法：平方差與完全平方公式；3）十字相乘：；4）分組分解。（3）分解因式的一般步驟：“一提二套三檢查”。1）如果多項式各項有公因式，應(yīng)先提取公因式；2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項時，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止。【易錯點歸納】1.規(guī)范書寫格式：列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運(yùn)用．2.單項式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān)。如單項式的次數(shù)是2＋3＋4=9。3.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結(jié)果可能是單項式，也可能是多項式。4.因式分解分解對象是多項式，分解結(jié)果必是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可?！竞诵目键c】核心考點1.代數(shù)式的相關(guān)概念例1：（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為公里．（用含x的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．【詳解】根據(jù)題意可得，他離健康跑終點的路程為．故答案為：．【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．變式1.（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）某校舉辦的知識競賽，共道題，規(guī)定答對一道題加x分，答錯一道題（不答按錯）扣分，小明答錯了2道題，他得到的分?jǐn)?shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)答對一道題加x分，答錯一道題（不答按錯）扣分列出代數(shù)式．【詳解】解：∵共道題，小明答錯了2道題，∴小明答對了道題，∴他得到的分?jǐn)?shù)是，故選：A【點睛】本題考查了列代數(shù)式，理解題意，掌握去括號，合并同類項的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式2.（2023·河北滄州·校考二模）甲、乙、丙三個盒中分別放有不同數(shù)量的棋子，其中甲盒中棋子個數(shù)為，乙盒中棋子的個數(shù)是甲盒中棋子個數(shù)的2倍，丙盒中棋子的個數(shù)比乙盒中棋子的個數(shù)少．

（1）請用含的代數(shù)式表示乙盒中棋子的個數(shù)；丙盒中棋子的個數(shù)；（2）現(xiàn)從三個盒中分別拿出一些棋子后，使每個盒中剩下的棋子個數(shù)均相等，若從丙盒中拿出的棋子個數(shù)比甲盒中拿出的棋子個數(shù)多3個，從乙盒中拿出的棋子個數(shù)是其剩下棋子個數(shù)的2倍，則從三個盒中共拿出的棋子個數(shù)是．【答案】【分析】（1）根據(jù)乙盒中棋子的個數(shù)是甲盒中棋子個數(shù)的2倍，丙盒中棋子的個數(shù)比乙盒中棋子的個數(shù)少，列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)從乙盒中拿出的棋子個數(shù)是其剩下棋子個數(shù)的2倍，得到盒子中剩余的棋子數(shù)，進(jìn)而得到從甲盒和丙盒中拿出的棋子個數(shù)，利用從丙盒中拿出的棋子個數(shù)比甲盒中拿出的棋子個數(shù)多3個，列出方程進(jìn)行求解，得出的值，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意，得：乙盒中棋子的個數(shù)為：，丙盒中棋子的個數(shù)為：；故答案為：，；（2）∵從乙盒中拿出的棋子個數(shù)是其剩下棋子個數(shù)的2倍，∴從乙盒中拿出的棋子數(shù)為：，乙盒中剩余的棋子的個數(shù)為：，∵每個盒中剩下的棋子個數(shù)均相等，∴從甲盒中拿出的棋子個數(shù)為：，從丙盒中拿出的棋子個數(shù)為：，∵從丙盒中拿出的棋子個數(shù)比甲盒中拿出的棋子個數(shù)多3個，∴，解得：，∴從三個盒中共拿出的棋子個數(shù)是：（個）；故答案為：．【點睛】本題考查列代數(shù)式，一元一次方程的實際應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出代數(shù)式和方程，是解題的關(guān)鍵．例2：（2023上·山東泰安·九年級?？计谀└鶕?jù)如圖所示的程序，計算y的值，若輸入x的值是時，則輸出的y值等于．【答案】【分析】此題是一道程序題，做題時要按照程序一步一步做，主要考查代數(shù)式求值，是一道?？嫉念}型．由題意輸入然后平方得，然后再小于0，乘以，可得y的值．【詳解】解：當(dāng)時，，．故答案為：．變式1.（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示為一金字塔運(yùn)算程序，其中箭頭為數(shù)字的移動方向，字母表示限制條件，序號為運(yùn)算方式，已知：；①：；：；②：；：；③：；：；④：；：；：，若某層中的數(shù)字達(dá)到限制條件，就可以通過相應(yīng)的運(yùn)算方式進(jìn)入新一層，安安將輸入的數(shù)字定為2，則最后輸出的結(jié)果為(

)

A． B． C． D．無法得到【答案】D【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：輸入是數(shù)字是，符合條件：，進(jìn)入第二層，由①得，則，符合條件：，進(jìn)入第三層，由②得，，符合條件：，回到第一層，第二次輸入的數(shù)字是，符合條件：，進(jìn)入第二層，則，符合條件：，進(jìn)入第三層由②得，，符合條件：，返回第二層，由③得，，，進(jìn)入第三層由②得，，符合條件：，返回第二層，由③得，，，進(jìn)入第三層由②得，，符合條件：，返回第二層，由③得，，，進(jìn)入第三層……觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)字越來越大，在第二、三層循環(huán)，故選：D．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運(yùn)算與程序設(shè)計，根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．例3：（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）已知實數(shù)滿足，則．【答案】8【分析】由題意易得，然后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為8．【點睛】本題主要考查因式分解及整體思想，熟練掌握利用整體思維及因式分解求解整式的值．變式1．（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）若，則的值為（

）A．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【分析】根據(jù)得到，再將整體代入中求值．【詳解】解：，得，變形為，原式．故選：D．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，將變形為是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，則的值為．【答案】【分析】由，可得，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由，可得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．核心考點2.整式的相關(guān)概念例4：（2022·廣東·中考真題）單項式的系數(shù)為___________．【答案】3【分析】單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，從而可得出答案．【詳解】的系數(shù)是3，故答案為：3．【點睛】此題考查了單項式的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握單項式系數(shù)的定義．變式1.（2023.廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列結(jié)論中正確的是（

）A．單項式的系數(shù)是，次數(shù)是4 B．單項式m的次數(shù)是1，系數(shù)為0C．多項式是二次三項式 D．在，，，，，0中整式有4個【答案】D【分析】根據(jù)單項式次數(shù)和系數(shù)的定義，多項式項和次數(shù)的定義，整式的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、單項式的系數(shù)是，次數(shù)是3，原結(jié)論錯誤，不符合題意；B、單項式m的次數(shù)是1，系數(shù)為1，原結(jié)論錯誤，不符合題意；C、多項式是三次三項式，原結(jié)論錯誤，不符合題意；D、在，，，，，0中整式有，，和0，一共4個，原結(jié)論正確，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了單項式的次數(shù)、系數(shù)的定義，多項式的定義及其次數(shù)的定義，整式的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知相關(guān)定義．變式2．（2020·四川綿陽市·中考真題）若多項式是關(guān)于x，y的三次多項式，則_____．【答案】0或8【分析】直接利用多項式的次數(shù)確定方法得出答案．【詳解】解：多項式是關(guān)于，的三次多項式，，，，，或，或，或8．故答案為：0或8．【點睛】本題主要考查了多項式，正確掌握多項式的次數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵．例5：（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）若和是同類項，則．【答案】9【分析】本題考查了利用同類項的定義求字母的值，先根據(jù)同類項的定義求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所給代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵和是同類項，∴．∴．∴．故答案為：9．變式1．（2022·湖南湘潭·中考真題）下列整式與為同類項的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項，結(jié)合選項求解．【詳解】解：由同類項的定義可知，a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2．A、a的指數(shù)是2，b的指數(shù)是1，與不是同類項,故選項不符合題意；B、a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2，與是同類項,故選項符合題意；C、a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是1，與不是同類項,故選項不符合題意；D、a的指數(shù)是1，b的指數(shù)是2，c的指數(shù)是1，與不是同類項,故選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了同類項，判斷同類項只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數(shù)是否相同．變式1．（2023·江蘇·?？寄M預(yù)測）已知單項式與是同類項，則______．【答案】3【分析】根據(jù)同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同），求出m，n的值，再代入代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵單項式與是同類項，∴2m=4，n+2=-2m+7，解得：m=2，n=1，則m+n=2+1=3．故答案是：3．【點睛】本題考查同類項的定義，同類項定義中的兩個“相同”：相同字母的指數(shù)相同，是易混點．核心考點3.整式的運(yùn)算例6：（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用積的乘方運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則分別化簡，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：A．，故此選項符合題意；B．，故此選項不合題意；C．，故此選項不合題意；D．，故此選項不合題意．故選：A．【點睛】此題主要考查了積的乘方運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】A、不能合并，本選項錯誤；B、利用完全平方公式展開得到結(jié)果，即可作出判斷；C和D、利用積的乘方及冪的乘方運(yùn)算法則計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：和不是同類項，不能合并，故A選項錯誤，不符合題意；，故B選項錯誤，不符合題意；，故C選項錯誤，不符合題意；，故D選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查了完全平方公式，合并同類項，同底數(shù)冪的除法，積的乘方與冪的乘方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.變式2.（2023·浙江杭州·?？寄M預(yù)測）電子文件的大小常用等作為單位，其中，某視頻文件的大小約為等于()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意及冪的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】依題意得=故選A．【點睛】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知同底數(shù)冪的運(yùn)算法則．例7：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，24【分析】先展開，合并同類項，后代入計算即可．【詳解】當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計算，熟練掌握兩個公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）計算：．【答案】【分析】利用積的乘方及單項式除以單項式的法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·陜西西安·?？级＃┫然?，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先利用完全平方公式，平方差公式與單項式乘多項式運(yùn)算法則去掉括號，然后再合并同列項計算，最后代入x，y計算即可．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式．【點睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則．例8：（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于（

）

A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【分析】先表示每個袋子中球的個數(shù)，再根據(jù)總數(shù)可知每個袋子中球的個數(shù)，進(jìn)而求出，，最后逆用同底數(shù)冪相乘法則求出答案．【詳解】調(diào)整后，甲袋中有個球，，乙袋中有個球，，丙袋中有個球．∵一共有（個）球，且調(diào)整后三只袋中球的個數(shù)相同，∴調(diào)整后每只袋中有（個）球，∴，，∴，，

∴．故選：A．【點睛】本題考查了冪的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，合理利用整體思想是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若m、n滿足，則．【答案】16【分析】先將已知變形為，再將變形為，然后整體代入即可．【詳解】解：∵∴∴故答案為：16．【點睛】本題考查代數(shù)式值，冪的乘方和同底數(shù)冪除法，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪除法法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023.江蘇·?？寄M預(yù)測）已知，則x的值為．【答案】，1，3【分析】由已知可分三種情況：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時，等式成立．【詳解】解：∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時，等式成立；故答案為：，1，3．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方；熟練掌握有理數(shù)的乘方的性質(zhì)，切勿遺漏零指數(shù)冪的情況是解題關(guān)鍵．變式3．（2022·湖南長沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點，它己被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”己經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：等于；JXND（覺醒年代）：的個位數(shù)字是6；QGYW（強(qiáng)國有我）：我知道，所以我估計比大．其中對的理解錯誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．【答案】DDDD【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將化為，再與比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據(jù)2的乘方的個位數(shù)字的規(guī)律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得，即可判斷QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的．【詳解】是200個2相乘，YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；，DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；，2的乘方的個位數(shù)字4個一循環(huán)，，的個位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；，，且，故QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的；故答案為：DDDD．【點睛】本題考查乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．例9：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)m滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式得，再代值計算即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關(guān)鍵．變式1．（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）已知是完全平方式，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：．變式2．（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數(shù)式是一個完全平方式，則實數(shù)t的值為_______．【答案】或【分析】直接利用完全平方公式求解．【詳解】解：∵代數(shù)式是一個完全平方式，∴，∴，解得或，故答案為：或【點睛】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟記完全平方公式的特點是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：，能被3整除，∴的值總能被3整除，故選：B．【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項式分解成若干個整式乘積的形式．例10：（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：①

②

③

④

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】觀察各個圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式即可得到答案．【詳解】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選：．【點睛】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．變式1．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題）設(shè)有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為(

)

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】計算出長為，寬為的大長方形的面積，再分別得出A、B、C卡片的面積，即可看出應(yīng)當(dāng)需要各類卡片多少張．【詳解】解：長為，寬為的大長方形的面積為：；需要6張A卡片，2張B卡片和8張C卡片．故選：C．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式與圖形面積，解題的關(guān)鍵是理解結(jié)果中項的系數(shù)即為需要C類卡片的張數(shù)．變式2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對應(yīng)公式______，圖2對應(yīng)公式______，圖3對應(yīng)公式______，圖4對應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【答案】(1)①，②，④，③(2)證明見解析(3)①2②結(jié)論仍成立，理由見解析【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)面積計算方法即可快速判斷；（2）根據(jù)面積關(guān)系：矩形AKHD面積=矩形AKLC面積+矩形CLHD面積=矩形DBFG面積+矩形CLHD面積=正方形BCEF面積－正方形LEGH面積，即可證明；（3）①由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)BD=a，從而用含a的代數(shù)式表示出S1、S2進(jìn)行計算即可；②由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)BD=a，DG=b，從而用含a、b的代數(shù)式表示出S1、S2進(jìn)行計算即可．(1)解：圖1對應(yīng)公式①，圖2對應(yīng)公式②，圖3對應(yīng)公式④，圖4對應(yīng)公式③；故答案為：①，②，④，③；(2)解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，∴，∵，∴，又∵，∴；(3)解：①由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)，∴，，，，∴，，∴；故答案為：2；②成立，證明如下：由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)，，∴，，，，∴，，∴仍成立．【點睛】本題主要考查了公式的幾何驗證方法，矩形和正方形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想，觀察圖形，通過圖形面積解決問題是解題的關(guān)鍵．

例11：（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）在“點燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計活動中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計了一個數(shù)學(xué)探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式串m，n，；第2次操作后得到整式串m，n，，；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強(qiáng)將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（

）A． B．m C． D．【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循環(huán)，再求解第四次操作后所有的整式之和為：，結(jié)合，從而可得答案．【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；第2次操作后得到整式串m，n，，；第3次操作后得到整式串m，n，，，；第4次操作后得到整式串m，n，，，，；第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；歸納可得：以上整式串每六次一循環(huán)，∵，∴第2023次操作后得到的整式中各項之和與第1次操作后得到整式串之和相等，∴這個和為，故選D【點睛】本題考查的是整式的加減運(yùn)算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結(jié)概括規(guī)律并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．變式1.（2023年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列式子：；；；；；…依此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個等式是．【答案】【分析】根據(jù)等式的左邊為正整數(shù)的平方減去這個數(shù)，等式的右邊為這個數(shù)乘以這個數(shù)減1，即可求解．【詳解】解：∵；；；；；…∴第（為正整數(shù)）個等式是，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致．【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時，分?jǐn)?shù)為，故分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)在同一行．即在第2042行，則．∴故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．變式3．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學(xué)真題）1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，展開的多項式中各項系數(shù)之和為．【答案】【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，展開后系數(shù)為：，系數(shù)和：，故答案：．【點睛】此題考查了多項式的乘法運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．例12：（2023年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：，，，，…，；∴，故選∶C．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到規(guī)律，即可求解.【詳解】解：因為第①個圖案中有2個圓圈，；第②個圖案中有5個圓圈，；第③個圖案中有8個圓圈，；第④個圖案中有11個圓圈，；…，所以第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為；故選：B.【點睛】本題考查圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到第n個圖案的規(guī)律為是解題關(guān)鍵.變式2．（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

【答案】/【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例13：（2021·湖北鄂州市·中考真題）數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，∴；②當(dāng)，即時，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時等號成立）．猜想運(yùn)用：（1）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時，函數(shù)的值最??？最小值是多少？變式探究：（2）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1），函數(shù)的最小值為2；（2），函數(shù)的最小值為5；（3）每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為【分析】猜想運(yùn)用：根據(jù)材料以及所學(xué)完全平方公式證明求解即可；變式探究：將原式轉(zhuǎn)換為，再根據(jù)材料中方法計算即可；拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意列出方程，然后根據(jù)兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系探究最大值即可．【詳解】猜想運(yùn)用：∵，∴，∴，∴當(dāng)時，，此時，只取，即時，函數(shù)的最小值為2．變式探究：∵，∴，，∴，∴當(dāng)時，，此時，∴，（舍去），即時，函數(shù)的最小值為5.拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴當(dāng)時，此時，，即每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為．【點睛】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用完全平方公式并參照材料中步驟進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題．變式2.（2023上·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）代數(shù)式的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先將原式變形為，再分解因式，然后根據(jù)配方法得到，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：原式，當(dāng)，時，原式有最小值，此時最小值為．故選：B．【點睛】本題考查了因式分解，配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023上·廣西河池·?？寄M預(yù)測）閱讀下列材料：我們把多項式及叫做完全平方公式，如果一個多項式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式的最小值．解：∵，∴，∴當(dāng)時，的最小值為；再例如：求代數(shù)式的最大值．解：∵，∴，∴；∴當(dāng)時，的最大值為．(1)【直接應(yīng)用】代數(shù)式的最小值為_______；(2)【類比應(yīng)用】若，試求的最小值；(3)【知識遷移】如圖，學(xué)校打算用長的籬笆圍一個長方形菜地，菜地的一面靠墻（墻足夠長），求圍成的菜地的最大面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用配方法，將原式變形為，結(jié)合，可得出原式，進(jìn)而可得出原式的最小值；（2）利用配方法，將原式變形為，結(jié)合，可得出，進(jìn)而可得出的最小值；（3）設(shè)垂直于墻的一邊長為，圍成的菜地的面積為，則平行于墻的一邊長為，利用長方形的面積公式，可得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴代數(shù)式的最小值為．故答案為：．（2）解：，∵，，∴，∴的最小值為．（3）解：設(shè)垂直于墻的一邊長為，圍成的菜地的面積為，則平行于墻的一邊長為，根據(jù)題意得：，∵，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為，∴圍成的菜地的最大面積為．【點睛】本題考查了配方的應(yīng)用以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用配方法，將原式變形為；（2）利用配方法，將原式變形